1、第18讲 相似三角形,知识梳理,1. 比例线段：形如 (或ab=mn)，则把a,b,m,n叫做成比例线段. 2. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段_. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段_.,成比例,成比例,3. 相似三角形：(1)相似三角形的判定：_于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似. (2)相似三角形的性质：相似三角形的对应角_，对应边_；相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应
2、角平分线的比都等于_；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.,平行,相等,成比例,相似比,4. 相似多边形： (1)定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. (2)性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5. 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_. 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线
3、上，它们到位似中心的距离之比都等于_；由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换. 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.,位似中心,相似比,6. 相似三角形的几种基本图形：,(1)“平行型”(如图1-18-1有“A型”与“X型”). (2) “斜交型”(如图1-18-1有“反A共角型”和“反A共边型”). (3) “垂直型”(如图1-18-1有“双垂直型”和“三垂直型”).,易错题汇总,1. 如图1-18-2，在ABC中，DEBC，AD=6，DB=3，AE= 4，则EC的长为_.,2,2. 如图1-18-3，在 ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中
4、相似三角形共有_对.,6,考点突破,考点一: 相似三角形的性质和判定,1. (2015广东)若两个相似三角形的周长比为23，则它们的面积比是_.,49,2. 如图1-18-4，已知ADEABC，若ADE=37，则B=_.,37,3. (2013广东)如图1-18-5，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设RtCBD的面积为S1，RtBFC的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1_S2+S3;(填“”“”或“=”) (2)写出如图1-18-5中的相似三角形(写出三对即可)，并选择其中一对进行证明. 解：(2)BCDCFBDEC 证明
5、BCDDEC. 证明：CBD+BDC=90， EDC+BDC=90， CBD=EDC. 又BCD=DEC=90， BCDDEC,=,变式诊断,4.（2018广东）在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为( ),C,5. 如图1-18-6，在ABC中，点D是AB上一点，连接CD，ABCACD且AD=4，BD=5，则AC=_.,6,6. (2017江西)如图1-18-7，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且EFG=90. 求证：EBFFCG. 证明：四边形ABCD为正方形， B=C=90. BEF+BFE=90. EFG=90， BFE+CF
6、G=90. BEF=CFG. EBFFCG,7. (2016广东)如图1-18-8，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC=30，过点B作O的切线BD，与CA的 延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. 求证：ACFDAE. 证明：BC是O的直径， BAC=90. ABC=30，ACB=60. OA=OC，OAC=60. AF是O的切线， OAF=90. CAF=30. DE是O的切线，DBC=90. D=CAF=30. 又DAE=ACF=180-60=120，ACFDAE.,考点二:比例的有关概念与位似图形,8.（2018白银）已知a
7、2=b3（a0，b0），下列变形错误的是( ),B,9. 如图1-18-9，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD是位似图形. (1)在图中画出位似中心； (2)位似中心的坐标是_. 解:(1)略.,(-2，0),变式诊断,10.（2018广东改编）如图1-18-10，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的O经过点C，连接AC，OD交于点E，ODBC，DA与O相切，同时AE=CE=BC=1. （1）求证:EDFBDO; （2）求出EF的长,解:（1）连接AF，如答图1-18-1. AB是O的直径， AFD=BAD=90. ADF=BDA， AFDBAD.,11.（2018乐山）如图1-
8、18-11，DEFGBC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是( )A. EG=4GCBEG=3GCCEG= GCDEG=2GC,B,12.（2018宁夏）已知：如图1-18-12,ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5） 以点O为位似中心，将ABC放大为原来的2倍，得到A2B2C2，请在网格中(给出区域)画出A2B2C2，并写出点B2的坐标 解:图略,点B2的坐标为(10,8).,基础训练,13. (2017枣庄) 如图1-18-13，在ABC中，A=78，AB=4，AC=6，将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ),C,1
9、4.（2018铜仁）已知ABCDEF，相似比为2，且ABC的面积为16，则DEF的面积为( ) A. 32 B8 C4 D16,C,15.（2018永州）如图1-18-14，在ABC中，点D是边AB上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为( ) A. 2 B4 C6 D8,B,16.（2018临沂）如图1-18-15,利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是( ) A. 9.3 m B10.5 m C12.4 m D14 m,B,17.（2018乌鲁木齐）如图1-18-16，在 ABCD中，E是AB的
10、中点，EC交BD于点F，则BEF与DCB的面积比为( ),D,18. (2017长沙) 如图1-18-17，ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到ABO，已知点B的坐标是(3，0)，则点A的坐标是_.,(1，2),19. 如图1-18-18，ABC中，C=90，若CDAB于点D，且BD=4，AD=9，则CD=_.,6,20.（2018杭州）如图1-18-19，在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E （1）求证：BDECAD； （2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长,（1）证明：A
11、B=AC，BD=CD， ADBC，B=C. DEAB，DEB=ADC. BDECAD （2）解：AB=AC，BD=CD， ADBC. 在RtADB中，AD=,21.（2018上海）如图1-18-20，已知正方形DEFG的顶点D，E在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上如果BC=4，ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_,22.（2018株洲）如图1-18-21，已知RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN （1）求证：RtAMBRtAND； （2）线段MN与线段AD相交于T，若AT= AD，求tanABM的值,（1）证明:AB=AD， AM=AN，
12、 AMB=AND=90, RtAMBRtAND（HL） （2）解：由RtAMB RtAND,得BAM=DAN， BM=DN. BAM+DAM=90,DAN+ADN=90, DAM=ADN.NDAM. DNTAMT.,23.（2018扬州）如图1-18-22，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是( ),A,A. B C D,24.（2018南京）如图1-18-23，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE过点A作AFDE，垂足为点F，O经过点C，D，F，与AD相交于点G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求O的半径,在正方形ABCD中，DA=DC， AG=EA=1，DG=DA-AG=4-1=3.CDG=90， CG是O的直径.O的半径为 ,
