1、16.1 二根次式 第十六章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下（ RJ） 教学课件 第 2课时 二次根式的性质 学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法 .（重点） 2.会 运用二次根式的两个性质进行化简计算 .（难点） 导入新课 情景引入 问题 1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 14算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a 2()aa a0 1 1214我们都是非负数哟 问题 2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 1 142a 2aa
2、a为任意数 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数 . 思考 你发现了什么？ 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又 面积为 a， 即 . （ a 0）的性质 一 2()a讲授新课 活动 1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ a 2aa 2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 活动 2 为了验证活动 1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ . 算术平方根 平方运算 0 2 4 . 004213a(a0) a2)( a02 = 0 . 1321133观察两者有什么
3、关系？ 222 = 4 2222_1 .3 22 _ _ _ _ _ ; 24 _ _ _ _ _ _ _ ; 20 _ _ _ _ _ ;4 132 0 根据活动 2直接写出结果，然后根据活动 2的探究过程说明理由： 是 2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 2的非负数 .因此 . 同理， 分别是 0,4， 的算术平方根，即得上面的等式 . 22 22210 , 4 ,313归纳总结 的性质： 2( ) ( 0 )aa 一般地， a (a 0). 2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 . 注意：不要忽略 a0这一限制条件 .这是使二次根式 有意义的前提条件 .
4、a典例精析 例 1 计算 ： 2(1 ) ( 1 . 5 ) ; 2( 2 ) ( 2 5 ) ；解： 2( 1 ) ( 1 . 5 ) 1 . 5 .2 2 2( 2 ) ( 2 5 ) 2 ( 5 ) 4 5 2 0 . (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： （ ab） 2=a2b2 例 2 在实数范围内分解因式： 42( 2 ) 4 4 .yy解： 2224 2 2 222( 2 ) 4 4 2 22 2 .y y y yyy 2( 1 ) 3 ;x 2( 1 ) 3 3 3 .x x x 本题逆用了 在实数范围内分解因式 .在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的
5、方法和公式仍然适用 . 归纳 2( ) 0a a a 练一练 计算： 22( 1 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 2 2 ) . ； 解 : 2( 1 ) ( 5 ) 5 . 2 2 2( 2 ) ( 2 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 2 = 8 . 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 . 449a(a0) 2a 2a2 . 23观察两者有什么关系？ 0.01 0.10230的性质 二 2a填一填： a (a 0). 2a. 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 . 4492a 2a2 . 23观察两者有什么关系？ 0.01 0.123a(a 0) 思考： 当 a 0时， = 2a ？
6、 -a 归纳总结 a (a 0) 2aa-a (a 0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 . 的性质： 2 ( 0 )aa 例 3 化简： (1 ) 1 6 ; 2( 2 ) ( 5 ) ；解： 2( 1 ) 1 6 4 4 .22( 2 ) ( 5 ) 5 5 . 2( 3 ) 1 0 ; 2( 4 ) ( 3 . 1 4 ) . 22 1 1 1( 3 ) 1 0 = 1 0 = 1 0 = 1 0 . 2( 4 ) ( 3 . 1 4 ) = 3 . 1 4 = 3 . 1 4 . ， 而 3.14 ，要注意 a的正负性 . 注意 2aa计算： 2 2( 1 ) ( -
7、 2 ) ( 2 ) ( - 1 . 2 ) . ； 练一练 解 : 22 1 ( - 2 ) = 2 = 2 ( ) .22 2 ( - 1 . 2 ) = 1 . 2 = 1 . 2 ( ) .辨一辨： 请同学们快速分辨下列各题的对错 （ ） （ ） （ ） （ ） 2222( 1 ) 2 2( 2 ) 2 2( 3 ) 2 2( 4 ) 2 2 议一议： 如何区别 与 ？ 2a2()a2()a 2a从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方 ,后平方 先平方，后开方 a 0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 例
8、4 实数 a、 b在数轴上的对应点如图所示，请你化简 : 222 .a b a b 解：由数轴可知 a 0， b 0， a-b 0， 原式 =|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（ a-b） =-2a. a b 【变式题】 实数 a、 b在数轴上的对应点如图所示，化简： . 2244a a b b a b 解：根据数轴可知 b a 0， a+2b 0， a-b 0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b 2244a a b b a b 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据 a,b的大小讨论绝对值内式子的符号 . 注意 例 5 已知 a、 b、 c是 AB
9、C的三边长，化简： 222 .a b c b c a c b a 解： a、 b、 c是 ABC的三边长， a+b c， b+c a， b+a c， 原式 =|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（ b+c-a） +（ b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数， a+b c 两边之和大于第三边， b+c-a 0， c-b-a 0 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为 代数式 . 概念学习 数 表示数的字母 想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主
10、要有哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 代数式的定义 三 （ 1）一条河的水流速度是 2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； 例 6 解：（ 1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h ( 2 .5 )v ( 2.5)v （ 2）如图，小语 要制作一个 长与宽之比为 5:3的长方形 贺卡，若 面积为 S， 用代数式表示出 它的长 . （ 2）设贺卡的长为 5x,则宽为 3x.依题意得 15x2=S，所以 所以它的长为 ,15Sx 5.15S列代数式的要点： 要抓住关键词语 ， 明确它们的意义以及它
11、们之间的关系 ， 如和 、 差 、 积 、 商及大 、 小 、 多 、 少 、倍 、 分 、 倒数 、 相反数等； 理清语句层次明确运算顺序； 牢记一些概念和公式 归纳总结 1.在下列各式中，不是代数式的是（ ） A.7 B.3 2 C. D 2x2223 xyB 练一练 2.如图是一圆形挂钟，正面面积为 S，用代数式表示出钟的半径为 _. S方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有 “=”“ ”或 “ ”等 . 当堂练习 1.化简 得（ ） A. 4 B. 2 C. 4 D.-4 16 C 2. 当 1x3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 2( 3 )3x
12、xD 3.下列式子是代数式的有 ( ) a2+b2 ; ; 13; x=2; 3 （ 4 5） ; x 10; 10x+5y=15 ; ab.a cbA.3个 B.4个 C.5个 D.6个 C 4.化简 ： （ 1） ; （ 2） ; （ 3） ; （ 4） . 27 281 3 7 4 9 2( 4 )81 -1 0 1 2 a 5. 实数 a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 . 22 ( 1 )aa 1 6.利用 a （ a0 ），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 . 2()a 212( 9 ) 2( 5 )2522142122( 0 )7.(1)已知 a为实数，求代数式 的值 . 22 4 2a a a 解：由题意得 a+20， -4-2a0， a=-2， . 222 4 2 2 2a a a (2)已知 a为实数，求代数式 的值 . 249a a a 解：由题意得 -a20，又 a20， a2=0， a=0， 24 9 4 9 2 3 1 .a a a 能力提升： 课堂小结 二次根式 性质 2( ) ( 0 )a a a a (a 0). 2a2a 拓展性质 |a|（ a为全体实数）
