1、1张家口市 20182019 学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ， ， ，则 中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出 ，然后求出 ，即可得到答案。【详解】 ， ，则 .故答案为 C.【点睛】本题考查了集合的运算，主要涉及交集与补集，属于基础题。2.已知是虚数单位， ，是的共轭复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得 z,写出 z 的共轭复数，即可得到虚部.【详
2、解】 ，z=2i1+i= 2i(1-i)(1+i)(1-i)=2i+22 =1+i1 i，其虚部为1，故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数及复数虚部的概念，属于简单题.3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 ， ，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）x1 x22A. ，乙比甲成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定x1x2C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，甲比乙成绩稳定x1x2【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是 ，x1=102+10
3、4+105+114+1335 =91.6乙的平均数是 x2=108+115+116+122+1235 =116.8，所以 ，从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中，乙比甲成绩稳定x10【详解】 ，则f(x)=ax3+3x+2 f(x)=3ax2+3,又 则 ，解得 a=-2,f(-1)=-3， f(-1)=3a+3=-3解 得 ,f(x)=-6x2+3, f(x)0, -220), 2f(x)f(x+2)A. B. C. D. 1,23 1,1 23,1 1,+【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式分三种情况： 时，不等式转化为 ；当 时，x-2 -2x-(x+2) -20 x2x+2得
4、到答案。【详解】由题意，当 时， ， ，则 ，解得x-2 2f(x)=-2x f(x+2)=-(x+2) -2x-(x+2)，与 矛盾，故不成立；x2 x-2当 时， ， ，则 ，解得 ，由于-20 2f(x)=4x f(x+2)=2x+2 x2x+2 x23 x0.00bx+1,x0 f(13)=-1 f(-1)=3 f(f(-3)=【答案】2【解析】【分析】由 ， ，可以求出 ，从而得到函数 的表达式，进而可f(13)=loga13=-1 f(-1)=b-1+1=3 a,b f(x)以求出 ，及 ，即可得到答案。f(-3) f(f(-3)【详解】由题意知， ，解得 ， ，解得 ，f(13)
5、=loga13=-1 a=3 f(-1)=b-1+1=3 b=12故函数表达式为 ，f(x)=log3x,x0(12)x+1,x0 则 ，则 .f(-3)=(12)-3+1=9 f(f(-3)=f(9)=log39=2故答案为 2.【点睛】本题考查了分段函数，考查了指数幂的运算，及对数式的运算，属于基础题。14.设变量 ， 满足的约束条件 ，则目标函数 的最大值为_x y xy+20,2x+3y60,3x+2y90, z=x+7y【答案】 22【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不
6、等式组 对应的平面区域如图x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90, 由 得到 ，平移直线 ，z=x+7y y=-17x+z7 y=-17x+z7由图象可知当 经过点 B 时，直线 的截距最大，此时 z 最大， 直 线 y=-17x+z7 y=-17x+z7由 解得 B(1,3)x-y+2=03x+2y-9=0 此时 z1+3722，9故答案为：22【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通
7、过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.经过点 作圆 的切线，设两个切点分别为 ， ,则P(4,1) x2+y22y=0 A B_tanAPB=【答案】199【解析】【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出 ， ，从而求出|PD|=25 |DA|=1的值，由 ，利用二倍角的正切公式，可以求出 的值.tanAPD APB=2APD tanAPB【详解】圆的方程可化为 ，则圆心为 ，半径为 r=1，设 ，x2+(y-1)2=1 D(0,1) APD=， ， ，则APDA |PD|= 42+(-1-1)2=25 |PA|= |PD|2-r2= 20-1=
8、19, .tan=|DA|PA|=119=1919tanAPB=tan2= 2tan1-tan2=219191-119=19910【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题。16.在锐角 中， ， , 在 边上，并且 ， ，则ABC AC=2 AB=22D BC BD=2DC CAD=6的面积为 _ABC【答案】 3+1【解析】【分析】在 中，由正弦定理 ，可得到 ，在 中，由正弦定理ADCDCsinCAD= ACsinADC sinADC=1DC ADB，可得到 ，由 是锐角，可知DBsinBAD= ABsinADB sinBA
9、D=DBsinADBAB =2DC1DC22 =22 BAD， ，结合三角形的面积公式可得到答案。BAD=4 BAC=4+6【详解】在 中，由正弦定理得： ，则 ，ADCDCsinCAD= ACsinADC sinADC=2sin61DC=1DC在 中，由正弦定理得： ，则 ，ADBDBsinBAD= ABsinADB sinBAD=DBsinADBAB因为 ， ，所以 ，由于三角形是锐sinADB=sinADC=1DC BD=2DC sinBAD=2DC1DC22 =22角三角形，故 ，则 ，故 的面积为BAD=4 sinBAC=sin(4+6)=2+64 ABC.122222+64 = 3
10、+1【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ， ，an n Sn bn a5=5 S4=10bn011， .b2=a4 b4=a16（1）求数列 和 的通项公式；an bn（2）令 ，求数列 的前 项和 .cn=2an(bn-1)(bn+1-1) cn n Tn【答案】 （1） ， ；（2）an=n bn=2n 2n+122n+11【解析】【分析】（1）由 是等差数列， ， ，可求出 ，由 是等比数列，
11、 ，an a5=5 S4=10 an=n bn bn0， ，可求出 ；（2）将 和 的通项公式代入 ，则 b2=a4 b4=a16 bn=2n an bn cn cn= 2n(2n-1)(2n+1-1)，利用裂项相消求和法可求出 .=12n-1- 12n+1-1 Tn【详解】(1) ， ， ，解得a5=5 S4=10 a1+4d=5,4a1+432d=10, a1=1,d=1, .an=n又 ， ，b2=4 b4=16.b1q=4,b1q3=16,bn0, b1=2,q=2, bn=2n（2）由（1） ，得 cn=2n(2n-1)(2n+1-1) = 12n-1- 12n+1-1Tn=c1+c
12、2+ +cn=(121-1- 122-1)+ ( 122-1- 123-1)+ +( 12n-1- 12n+1-1)=1- 12n+1-1=2n+1-22n+1-1【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前 项和，属于中档题。n18.四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 为菱形， ，ABCD-ABCD AA ABCD ABCD ABC=60， ， ， 分别是 ， 的中点.AB=2 AA= 3 E F AB BD12（1）求证： 平面 ；EF/ BCCB（2）求四面体 的体积.F-AEC【答案】 （1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）连接 ，可知 是 的中
13、点，连接 ，由于 是 的中点，可知 ，即可证FC F AC BC E AB EF/BC明 平面 ；（2）由于 平面 ，可证明 EF/ BCCB BF AACC VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC，求出 即可得到答案。=1214VB-AACC=18VB-AACC VB-AACC【详解】 （1）证明：连接 ，在菱形 中，因为 是 的中点，所以 是 的中点.FC ABCD F BD F AC连接 ，则在 中，又由于 是 的中点，所以 .BC ABC E AB EF/BC又 平面 ，平面 ，所以 平面 .EF BCCB BC BCCB EF/ BCCB（2）解： ，VF-AEC=VE-AFC
14、=12VB-AFC=1214VB-AACC=18VB-AACC由于 平面 ， ，BF AACC BF=232= 3，故 .VB-AACC=1323 3=2 VF-AEC=18VB-AACC=14【点睛】线面平行的证明，关键在于在平面内找出与13已知直线的平行线；三棱锥的体积，常常通过等体积法求解，学生在学习中要重视这种题型。19.某医疗器械公司在全国共有 个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行100评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这 个销售点的年销量绘100制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这 个销售点
15、中抽取容量为 的样本，求该五组 ，100 25 2,6)， ， ， ， （单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量. 6,10) 10,14) 14,18) 18,22)（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取 个，求这两个销2售点不在同一组的概率.【答案】 （1）24；（2）见解析；（3）35【解析】【分析】（1）由频率之和等于 1，列出方程 ，求解即可；（2）各组(0.02+0.08+0.09+2a)4=1应抽取的销售点数量比例为 ，按比例计算即可；（3）完成年销售任务的销售点，2:8:9:3:3中有 个， 中有 个，不在一组的基本事件有 9 个，所有的基本事件有
16、 15 个，14,18) 3 18,22) 3即可得到概率为 。915=35【详解】 （1） ，解得 ，(0.02+0.08+0.09+2a)4=1 a=0.03则完成年销售任务的销售点个数为 .0.0324100=24（2）各组应抽取的销售点数量比例为 ，则各组应抽取的销售点数量分别为 ， ，2:8:9:3:3 2 8， ， .9 3 3（3）在第（2）问容量为 的样本中，完成年销售任务的销售点， 中有 个，记为 ，25 14,18) 3 A1， ， 中有 个，记为 ， ， .A2 A3 18,22) 3 B1 B2 B314从这 个销售点中随机选取 个，所有的基本事件为 ， ， ， ， ，
17、6 2 A1A2 A1A3 A2A3 B1B2 B1B3， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件，B2B3 A1B1 A1B2 A1B3 A2B1 A2B2 A2B3 A3B1 A3B2 A3B3 15不在一组的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共A1B1 A1B2 A1B3 A2B1 A2B2 A2B3 A3B1 A3B2 A3B3个基本事件，故所求概率为 .9915=35【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，考查了概率的计算，属于基础题。20.以 为圆心的动圆经过点 ，并且与直线 相切.P F(1,0) x=1（1）求点 的轨迹 的方程；P C（2）若
18、， ， ， 是曲线 上的四个点， ，并且 ， 相交于点 ，直线A B C D C ABCD AB CD F的倾斜角为锐角.若四边形 的面积为 ，求直线 的方程.AB ABCD 36 AB【答案】 （1） ；（2） 或y2=4x y= 2(x1) y=22(x1)【解析】【分析】（1）设圆 与直线 相切于点 ，则 ，点 的轨迹为抛物线，求出方程即可；P x=-1 E |PE|=|PF| P（2）设直线 的方程为 ， ，与抛物线方程联立可得 AB y=k(x-1) k0 |AB|=x1+x2+2，同理可得 ，则四边形 的面积=4+4k2 |CD|=4+4k2 ABCD，即可求出 ，进而得到直线 的
19、方程。S=12|AB|CD|=12(4+4k2)(4+4k2)=36 k AB【详解】 （1）设圆 与直线 相切于点 ，则 ，即点 到 的距离与点 到直线P x=-1 E |PE|=|PF| P F P的距离相等，所以点 的轨迹为抛物线. 是焦点， 是准线.x=-1 P F x=-1所以 的方程为 .C y2=4x（2）设 ， ，直线 的方程为 ， .A(x1,y1) B(x2,y2) AB y=k(x-1) k0由 得 ， . y=k(x-1),y2=4x, k2x2-(2k2+4)x+k2=0 x1+x2=2k2+4k2.同理， .|AB|=x1+x2+2 =4+4k2 |CD|=4+4k
20、2所以四边形 的面积 .ACBD S=12|AB|CD| =12(4+4k2)(4+4k2) =8(1+1k2)(1+k2)由 ，8(1+1k2)(1+k2)=3615得 或 ，所以 或 .k2=2 k2=12 k= 2 k=22所以直线 的方程为 或 .AB y= 2(x-1) y=22(x-1)【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理的运用，抛物线弦长公式及焦半径的运用，属于中档题。21.已知函数 .f(x)=x2+(a2)xalnx(a0)（1）求 的单调区间；f(x)（2）设 ， 为函数 图象上不同的两点， 的中点为 ，求证：P(x1,y
21、1) Q(x2,y2) f(x) PQ M(x0,y0).f(x1)f(x2)x1x2 1 f(x)0，和 ，则要证的不等式f(x0)=x1+x2+a-2-2ax1+x2 f(x1)-f(x2)x1-x2 =x1+x2+a-2- alnx1x2x1-x2，不妨假设 ，即证 ，令f(x1)-f(x2)x1-x2 2x1+x2 x1x20 lnx1x22(x1x2-1)x1x2+1，构造函数 ，求导可判断函数 在 上单调递增，则t=x1x21 h(t)=lnt-2(t-1)t+1 h(t) (1,+)，进而可以证明不等式成立。h(t)h(1)=0【详解】 （1） 的定义域为 ， .f(x) (0,
22、+) f(x)=2x+a-2-ax=(x-1)(2x+a)x由于 ，则当 时， ，当 时， ，则 的单调递减区间为-a21 f(x)0 f(x)，单调递增区间为 .(0,1) (1,+)（2）证明：因为 为 的中点，则 ，故 M(x0,y0) PQ x0=x1+x22 f(x0)=2x0+a-2-ax0，=x1+x2+a-2-2ax1+x2f(x1)-f(x2)x1-x2 = x21+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2=x21-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x216=x1+x2+a-2- alnx1x2x1-x2故要证 ，即证 ，由
23、于 ，即证 .f(x1)-f(x2)x1-x2 0 lnx1x2x1-x2 2x1+x2不妨假设 ，只需证明 ，即 .x1x20 lnx1x22(x1-x2)x1+x2 lnx1x22(x1x2-1)x1x2+1设 ，构造函数 ， ，故 在 上单调递t=x1x21 h(t)=lnt-2(t-1)t+1 h(t)=1t- 4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20 h(t) (1,+)增，则 ，则有 ，从而 .h(t)h(1)=0lnx1x22(x1x2-1)x1x2+1 f(x1)-f(x2)x1-x2 12, 当 时， 无解； x-1 f(x)3当 时，由 ，得 ，解得 ， ；-1x12 f(x)3 4x+13 x12 x=12当 时， 恒成立， .所以不等式 的解集为 .（2） .18由 的解集非空， .或 ，解得 或 .的取值范围为 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.
