1、1第 5 练 解三角形一、单选题1在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的 大小为（ ）A B C D 【答案】D点睛：本题考查正弦定理、余弦定理等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.2在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，则 53的周长为（ ）A B C D 8+21 9+21【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得 ，即 ，解得 ，根据余弦定125 32=53理得 ，即 ， ，所以 的周长为 .故选 B.=21 9+213已知在锐角 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc,且 oscsin3BCA. 则 b的值为（
2、）A 3 B 23 C 2 D 6【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得2223acbaca,化简得 3b.24锐角 ABC中，内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足sinsinabcbC，若 3a，则 2bc的取值范围是（ ）A 3,6 B 3,5 C ,6 D 5,6【答案】A点晴：本题考查的是三角恒等变换，正余、弦定理的综合应用.关键有两方面;先从sinsinabABcbC出发结合正余弦定理，得到角 3A，可由锐三角形这个条件列式023得到 62，另一方面结合正弦定理表示2224sini4cos3bcBCB，求值域即可得解.5如图所示，设 ， 两点在河的两岸，一测量者在
3、 所在的同侧河岸边选定一点 ，测出 的距离为 ， ， 后，就可以计算出 ， 两点的距离为=45 =105 3A B C D 502 503 2522522【答案】A点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求解三角形应用题的一般步骤：分析：分析题意，弄清已知和所求；建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；求解：正确运用正、余弦定理求解；检验：检验上述所求是否符合实际意义.6已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，则该三角形为（ ） A 等腰三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 直角三角形【答案】D【
4、解析】由 ，即 ，化简得 ，所以为直角三角形故选： 7在 ABC中，内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 3A， a， 2b，则cos的值为（ ）A 5 B 25 C 264 D 244【答案】D【解析】 sin2isinabABAab， 462coscossincos3434CBA故选 D8在棱长为 4 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM 和 CN 所成的角的余弦值是（ ）A B C D 1010【答案】D【解析】【分析】【详解】过点 N 作 AM 的平行线交 AB 于点 E，则 AE3EB，连接 EC，设 A
5、B4，在NEC 中有 ，=5,=17,=20由余弦定理得 ，=2+222=25直线 AM 和 CN 所成的角的余弦值是 故选 D【点睛】利用几何法求异面直线所成角的步骤：作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个5特殊的位置，顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角9在 中，内角 的对边分别为 .若 的面积为 ，且 ， ，则 外接 , 圆的面积为（ ）A B C D 42【答案】D【解析】【分析】【详解】在 中，由余弦定理，得 ，既有 ，又由面积2=2+2 2=2+21公式，得 ，即有 ，
6、又 ，所以 ，所以 .因=12 4=2 2=2为 ，所以 ，又由正弦定理，得 ，其中 为 外接圆的半径，由 及 ，得=2 =1，所以外接圆的面积 .1222=22=2=(22)2=2故选： . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10在 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，则 =（ =23,=221+=2）A
7、 B C 或 D 4 4 3【答案】B6【解析】【分析】利用正弦定理将原式中边化弦，经化简，可得 的值，根据同角三角函数可得 ，最后根据正弦定理求出 ，从而求出角 C，舍去不合题意的结果即可.【详解】【点睛】本题考查解三角形以及三角函数恒等变换的公式，要熟练掌握公式之间的互化，由正弦求角度时，注意一题多解的情况，由于本题有角度限制，所以要舍去一个结果.11已知锐角 的内角为 ， ， ，点 为 上的一点， ， ， ，则 =15=313的取值范围为（ ）A B C D (1522 ,152) (62,15) (1522 ,+)【答案】A7【解析】分析： 中，由余弦定理可得 ， 中，由正弦定理得 ，
8、根据极限位置，可得当 时， ，=90 =152当 时， ，从而可得 的取值范围 .=90=1522详解： 中，由余弦定理可得， ，2=222=72中，由正弦定理得， ，= 得 ，当 时， ，=90 =152当 时， ，=90=1522为锐角三角形，的取值范围为 ，故选 A. (1522 ,152)点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另=2+222外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题30,45,60中直接应用. 12已知台风中心位于
9、城市 东偏北 ( 为锐角)度的 150 公里处，以 公里/小时沿正西方向快速移动， 小时后到达距城市 西偏北 ( 为锐角)度的 200 公里处，若 ，则 ( )2.5 =34 =A B 80 C 100 D 125【答案】C8【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在 点东西向和 是平行的，内错角相等，将已知角都转移到 中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.二、填空题1313在 中， ， ， ，则 _.=7【答案】1【解析】由题意，根据余弦定理得 ，即 ，解得2=2+
10、22 2+23=0，或 （舍去）.故填 1.=314在 中, 是角 所对的边长,若 ,则 _,【答案】1点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.15在 中， 且 ， 边上的中线长为 ，则 的面积是_12=22 7 【答案】【解析】9【分析】【详解】根据题意，ABC 中， ，则有 sinB= ，变形可得 sinB=1+cosC，12=22则有 cocC=sinB10，则 C 为钝角，B 为锐角；又由 A= ，则 B+C= ，6 56则 sinB=1+cosCsin（ C ）=1+cosCcos（C+ ）=1 ，56 3C 为钝
11、角，则 C= ，B= C= ，23 56 6则ABC 中，A=B= ，则有 AC=BC，ABC 为等腰三角形，6设 D 为 BC 中点，AD= ，设 AC=x，7则有 cosC=解可得 x=2，则 SABC = ACBCsinC= 22sin =23 3故答案为: 3【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积计算，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是求出 B、C，由此分析三角形 ABC 的形状16已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ， ，有以下四个命题： =6 4=510满足条件的 不可能是直角三角形；当 时， 的
12、周长为 15；当时，若 为 的内心，则 的面积为 ； 的面积的最大值为 40其中正确命题有 7_（填写出所有正确命题的序号） 【答案】【解析】【分析】【详解】对于， ， 即 ，设 ，由 ，可得 ，满足条件=6 4=5 4=5 36+162=252的 可能是直角三角形，故错误；对于， ， ， ，可得 ，由正弦定理可得 ，可得 ，由=6 4=5 =3 ， 0，可得： ，解得 可得 ，可得： ，则 ，故正确；对于，由得 设 的内切圆半径为 ，则 故正确= 2+=72， =12=7对于，对于，以 的中点为坐标原点， 所在直线为 轴，可得 ，可得 ，设 ，4=5 4=5可得 ，平方可得，16（ 2+26+9） =25（ 2+2+6+9）即有 化为 11则 的轨迹是以 ，半径为 的圆，可得 的面积的最大值为 故正确；403 126403=40，故答案为： 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题
