1、132 平面向量 平面向量的数量积【考点讲解】1、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低； 2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键； (2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结
2、合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量 a、 b，它们的夹角为 ，则ab= cos.若 a=( 1x, y),b=( 2x, y)，则 = .2.向量的模：若 =(，则| a|= 2xy+.3.两向量的夹角余弦值： ab.4.向量垂直的等价条件： ab0=.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量 a和 b，作 OA a， B b，则 AOB 叫做向量 a与 b的夹角2（2）夹角范围：向量夹角 的范围是 0 180 a与 b同向时，夹角 0； a与 b反向时，夹角 180.（3）向量垂直：如果
3、向量 a与 b的夹角是 90，则 与 垂直，记作 .2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量 与 ，则数量 cos叫做 a与 b的数量积，记作 ab，即 ab ，其中 是 a与 b的夹角规定 0. 当 时， 90，这时 0=.（2） ab的几何意义： 数量积 等于 的长度 a与 b在 的方向上的投影 cosb的乘积3.向量数量积的性质：（1）2a， .（2） ab( 为 与 的夹角).（3） .4.数量积的运算律（1）交换律： .（2）分配律：3（3）对 .5.数量积的坐标运算：设 ，有下面的结论：（1） .（2） ab0=.（3）（4） ( 为 a与 b的夹角).【真题分析】1.【2018
4、 年天津卷文】在如图的平面图形中，已知 , 则 OMBC的值为（ ）A.-15 B.-9 C.-6 D. 0【答案】C2.【2017 北京，理 6】设 nm,为非零向量，则“存在负数 ，使得 nm”是“ 0”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数 ，使得 ，此时两向量方向相反，夹角为 180，一，两向量的数量积为：4成立.如果 0nm，此时两向量的夹角在 90到 180之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数 ，使得 成立，所以是充分不必要条件.【答案】A3.【2014 山东.理 12】 在 ABC中，已知 ，当
5、 6A时， BC的面 积为_.【答案】 164. 【2016 高考浙江理数】已知向量 ba, ，若对任意单位向量 e，均有 ,则 ba的最大值是 【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用 由题意可知 ，即最大值为 12.【答案】 125.【2015 高考天津，文 13】在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC, 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 则 EF的值为 【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形 ABCD 中,由 AB DC,得 , 1, 2,5所以 = 【答案】 2918 6.【2016江苏卷】如图，在 ABC 中， D 是
6、BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， 4，BA CA 1，则 的值是_BF CF BE CE 则 【答案】 787.【2017 课标 1，理 13】已知向量 ba,的夹角为 60， 2a， 1b，则 ba2 .【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，法一：由题意可知所以 .【答案】 236法二：利用如下图形，可以判断出 2ab的模 长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱 形对角线的长为 3.【答案】 238.【2017 山东，理 12】已知 12,e是互相垂直的单位向量，若 123e与 12e的夹角为 60，则实数的值是 .【答案】 3【模拟考
7、场】1.已知向量 (1,2)a， (,1)b，则 （ ）A2 B-2 C-3 D4【答案】A2. 已知非零向量 m， n 满足 4 m=3 n，cos=13.若 n（ tm+n） ，7则实数 t 的值为（ ）A.4 B.4 C. 94 D. 94【解析】由 43mn，可设 ，又 ，所以.所以 4t，故选 B.【答案】B3.已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 ED,分别是边 BCA,的中点，连接 DE并延长到点 F，使得EFD2，则 BCA的值为（ ）A. 85B.8C. 4D. 81【解析】设 BAa， Cb， ， ， ，故选 B.【答案】B4.已知向量 a与 b的夹角为 60， |
8、2a， |5b，则 2ab在 方向上的投影为（ ）A 23 B2 C D38【答案】A5.设向量 ， ，且 ab，则 m的值为_【解析】因为 ab，所以有 0ab=，可以得到 ，则 ，应填答案 2. 【答案】26.在 ABC 中， 60 ， 3AB， C.若 BDC， ，且，则 的值为_.【解析】由题意可知： ，= ，所以可得 13.9【答案】 137.已知 a， 4b， 0a，若向量 c满足 ，则 c的取值范围是_【答案】 0,58.已知两个不共线的向量 ba,，它们的夹角为 ，且 ， x 为正实数(1)若 2与 4垂直，求 tan ；(2)若 ，求 x的最小值及对应的 x 的值，并判断此时向量 a与 b是否垂直 6【解析】(1)因为 ba与 垂直，所以 .所以 ，所以 32231cos 81 20，所 以 cos ，16又 (0，)，sin ，所以 tan .1 cos2356 sincos 3510(2) 故当 x 时， ba取最小值为 ，36 12此时 931cos 0，36 6故向量 a与 bx垂直.
