1、1第 1 讲 坐标系与参数方程配套作业1(2018安徽模拟)将圆 x2 y21 上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，13得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：3 x y10 与 C 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程解 (1)由坐标变换公式Error!得 x3 x， y y代入 x2 y21 中得9x 2 y 21，故曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)(2)由题知， P1 ， P2(0，1)，(13， 0)P1P2线段中点 M ，(16， 12)kP1P23，
2、故 P1P2线段中垂线的方程为y 12 13(x 16)即 3x9 y40，则极坐标方程为3 cos 9 sin 40.2(2018广东模拟)以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 2 sin 5 ，射线 OM： ，在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方( 6) 3 6程为Error! ( 为参数)(1)求圆 C 的普通方程及极坐标方程；(2)射线 OM 与圆 C 的交点为 O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解 (1)由圆 C 的参数方程Error!( 为参数)知，圆 C 的圆心为(0,2)， 半径为 2，圆 C 的普通方程为 x2
3、( y2) 24，将 x cos ， y sin 代入 x2( y2) 24，得圆 C 的极坐标方程为 4sin .(2)设 P( 1， 1)，则由Error!解得 12， 1 . 6设 Q( 2， 2)，则由Error!解得 25， 2 ， 6所以| PQ| 1 2|3.3在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为( 2)Error!(t 为参数 )以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 cos2 4sin 0.2(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知点 P(1,0)若点 M 的极坐标为 ，直线 l
4、 经过点 M 且与曲线 C 相交于(1， 2)A， B 两点，设线段 AB 的中点为 Q，求| PQ|的值解 (1) 直线 l 的参数方程为Error!( t为参数)，直线 l 的普通方程为 ytan (x1)由 cos2 4sin 0 得 2cos2 4 sin 0，即 x24 y0.曲线 C 的直角坐标方程为 x24 y.(2)点 M 的极坐标为 ，(1， 2)点 M 的直角坐标为(0,1)tan 1，直线 l 的倾斜角 .34直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)代入 x24 y，得 t26 t20.2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2. Q 为线段 AB 的中
5、点，点 Q 对应的参数 值为 3 .t1 t22 622 2又点 P(1,0)，则| PQ| 3 .|t1 t22 | 24(2018福建模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为 ，半径(3， 2)为 1 的圆(1)求曲线 C1的普通方程， C2的直角坐标方程；(2)设 M 为曲线 C1上的点， N 为曲线 C2上的点，求| MN|的取值范围解 (1)由Error!得Error! 2 2得 y21 .x24所以曲线 C1的普通方程为 y21.x24C2 ，设 C2(x， y)，则
6、 x3cos 0，(3， 2) 2y3sin 3，故 C2(0,3)，且 r1，则圆 C2的直角坐标方程为 x2( y3) 21. 2(2)设 M(2cos ，sin )，则|MC2| 2cos 2 sin 3 2 . 3 sin 1 2 16当 sin 1 时，| MC2|min2，3当 sin 1 时，| MC2|max4，故| MN|min211，| MN|max415.所以| MN|的取值范围是1,55(2018武汉模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：Error!( 为参数)，点 P 在直线 l： x y40 上，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求圆
7、 C 和直线 l 的极坐标方程；(2)射线 OP交圆 C 于 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足| OP|2| OR|OQ|，求 Q 点轨迹的极坐标方程解 (1)圆 C 的极坐标方程 2，直线 l 的极坐标方程为 .4sin cos(2)设 P， Q， R 的极坐标分别为( 1， )，( ， )，( 2， )，因为 1 ， 22，4sin cos又因为| OP|2| OR|OQ|，即 2，21所以 ， 21 2 16 sin cos 2 12所以 Q 点轨迹的极坐标方程为 .81 sin26(2018银川模拟)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标
8、方程为 sin 2 ，将圆 x2 y24 x30 向右平移两个单位长( 4) 2度，再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍得到曲线 C.3(1)求直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的参数方程；(2)若 A， B 分别为曲线 C及直线 l 上的动点，求| AB|的最小值解 (1)由 sin 2 得( 4) 2 sin cos 2 ，22 22 2 sin cos 4，即 x y40， x2 y24 x30 即( x2) 2 y21，向右平移两个单位长度，即 x2 y21，横坐标变为原来的 倍得到曲线 C： y21.3x23故曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)(2
9、)由(1)知曲线 C 上的点( cos ，sin )，3到直线 l： x y40 的距离d ，|3cos sin 4|2 |2sin( 3) 4|2当 时，| AB|的最小值为 . 6 247(2018陕西质检)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为Error!(t0， 为参数)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin 3.2 ( 4)(1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围解 (1)由 sin 3 得 sin cos 3，2 (
10、 4)把 x cos ， y sin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 x y30，当 t1 时，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2 y21，曲线 C 为圆，且圆心为 O，则点 O 到直线 l 的距离d ，|0 0 3|2 322曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 1 .322(2)曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，对任意的 R， tcos sin 30，0 t2 .t2 1 2实数 t 的取 值范围为(0,2 )28(2018海南模拟)在平面直角坐标系中，已知点 B(1,1)，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数
11、)，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 cos a，且 l 过点 A；过点 B 与直(42， 4) ( 4)线 l 平行的直线为 l1， l1与曲线 C 相交于两点 M， N.(1)求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值；(2)求| MN|的值解 (1) A 在 l 上，(42， 4)4 cos a，即 a4 ，2 ( 4 4) 2直线 l 的极坐标方程为 cos 4 .( 4) 2 cos sin 4 .22 22 2即 x y80.设曲线 C 上一点 P(2cos ， sin )，3则 d ，|2cos 3sin 8|2 |7sin 8|25当 sin( )1 时， dmin .8 72 82 142(2) l1 l， k1 k1，设 l1的倾斜角为 ，则 tan 1， ，34 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的普通方程为 1.x24 y233 2 4 212 ，(122t) (1 22t)即 7t22 t100，2 t1 t2 ， t1t2 ，227 107| MN| t1 t2| . t1 t2 2 4t1t21227
