1、109 函数 二次函数及应用 【考点讲解】1、具本目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是 高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用二、 知识概述：1.与二次函数有关的绝对值问题：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质、绝对值不等式及式子变形的技巧，还要注意用某几个特定的函数值表示二次函数的系数.2.二次函数与二次方程及二次不等式：解决这类问题应注意二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系及相互转化.3.二次函数求最值问 题，一
2、般先用配方法化为 的形式，得顶点 kh,和对称轴方程hx，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值4.二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与 x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式 ，相应区间端点函数值来考虑【优秀题型展示】1.已知二次函数 ，设方程 xf)(的两个实数根为 1x和 2.（1） 如果 ，设函数的对称轴为 0x
3、，求证： 0；（2） 如果 21x， 21x，求 b的取值范围.【解析】 （1）设 ，0a， 由条件 ，得 即2显然由 得 1.8a即有 ，故（2）由 ，知 ，故 1x与 2同号.若 10,x则 21x（负根舍去） ，()g，即，（ 0,a负根舍去） ，代入（*）式，得 ，解出 1.4b若 120x，则 （正根舍去） ，()g，即将 代入（ *）式得 ， 解得 7.4b综上， 的取值范围为 14b或 7.2.已知二次函数（1）对于 Rx21,，且 ，求证：方程 有不等的两实根，且必有一个实根属于 ),(21x；（2）若方程 在 ),(21x内的根为 m，且 成等差数列，设 0x是)(xf的对称
4、轴方程，求证： .20m证明：（1）由 得：又方程 有不等的两实根.3令 ，则 ()gx是二次函数.由得 的根必有一个属于 12(,).x综上，方程 有不等的两实根，且必有一个实根属于 ),(21x.（2）由题设得 ，即有成等差数列， 故【真题分析】1.【2018 年天津卷文】已知 Ra，函数 ，若对任意， xf恒成立，则 的取值范围是_当 时， xf也就是 ，整理可得： ，由恒成立的条件可知： ，结合二次函数的性质可知：当 时， ，则 2a；综合可得 a的取值范围是 281， .4【答案】 281，2.【2017 湖南岳阳县第一中学模拟】若 ，函数 与 的值至少有一个为正数，则实数 的取值范
5、围为( )A. （0,4 B. （0,8） C. （2,5） D. 【答案】B3. 【2016 年山东】已知函数 其中 0m， 存在实数 b，使得关于 x 的方程f（ x） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【解析】本题考点二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.由题意画出函数图象如下图所 示，要满足存在实数 b，使得关于 x 的方程f（ x） =b 有三个不同的根，则 ， 解得 3，故 m 的取值范围是 (3,).【答案】 (3,)4.【2017九江模拟】已知 ，如果对 恒成立，则实数 a 的取值范围为_.【解析】因为 ，对称轴是直线 ，当恒成立，对称轴与区间 1,3的
6、位置关系可以得到： 或或 .解得 a或 4或 所以 a的取值范5围为 421， .【答案】 ， 【模拟考场】1.已知函数 ，若 ，则必有( )A 1()0fp B 1(0fp C = D ) 的符号不能确定【答案】A2.已知函数 ， （ 0a） ，对任意的 1,2x，存在 01,2x，使，则 a的取值范围是（ ）A 10,2 B 1,32 C 3, D ,3 【解析】 ,x时，函数 的值域为 ,1A， ,2x时，的值域为 ，由题意 B，则有 13a，又 0，故解得102a故选 A【答案】A3.【2017 上海南洋模范中学质检】定义在 R上的函数 fx ，当 1, 时， ，且对任意的 x满足 （
7、常数 0a） ，则函数 f(x)在区间 57上 的最小值是 （ ）6A. 341a B. 3 C. 341a D. 341a【解析】当 ，所以有 ；当 ，所以有 ；当 ，所以有 ；所以当 5.6x时， ，选 D.【答案】D4.一元二次方程 的一根比 1 大，另一根比1 小，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】记 ，由已知得， ()0,1f解得 23【答案】 203a5.已知关于 x的方程 在区间 1,0上有实 数根，则实数 a的取值范围是 .当 0a时有函数对称轴 102xa，若 ，即 18a，此时 的零点为4m，不符合.因为 ， ，即 ，所以可知对称轴 142xa，画图 可知此时 ()f在
8、区间 1,内无零点.当 0a时有函数对称轴 02xa，此时 恒成立.因为 ，所以有7，解得 1a.所以此时 0a综上可得， 10.【答案】 ,6.已知 a 是实数，函数 ，如果函数 xfy在区间 1,上有零点，求 a 的取值范围.【解析】若 0 , ,显然在 1,上没有零点, 所以 0a.令 , 解得 当 时, yfx恰有一个零点在 1,上;当 ，即 5a时， yfx在 1,上也恰有一个零点.当 yfx在 1,上有两个零点时, 则或解得 5a或综上所求实数 的取值范围是 1a 或 .7.设 a 为实数，函数 .（）讨论 )(xf的奇偶性.（）求 )(xf的最小值. 8（） ，即当 21a时， ；当 时， ；当 21a， .8.已知二次函数 ,当 1x时, .)(xf（1） 证明： ；（2） 用 表示 )1(,g；（3）当 x时，证明 .2)(xg解：（1）（2）；（3）由于 ()gx为一次函数，所以 ()gx在 1,端点处达到最大值，又 1时，因为 1，所以9，故当 1x时，.2)(xg
