1、第十六讲 坐标系与参数方程,总纲目录,考点一 极坐标方程及其应用,1.圆的极坐标方程 若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的极坐标方程为2-20cos(-0)+ -r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r时:=r; (2)当圆心位于M(a,0),半径为a时:=2acos ; (3)当圆心位于M ,半径为a时:=2asin .,2.直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0)且与极轴所成的角为,则它的极坐标方程为 sin(-)=0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)过极点的直线的极坐标方程为=0和=+0; (2)过点M(a,0)且垂直于极轴的直
2、线的极坐标方程为cos =a; (3)过点M 且平行于极轴的直线的极坐标方程为sin =b.,3.极坐标与直角坐标的互化方法,(2018课标全国,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+ 2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的 极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为 (x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.
3、 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2 只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点 且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-,时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= .经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k= 时,l2与 C2没有公共点. 综上,所求C1的方
4、程为y=- |x|+2.,方法归纳 (1)求曲线的极坐标方程的一般思路 求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标 系中的问题求解,然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程, 熟练掌握互化公式是解决问题的关键. (2)解决极坐标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将 其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出 极坐标.,1.(2018云南昆明模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为 (x-2)2+y2=4,直线l的方程为x+ y-12=0,以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系. (1)分别写出曲线C与直线l的极
5、坐标方程; (2)在极坐标系中,极角为 的射线m与曲线C、直线l分 别交于A,B两点(A异于极点O),求 的最大值.,解析 (1)由x=cos ,y=sin ,得曲线C的极坐标方程为=4cos , 直线l的极坐标方程为cos + sin -12=0. (2)由题意得|OA|=4cos ,因为cos + sin -12=0,所以|OB|=,所以 = = + sin ,因 为 ,所以2+ ,所以sin ,所以的最大值为 ,此时= .,2.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线C的极坐标方程为cos =1,M,N分别为曲线C与x轴,y 轴的交点. (1)写出曲线C的直
6、角坐标方程,并求M,N的极坐标; (2)设线段MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.,解析 (1)cos =1, cos cos +sin sin =1. 又 x+ y=1. 即曲线C的直角坐标方程为x+ y-2=0, 令y=0,则x=2;令x=0,则y= . M(2,0),N .,M的极坐标为(2,0),N的极坐标为 . (2)易求MN的中点P的直角坐标为 , P的极角为= , 直线OP的极坐标方程为= (R).,考点二 参数方程及其应用,1.直线的参数方程 经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程为 (t是 参数). 设P是直线上的任意一点,则|t|表示有向线段 的长度.,2.
7、圆的参数方程 圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为 (为 参数).,3.圆锥曲线的参数方程 椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 (为参数); 双曲线 - =1(a0,b0)的参数方程为 (为参数); 抛物线y2=2px(p0)的参数方程为 (t为参数).,(2018课标全国,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.,解析 (1)曲线C的直角坐标方程为 + =1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan
8、, 当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3 cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内, 所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由得t1+t2=- , 故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.,注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角 坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方 程”更合适.,方法归纳 参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数
9、的过程,常用的 消参方法有代入消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程 进行变形,为消去参数创造条件. (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题 的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代 入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.,1.(2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数 方程为 (为参数),过点(0,- )且倾斜角为的直线l 与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置 关系. (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当=
10、 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k,则l的方程为y=kx- . l与O交于两点当且仅当 1, 即 或 . 综上,的取值范围是 .,(2)l的参数方程为. 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= ,且tA,tB满足t2-2 tsin +1=0. 于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是,.,2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为 参数),直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为 极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程; (2)若直线
11、l与曲线C的两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点 为P,求|PM|PN|的值.,解析 (1)由直线l的参数方程为 (t为参数),消去参数t, 得x+y-1=0. 由曲线C的参数方程为 (为参数),利用平方关系,得x2 +(y-2)2=4,则x2+y2-4y=0. 令2=x2+y2,y=sin ,代入得C的极坐标方程为=4sin . (2)在直线x+y-1=0中,令y=0,得点P(1,0). 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2-3 t+1=0, t1+t2=3 ,t1t2=1. 由直线参数方程的几何意义,得|PM|PN|=|t1t2|=1.,考点三 极坐标方程与参数方程的综合问题,(20
12、18福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数 方程为 (为参数),直线C2的方程为y= x,以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程; (2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求 + .,解析 (1)由曲线C1的参数方程为 (为参数),得曲线C 1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为2-4cos -4 sin +7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为 ,故其极坐标方程为 = (R). (2)由 得2-(2 +2)+7=0,设A,B对应的 极坐标为1,2,则1+2=2 +2,12=7, + =
13、= = .,方法归纳 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 (1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以 先化成直角坐标系下的普通方程,这样思路可能更加清晰. (2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简洁. (3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐 含条件.,1.(2018广东惠州第一次调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数 方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos =tan . (1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2交于A,B两点,点P的极坐标
14、为 ,求 + 的值.,解析 (1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得,曲线C1的普通方程 为4x+3y-2=0; 由x=cos ,y=sin 可得,曲线C2的直角坐标方程为y=x2. (2)由点P的极坐标为 可得点P的直角坐标为(2,-2).将曲 线C1的参数方程 (t为参数)代入y=x2,得9t2-80t+150=0,设 t1,t2分别是点A,B对应的参数,则t1+t2= ,t1t2= 0. + = = = .,2.(2018辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同.已知 曲线C的极坐标方程为=2sin ,0,2. (1)求
15、曲线C的直角坐标方程; (2)在曲线C上求一点D,使它到直线l: (t为参数)的距 离最短,写出D点的直角坐标.,解析 (1)由=2sin 可得2=2sin . 曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0. (2)直线l的参数方程为 (t为参数),消去t得l的普通方程 为y=- x+5. 由(1)得曲线C的圆心为(0,1),半径为1, 又点(0,1)到直线l的距离为 =21, 所以曲线C与l相离. 设D(x0,y0),且点D到直线l:y=- x+5的距离最短,则曲线C在点D处 的切线与直线l平行, (- )=-1, 又 +(y0-1)2=1, x0=- (舍去)或x0= ,y0= , 点D的直角坐标为 .,
