1、1第 6练 平面向量一、单选题1已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 ，则向量 ( )A (-7,-4) B (7,4) C (-1,4) D (1,4)【答案】A点睛：一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。本题考查向量的减法运算及学生的运算能力及转化能力。2设非零向量 满足 ,则|+| = |A B C D | = |【答案】D【解析】【分析】两边平方可以得到 ，故两向量垂直.=0【详解】两边平方可以得到 ，故 ，故选 D.=0 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通常用 来计算 ；（2）计算角，用|=来计算.特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 . , =0
2、3已知向量 ， ，且 ，则 （ ）=( 3,0)A B C D 【答案】D2点睛：本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.4在平行四边形 中，点 为 的中点， 与 的交点为 ，设 ， 则向量 （ ）=A B C D 【答案】C【解析】 ,故选 C.5已知向量 ， 满足 ， ，且向量 ， 的夹角为 ，若 与 垂直，则实数 的值为（ ）|=1 |=24 A B C D 【答案】D【解析】【分析】3由条件可得 ，由 与 垂直，进而得 ，即可得解.=2 ()=0【详解】因为 ，所以 ，故答案选 D【点睛】本题主要考查了数量积的运算，属于基础题.6若 ， ， ，则以 、 为基底表示的 等于=(1
3、, 1)A B C D 【答案】A【详解】设 ，则由题意可得：=+， ，+=2 =4解得 ， =3=3故选【点睛】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，属于基础题。7如图， 的一内角 ， , , 边上中垂线 交 、 分别于 、 两点，则 值为4A B 54C D 114 134【答案】C【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；=| =12+12三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.8直角 的外接圆圆心 O，半径为 1，且 ，则向量 在向量 方向的投影
4、为（ (=900) |=| ）A B C D 5【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心 O点在 BC的中点处，且ABC= ，由向量投影的定义，利用已知条件求出即3可【详解】【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。9已知 的一内角 ， 为 所在平面上一点，满足 ，设 ， =+则 的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】6【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论 的最大值即可 .+【详解】
5、由题意可知， O为 ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆 中， 所对的圆心角为 ， 23，点 A,B为定点，点 为优弧上的动点，则点 满足题中的已知条件，延长 交 于点 ，设 ， =由题意可知： ，=1=+由于 三点共线，据此可得： ，则 ，,则 的最大值即 的最大值，由于 为定值，故 最小时， 取得最大值，由几何关系易知当 是， 取得最小值，此时 .=|=23本题选择 A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上三点，当 时，称 为“和谐 :2=4
6、 , 三角形” ，则“和谐三角形”有( )A 0 个 B 1 个 C 3 个 D 无数个【答案】D【解析】7【分析】当 时， 为 的重心，连接 并延长至 ，使 ，当 在抛物线内部时，设 =12 ，利用“点差法”可证明总存在以 为中点的弦 ，从而可得结果.(0,0) 【详解】设 ，则则 ，两式相减化为 ，(1+2)1212=4，所以总存在以 为中点的弦 ，所以这样的三角形有无数个，故选 D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标） ；代入（即代入圆锥曲线方程） ；作差（即两式相减，再用平方
7、差公式分解因式） ；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式） ，然后求解.11直角梯形 中， ， .若 为 边上的一个动点，且 ，则 =+下列说法正确的是（ ）8A 满足 的 点有且只有一个 B 的最大值不存在=12 12C 的取值范围是 D 满足 的点 有无数个+=1【答案】C点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查平面向量基本定理，以及平面向量的加法法则，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破
8、较难的命题. 12以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是 ，已知点 的坐标213+29=1 1,2 为 ，双曲线 上的点 满足 ，则 （ (00,00)11|1| =211|21| 12=）A 2 B 4 C 1 D -1【答案】A【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点 是 的内切圆的圆心，利 12用三角形面积计算公式计算即可【详解】9椭圆 ，213+29=1其顶点坐标为 焦点坐标为（ ，（ 13， 0）、（ 13， 0），双曲线方程为 2429=1，由 ，可得 在 与 方向上的投影相等，11|1| =211|21| 1 1，|1|
9、=|1|， 1=1， 1=1=151=21121=251125=512，直线 PF1的方程为 即： ，把它与双曲线联立可得 （ 3， 52）， 轴，又 ，所以 ，即 是 的内切圆的圆心，2 12故选：A【点睛】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题13在 中, , ,则 与 的夹角为_=2,=4 【答案】2【解析】10 ，=(12)(13+23)=162232=0 与 的夹角为 2【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根据公式求出两向量夹角的余弦值，最后根据向量夹角的范围求出两向量的夹角14
10、设向量 ， ，若向量 与 同向，则 _；=【答案】2.11【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，属于基础题。15矩形 中， ， ，点 为线段 的中点， 在线段 （含端点）上运动，则 的最 小值是_.【答案】-8【解析】【分析】以 为原点，建立直角坐标系，可得 ，设 ，表示出 (4,)(02)，从而可得 的最小值.【详解】以 为原点，如图建立直角坐标系：则 .设 .(4,)(02) ，当 或 时， 取得最小值 .=(1)27 =0 8故答案为 .【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.16如图直角梯形 中， ， ， ， .点 是直角梯形区域内任意一点，=2.点 所在区域的面积是_0 12【答案】综上可得：点 所在区域的面积是 .1+2=13【点睛】本题主要考查平面几何知识，三角形面积公式，扇形面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
