1、专题9 几何问题探究,1如图，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为E. (1)求证：DCAEAC； (2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形请加以证明【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，如何添加使四边形ABCD为矩形？,ADBC,解：(1)由SSS可证DCAEAC(2)添加ADBC，可使四边形ABCD为矩形； 理由：ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形， CEAE，E90，由(1)得DCAEAC， DE90，四边形ABCD为矩形,2如图，点B，E，C，F在一条直线上，ABDE，BECF， 请添加一个条件 ，使ABCDEF.,ABDE,3(2016河南)如图
2、，在RtABC中，ABC90，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E. (1)求证：MDME； (2)若AB6，当AD2DM时，求DE的长； 连结OD，OE，当A的度数为多少时，四边形ODME是菱形 【解析】当A60时，四边形ODME是菱形，只要证明ODE，DEM都是等边三角形即可,解：(1)ABC90，AMMC，BMAMMC， AABM，四边形ABED是圆内接四边形， ADEABE180，又ADEMDE180， MDEMBA，同理可证：MEDA， MDEMED，MDME,当A60时，四边形ODME是菱形理由：连结OD，OE， OAOD，A60，AOD是等边三角形，AOD
3、60， DEAB，ODEAOD60，MDEMEDA60，ODE，DEM都是等边三角形，ODOEEMDM， 四边形OEMD是菱形,解：(1)F为BE中点，BFEF.ABCD，MBFCEF，BMFECF，BMFECF(AAS)，MBCE.ABCD， CEDE，MBAM.AMCE,【解析】(1)在旋转过程中，哪两个三角形一直保持全等？ (2)AP最大时的位置是什么？画出图形,解：(1)ADBE，理由：当180时， 由旋转的性质得，ACDBCE，ACBC，CDCE，ACDBCE(SAS)，ADBE，当180时， ADACCD，BEBCCE，即：ADBE， 综上可知：ADBE,6如图1，在平面直角坐标系
4、中，O为坐标原点，点A(1，0)，点B(0，)将AOB绕点O顺时针旋转得AOB，设ABO的面积为S1，BAO的面积为S2. (1)当A恰好落在AB边上时，S1与S2有何关系？为什么？ (2)若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断,【解析】点A落在各个位置时，如何表示S1与S2？ 面积的表示式子中如何寻找相等的量？,(2)S1S2不发生变化；理由：如图，过点A作AMOB，过点A作ANOB交BO的延长线于N，ABO是由ABO绕点O旋转得到，BOOB，AOOA，AONBON90，AOMBON1809090，AONAOM，AONAOM(AAS)，ANA
5、M，BOA的面积和ABO的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2,7(2018预测)如图1，在正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连结EF，过点A作AHEF，垂足为H. (1)如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG. 求证：AGEAFE； 若BE2，DF3，求AH的长； (2)如图3，连结BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由,解：(1)由旋转的性质可知：AFAG，DAFBAG. 四边形ABCD为正方形，BAD90.又EAF45， BAEDAF45.BAGBAE45. GAEFAE.GA
6、EFAE(SAS),GAEFAE，ABGE，AHEF，ABAH， GEEF5.设正方形的边长为x，则ECx2，FCx3. 在RtEFC中，由EF2FC2EC2，即(x2)2(x3)225， 解得x6，AB6.AH6 e2,(3)MN2DN2BM2. 理由：如图，将ABM逆时针旋转90得ADM. 四边形ABCD为正方形，ABDADB45. 由旋转的性质可知：ABMADM45，BMDM， NDM90，NM2ND2DM2. EAM90，EAF45，EAFFAM45. 又AMAM，ANAN，AMNAMN(SAS)， MNMN.又BMDM，MN2ND2BM2,(3)如图，过C作CHAF于点H，连结CC交
7、EF于M. CF是RtDCE斜边上的中线，FCFEFD，FECFCE， 四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ADFCEF，ADFBCF，ADFBCF(SAS)，AFDBFC90，CHAF，CCEF，HFECHFCMF90， 四边形CMFH是矩形，,9如图，在ABC中，ACB90，ACBCAD. (1)作A的角平分线交CD于E； (2)过B作CD的垂线，垂足为F； (3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并选择其中一对加以证明 解：(1)(2)如图,(3)ACEADE，ACECBF. 证明：ACEADE，AE是A的平分线， CAEDAE，又ACAD，AE为公共边， ACEADE(
8、SAS),10如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BEDG；BEDG；DE2BG22a22b2，其中正确的结论是 (填序号)【解析】图形中哪两个三角形全等？可以判断BE与DG的数量关系？ 如何利用得出的结论进一步利用勾股定理表示DE2BG2?,解：如图，设BE，DG交于O，四边形ABCD和EFGC都为正方形，BCCD，CECG，BCDECG90，BCDDCEECGDCE，即BCEDCG，BCEDCG(SAS)， BEDG，12，143190，2390，BOD90，BEDG；故正确；连结BD，EG，DO2BO2BD2BC2CD22a2，E
9、O2OG2EG2CG2CE22b2， 则BG2DE2DO2BO2EO2OG22a22b2，故正确,11如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论错误的是( ) APMPN恒成立 BOMON的值不变 C四边形PMON的面积不变 DMN的长不变,D,【解析】如图，过点P分别作OA，OB的垂线段PE，PF， 可证得RtPMERtPNF (1)“PMPN”由全等即可证得是成立的； (2)全等得到MENF，即可证得OMONOEOF，由于OEOF保持不变，因此OMON的值也保持不变； (3)由“RtPME
10、RtPNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等； (4)对于PMN与PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等，所以MN的长是变化的,12已知ABC，ABAC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点， ADAE ，设BAD，CDE. (1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上 如果ABC60，ADE70， 那么_，_； 求，之间的关系式； (2)是否存在不同于以上中的，之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由 【解析】点E，点D在不同位置上，有几
11、种情况？试画出图形,20,10,解：(1)ADAE，AEDADE70，DAE40， 又ABAC，ABC60，BACCABC60， BACDAE604020， AEDC706010 设ABCx，ADEy，则ACBx，AEDy， 在DEC中，yx，在ABD中，xy，2,(2)如图，点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，设ABCx， ADEy，则ACBx，AEDy，在ABD中，xy， 在DEC中，xy180，2180 注：求出其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上， 点D在CB的延长线上，可得1802,13如图1，AC，BD是四边形的对角线，ACBACDABDADB.(1) 若60，如图2，
12、延长CB到E，使BECD，连结AE，请猜测并证明BC，CD，AC三者之间的等量关系； (2)若45，如图3，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？写出结论，并给出证明；(3)如图4，“ACBACDABDADB”，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？直接写出结论，不用证明,【解析】图2延长CB到E，使BECD，图形中有没有全等的三角形？这对后面解题有什么帮助？,解：(1)BCCDAC，证明略,(3)BCCD2ACcos.理由：如图，延长CD至E，使DEBC， ABDADB，ABAD，BAD1802， ACBACD，ACBACD2， BADBCD180，ABCADC180， ADCADE180，ABCADE，ABCADE(SAS)，ACBAED，ACAE， AEC，过点A作AFCE于F，CE2CF， 在RtACF中，ACD，CFACcosACDACcos， CE2CF2ACcos，CECDDECDBC， BCCD2ACcos,
