1、第二讲 基本初等函数、函数与方程,总纲目录,考点一 基本初等函数的图象与性质,1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)aman=am+n; (2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN; (4)loga =logaM-logaN; (5)logaMn=nlogaM; (6) =N; (7)logaN= . (a0且a1,b0且b1,M0,N0),2.指数函数与对数函数的增减性 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)的增 减性分01两种情况,当a1时,在定义域内都为增函数,当 0a1时,在定义域内都为减函数.,答案 (1)B (2)
2、B (3)B,解析 (1)解法一:函数y=ln x的图象上的点P(1,0)关于直线x=1对 称的点是它本身,则点P在函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的 图象上,结合选项可知B正确.故选B. 解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对 称点P(2-x,y)在函数y=ln x的图象上, y=ln(2-x).故选B. (2)由对数函数的性质可得a=log32(0,1),b=lg 0.21,bac.故选B.,1.已知函数f(x)=3x-b(2x4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的 值域为 ( ) A.1,81 B.1,3 C.1,9 D.1,+),答案
3、C 由函数f(x)=3x-b的图象过点(2,1),可知b=2,f(x)=3x-2,其 在区间2,4上是增函数,f(x)min=f(2)=30=1,f(x)max=f(4)=32=9.故f(x) 的值域为1,9,故选C.,2.已知f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a0且a1),若f(4)g(-4)0,则y=f(x),y=g (x)在同一坐标系内的大致图象是 ( ),答案 B f(x)=ax-20恒成立,又f(4)g(-4)0,g(-4)=loga|-4|=loga 40=loga1,0a1.故函数y=f(x)在R上单调递减,且其图象过点 (2,1),函数y=g(x)在(0,+)上单调
4、递减,在(-,0)上单调递增.故选 B.,考点二 函数的零点,1.函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.函数F(x)=f(x)- g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g (x)的图象交点的横坐标.,2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,(2018陕西质量检测一)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都
5、 满足f(x+1)=-f(x),且当0x1时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-ln |x|的零 点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,命题角度一:判断函数零点的个数,答案 B,解析 依题意,可知函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数即函数y=f(x)的 图象与函数y=ln |x|的图象的交点个数. 设-1x0,则0x+11,此时有f(x)=-f(x+1)=-(x+1),又由f(x+1)=-f (x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)以2为周期. 而y=ln |x|= 在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=ln |x| 的图象,如图.由图可
6、知,两图象有3个交点,即函数g(x)=f(x)-ln |x|有 3个零点.故选B.,方法归纳 判断函数零点个数的3种方法,(2018课标全国(理),9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+ a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+),答案 C,命题角度二:根据函数的零点求参数的取值或范围,方法归纳 利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法,1.(2018河北石家庄教学质量检测,11)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8 sin(x)(xR)的所有零点之和,则M的值为 ( ) A.3 B.6 C.9 D.
7、12,答案 D 因为f(3-x)=|3-2x|-8sin(3-x)=|2x-3|-8sin(x)=f(x), 所以函数f(x)的图象关于直线x= 对称. 作出函数y=|2x-3|与y=8sin(x)的大致图象,如图. 由图知,函数y=|2x-3|与y=8sin(x)的图象有8个交点, 所以函数f(x)有8个零点, 所以所有零点之和M=42 =12.故选D.,2.(2018天津(理),14,5分)已知a0,函数f(x)= 若 关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=
8、g(x)有两个零点,即函 数y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的函数y=g(x)的图象有 以下两种情况: 情况一:,则 4a8.,则 此不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).,情况二:,某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关 系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜 时间是192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜 时间是 h.,答案 24,解析 由已知得192=eb, 48=e22k+b=e22keb. 将代入得e22k= ,则e11k= . 当x=33时,y=e33k+b=e33k
9、eb= 192=24,所以该食品在33 的保鲜 时间是24 h.,方法归纳 函数建模首先要熟悉一定的数学知识,其次要会根据题目的要求 建立求解目标需要的函数解析式(数学模型),然后通过解这个函 数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等),对实际问题作出合 乎要求的解释.需要注意:实际问题中函数的定义域要根据实际意 义给出,而不是单纯根据函数的解析式得出.,1.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015 年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金 比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.120.0
10、5,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,答案 B 设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元.根据题意得130(1+12%)n-1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30, 解得n . 又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019 年.故选B.,2.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品 需
11、另投入的成本为G(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,G(x) = x2+10x;当年产量不小于80千件时,G(x)=51x+ -1 450.已知 每件产品的售价为0.05万元.通过市场分析,该工厂生产的产品能 全部售完,则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是 万元.,答案 1 000,解析 设年利润为L(x)万元.每件产品的售价为0.05万元,x千 件产品的销售额为0.051 000x=50x(万元).当0x80时,年利润 L(x)=50x- x2-10x-250=- x2+40x-250=- (x-60)2+950,当x=60时,L (x)取得最大值,且最大值为L(60)=950;当x80时,L(x)=50x-51x- +1 450-250=1 200- 1 200-2 =1 200-2 00=1 000,当且仅当x= ,即x=100时,L(x)取得最大值1 000,由 于9501 000,当产量为100千件时,该工厂在这一产品的生产中 所获年利润最大,最大年利润为1 000万元.,
