1、1第十六讲 坐标系与参数方程1.(2018 吉林长春质量检测)在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 2(1+3sin2)=4,曲线 C2: ( 为参数).x=2+2cos ,y=2sin (1)求曲线 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程;(2)极坐标系中两点 A( 1, 0),B 都在曲线 C1上,求 + 的值.( 2, 0+ 2) 1 211 222.已知曲线 C 的极坐标方程为 =2,在以极点为直角坐标原点 O,极轴为 x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).x= 22t,y=3
2、 5+ 22t(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)在平面直角坐标系中,设曲线 C 经过伸缩变换: 得到曲线 C,若 M(x,y)为曲线 C上任意一x=12x,y=y,点,求点 M 到直线 l 的最小距离.3.(2018 山西八校第一次联考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 ( 为参数).x=3+5cos ,y=4+5sin 以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)设 l1:= ,l2:= ,若 l1,l2与曲线 C 分别交于异于原点的 A,B 两点,求AOB 的面积. 6 324.(2018 湖
3、北武汉模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),以x=2t-1,y= -4t-2坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 = .21-cos(1)求曲线 C2的直角坐标方程;(2)设 M1是曲线 C1上的点,M 2是曲线 C2上的点,求|M 1M2|的最小值.5.(2018 成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参x=2+12t,y=2+ 32t数).在以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为sin 2+4sin=.(1)写出直线 l
4、 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)已知点 M 在直角坐标系中的坐标为(2,2),若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A,B,求|MA|MB|的值.36.(2018 广西南宁二中、柳州高中第二次联考)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 (x=3cos ,y=2sin 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 D 的极坐标方程为 =4sin .( - 6)(1)写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程;(2)若过点 A (极坐标)且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,弦 MN 的中点为 P,求(2 2, 4) 3的值.|A
5、P|AM|AN|47.(2018 河南洛阳第一次统考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数,mR),x=t,y=m+t以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2= (0).33-2cos2(1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知点 P 是曲线 C2上一点,若点 P 到曲线 C1的最小距离为 2 ,求 m 的值.28.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1过点 P(a,1),其参数方程为 (t 为参数,aR).以 O 为x=a+ 2t2,y=1+ 2t2极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C
6、2的极坐标方程为 cos 2+4cos-=0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知曲线 C1与曲线 C2交于 A,B 两点,且|PA|=2|PB|,求实数 a 的值.答案精解精析1.解析 (1)由题意可得,曲线 C1的直角坐标方程为 +y2=1,C2的普通方程为(x-2) 2+y2=4.x245(2)由点 A,B 在曲线 C1上,得= , = , 2141+3sin2 0 22 41+3sin2( 0+ 2)则 = , = ,1 211+3sin2 04 1 221+3cos2 04因此 + = + = .1 211 221+3sin2 04 1+3cos2 04
7、 542.解析 (1)由 消去参数 t,得 y=x+3 .x= 22t,y=3 5+ 22t 5直线 l 的普通方程为 x-y+3 =0.5x=cos,y=sin,x 2+y2= 2=4.曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4.(2)由 得 代入方程 x2+y2=4,得 x2+ =1.x=12x,y=y x=2x,y=y, y24已知 M(x,y)为曲线 C上任意一点,故可设 M(cos,2sin),其中 为参数.则点 M 到直线 l 的距离d= = ,其中 tan=2.|cos -2sin +35|2 |5cos( + )+35|2点 M 到直线 l 的最小距离为 = .35- 52 1
8、03.解析 (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程为(x-3) 2+(y-4)2=25,即 x2+y2-6x-8y=0.曲线 C 的极坐标方程为 =6cos+8sin.(2)设 A ,B .( 1, 6) ( 2, 3)把 = 代入 =6cos+8sin,得 1=4+3 ,A , 6 3 (4+3 3, 6)把 = 代入 =6cos+8sin,得 2=3+4 , 3 3B .(3+4 3, 3)S AOB = 1 2sinAOB12= (4+3 )(3+4 )sin12 3 3 ( 3- 6)=12+ .25344.解析 (1)= ,21-cos6-cos=2,即 =cos+2.x=cos,
9、 2=x2+y2,x 2+y2=(x+2)2,化简得 y2-4x-4=0.曲线 C2的直角坐标方程为 y2-4x-4=0.(2) (t 为参数),x=2t-1,y= -4t-22x+y+4=0.曲线 C1的普通方程为 2x+y+4=0,表示直线 2x+y+4=0.M 1是曲线 C1上的点,M 2是曲线 C2上的点,|M 1M2|的最小值等于点 M2到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值.不妨设 M2(r2-1,2r),点 M2到直线 2x+y+4=0 的距离为 d,则 d= = = ,当且仅当2|r2+r+1|5 2(r+12)2+345 3253510r=- 时取等号.12|M 1M2|的
10、最小值为 .35105.解析 (1)由 消去参数 t,可得 y= (x-2)+2,x=2+12t,y=2+ 32t 3直线 l 的普通方程为 x-y+2-2 =0.3 3sin 2+4sin=, 2sin2+4sin= 2.sin=y, 2=x2+y2,曲线 C 的直角坐标方程为 x2=4y.(2)将 代入抛物线方程 x2=4y 中,可得 =4 ,即 t2+(8-8 )t-16=0.x=2+12t,y=2+ 32t (2+12t)2 (2+ 32t) 30,且点 M 在直线 l 上,此方程的两个实数根 t1,t2为直线 l 与曲线 C 的交点 A,B 对应的参数,t 1t2=-16,|MA|M
11、B|=|t 1t2|=16.6.解析 (1)由题意可得曲线 C 的普通方程为 + =1,x29y24将 代入曲线 C 的普通方程可得,曲线 C 的极坐标方程为 + =1.因为曲线 D 的极x= cos ,y= sin 2cos29 2sin24坐标方程为 =4sin ,所以 2=4sin =4 sin- cos =2 sin-( - 6) ( - 6) 32 12 32cos,7又 2=x2+y2,x=cos,y=sin,所以 x2+y2=2 y-2x.3所以曲线 C 的极坐标方程为 + =1,曲线 D 的直角坐标方程为 x2+y2+2x-2 y=0. 2cos29 2sin24 3(2)因为
12、点 A 的极坐标为 ,所以 所以 A 的直角坐标为(2,2).(2 2, 4) x=2 2cos 4=2,y=2 2sin 4=2,因为直线 l 过点 A(2,2)且倾斜角为 ,所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数),代入 3 x=2+tcos 3,y=2+tsin 3+ =1 可得, t2+(8+18 )t+16=0,x29y24 314 3设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t 1+t2=- ,t1t2= ,32+72331 6431所以 = = .|AP|AM|AN|t1+t22|t1t2|4+93167.解析 (1)由曲线 C1的参数方程消去参
13、数 t,可得 C1的普通方程为 x-y+m=0.由曲线 C2的极坐标方程得 3 2-2 2cos2=3,0,曲线 C2的直角坐标方程为 +y2=1(0y1).x23(2)设曲线 C2上任意一点 P 的坐标为( cos,sin),0,3则点 P 到曲线 C1的距离 d= = .|3cos -sin +m|2 |2cos( + 6)+m|20,cos ,( + 6) -1, 322cos -2, .( + 6) 3由点 P 到曲线 C1的最小距离为 2 得,2若 m+ 0,则 m-2=4,即 m=6;若 m-20,当|m+ |m-2|,即 m 时,-m+2=4,即 m=-2,不符合题意,舍去;3 32- 32当|m+ |0,即 a0,2 t1+t2=2 2,t1t2=2-8a,根据参数方程中参数的几何意义,可知|PA|=|t 1|,|PB|=|t2|,由|PA|=2|PB|得 t1=2t2或 t1=-2t2,当 t1=2t2时,有 t1+t2=3t2=2 2,t1t2=2t22=2-8a,解得 a= 0,符合题意;136当 t1=-2t2时,有 t1+t2= -t2=2 2,t1t2= -2t22=2-8a,解得 a= 0,符合题意.94综上所述,a= 或 a= .136 94
