1、1专题 13 两招破解平面向量难题一 【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二 【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点
2、共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公 共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽量用坐标运算.三 【平面向量题型分析】（一）平面向量基本定理的应用例 1设 为 所在平面内一点，若 ， ，则 （ ）A-2 B C D2【答案】A【解析】由 ，根据向量运算的“三角
3、形法则”可得 ，结合 ，求 得的值，从而可得结果.【详解】 ，2，故选 A. 【详解】依题 ，由图易知向量 所成角为钝角，所以 ，所以当 最小时，即为向量 在向量 方向上的投影最小，数形结合易知点 P 在点 D 时, 最小（如图所示） ，在三角形 ADE 中，由等面积可知 ，所以，从而 .所以.故选 D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题.（二）向量中的最值问题例 2设 是半径为 2 的圆 上的两个动点，点 为 中点，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【分析】将 两个向量，都转化为 两个方向上，然后利用数量
4、积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.3练习 1已知 12,e是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量 b满足 ，则对于任意 的最小值为_.【答案】【解析】当且仅当 1x， y时， 取得最小值 2此时， 取得最小值 2练习 2在边长为 1 的正 ABC 中， =x ， =y ， x0， y0 且 x+y=1，则 的最大值为（ ） A B C D 【答案】C【解析】 ， ，由此能求出当时， 的最大值为 练习 1在 ABC中，过中线 AD的中点 E任作一直线分别交边 AB、 C于 M、 N两点,设,则 4xy的最小值是 【答案】 94【解析】 ， ,MEN共线， 14xy，当且仅当
5、 4yx时等号成立，故最小值为 94 【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出 ,xy满足的等量关系，题中唯一的关系就是,MNE三点共线，由此联想平面向量的一个定理： OAB是平面的一个基底， ，4则 ,ABC三点共 线 1xy这样只要由平面向量的线性运算把 AE用 ,MN表示出来就可得xy的等量关系然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值练习 2如图，在 中， D是线段 BC上的一点，且 4BD，过点 的直线分别交直线,ABC于点 ,MN，若 A， ，则 3的最小值是 .【答案】 3考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意
6、义. 方法点睛：由向量减法法则可知 ，代入已知条件 4BCD得到，再把已知条件 AMB， 代入得到，根据 ,DC三点共线得 134u，利用均值不等式得到 34u，而，从而求得 的最小值是 .练习 3在四面体 中，点 ， 分别为 ， 的中点，若 ，且 ， ， 三点共线，则A B C D5【答案】B（七）坐标法解决向量问题 例 7如图，在矩形 ABCD中， 3， 2AD，点 E为 BC的中点，如果 2DFC，那么AFE的值是_【答案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 , , 9AFBE. 6练习 2如图， O为 ABC的外心， 为钝角， M是边 BC的中点，AM的值（ ） A 4 B.6 C
7、7 D 5 【答案】D练习 3 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三点，动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】B【解析】解出 ，计算 并化简可得出结论【详解】 （ ） ， ， ，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过 ABC 的垂心故选： B练习 4已知点 O 是锐角ABC 的外心，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，A= ，且，则 的值为（ ）A B C D7【答案】D【解析】由题意画出图形，设 的外接圆半径为 ，根据三角形外心的性质可得： ， ，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出 和 ，在已知的等式两边同时与 进行数
8、量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出 的值 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标 系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型） 、斜率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。练习 1若曲线 和 上分别存在点 ,使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形，AB 交
9、y 轴于 C,且 则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【详解】设 A（ x1， y1） ， y1 f（ x1） ， B（ x2， y2） ， y2 g（ x2） x23+x22（ x0） ，又， 则 ， x22 x1， ， ，由题意， ，即 0， ， e1 x1 e21， ，8则 设 h（ x） ，则 h（ x） ，令 ,则 u（ x）= = 0 在 e1 x e21 恒成立，所以 单增，所以 = 0， h（ x）0，即函数 h（ x） 在（ e1 x e21）上为增函数，则 ，即 4e-2 a 实数 a 的取值范围是 故选： B 【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的
10、运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题（十）向量的几何意义例 10已知 ， 是单位向量， 0若向量 满足| |1，则| |的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出【详解】9练习 1 的斜边 等于 4，点 在以 为圆心，1 为半径的圆上，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C练习 2已知在平面四边形 中， ， ， , ， ，点 为边 上的动点，则 的最小值为A B C D【答案】C【解析】以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，求出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【详解】如图所示，以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，过点 作 轴，过点 作 轴，10 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ， ， ， ， ，当 时，取得最小值为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题
