1、4. 万有引力理论的成就,一、计算天体的质量,1.地球质量的计算: (1)依据:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的 重力等于地球对物体的万有引力,即mg=_。 (2)结论:M=_,只要知道g、R的值,就可计算出地 球的质量。,2.太阳质量的计算: (1)依据:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行 星与太阳间的万有引力充当向心力,即 =_。 (2)结论:M=_,只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r就可以计算出太阳的质量。,3.行星质量的计算: 与计算太阳质量一样,若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公式 是M=_。,二、发现未知天体 1.海王
2、星的发现:英国剑桥大学的学生_和法国 年轻的天文学家_根据天王星的观测资料,利用 万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。 1846年9月23日,德国的_在勒维耶预言的位置附 近发现了这颗行星海王星。,亚当斯,勒维耶,伽勒,2.其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道 之外又发现了_、阋神星等几个较大的天体。,冥王星,【思考辨析】 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。( ) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。( ) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。( ),(4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有 引力。 ( ) (5)若只知道某行星绕
3、太阳做圆周运动的半径,则可以 求出太阳的质量。 ( ) (6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速 度,则可以求出太阳的质量。 ( ),提示:(1)。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星等,不是天王星。 (2)。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。 (3)。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。 (4)。地球表面的物体的重力一般小于地球对它的万有引力,忽略地球自转时,地球表面的物体的重力才等于地球对它的万有引力。,(5)。只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径,不能 求出太阳的质量。 (6)。由G =mv及v=r得M= ,故若知道某行 星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度,则可以
4、求出太 阳的质量。,一 天体质量和密度的计算 【典例】(2018全国卷)2018年2月,我国500 m口径 射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其 自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体, 已知万有引力常量为6.6710-11 Nm2/kg2。以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为,A.5109 kg/m3 B.51012 kg/m3 C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3,【素养解读】,【正确解答】选C。星体自转的最小周期发生在其赤 道上的物质所受向心力正好全部由引力提供时,根据 牛顿第二定律: ;又因为V= R3、 = ;联立可得=
5、 51015 kg/m3,选项C正确。,【核心归纳】 1.天体密度的计算: 计算天体密度的基本思路:若天体的半径为R,则天体 的密度= (1)将M= 代入上式得:= 。,(2)将M= 代入上式得:= 当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半 径R,则=,2.天体质量的计算:,【易错提醒】 (1)利用 =mg求天体的质量时,g是所求天体表面 的重力加速度,且计算的前提是忽略了天体的自转。 (2)由F引=F向求得的质量为中心天体的质量,而不是做 圆周运动的天体的质量。,【过关训练】 1.(2017北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( ) A.地球的半径及重力
6、加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期,C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离,【解析】选D。不考虑地球自转的情况下,在地球表面, 重力等于万有引力, 能计算出地球 的质量;人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动时,又有v= ,已知速度及周期时,联立 可求得地球的质量;月球绕地球做圆周运动时,在已知周期和地月间距离的情况下,可,以求出地球的质量;地球绕太阳做圆周运动时,我们只能求出中心天体太阳的质量,不能求出地球的质量,故选D。,2.已知金星和地球的半径分别为R1、R2,金星和地球表面的重力加速度
7、分别为g1、g2,则金星与地球的质量之比为 ( ),【解析】选A。根据星球表面物体重力等于万有引力, 即mg= ,得M= ,所以有 ,故A正确, B、C、D错误。,3.(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则地球的质量可表示为 ( ),【解析】选A、C。根据 得,M= 选项A正确、B错误;在地球的表面附近有mg= 则M= 选项C正确,选项D错误。,【补偿训练】 1.有一星球X的密度与地球的密度相同,但它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍,则该星球的质量与地球质量的比值为 ( )
8、A.3 B.27 C. D.9,【解析】选B。在不考虑星球自转的时候,星球表面物 体的重力等于万有引力,即 =mg,故X星球表面的 重力加速度与地球表面的重力加速度的比值 又M= R3,所以 B正确。,2.(多选)利用下列哪种数据,可以算出地球的质量(引力常量G已知) ( ) A.已知地面的重力加速度g B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,【解析】选B、C、D。在地面附近重力近似等于万有引 力,即 若想计算地球的质量,需 要知道g、R和G,故选项A错误;卫星绕地球运动时万有 引
9、力提供向心力,即 故M=选项B、C正确;由 选项D正确。,二 天体运动的分析与计算 考查角度1 天体运动的定性分析问题 【典例1】人造地球卫星以地心为圆心,做匀速圆周运 动,下列说法正确的是 A.半径越大,速度越小,周期越小 B.半径越大,速度越小,周期越大 C.所有卫星的速度均是相同的,与半径无关 D.所有卫星的角速度均是相同的,与半径无关,【解析】选B。由万有引力提供向心力可知,故半径越大,速度越小,角速度越小,周期越大,故选 项B正确。,【核心归纳】天体运动定性分析的方法 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为 r的匀速圆周运动。 (1)由 r越大,天体的v越小。 (2)由 r
10、越大,天体的越小。,(3)由 r越大,天体的T越大。 (4)由 r越大,天体的an越小。 以上结论可总结为“一定四定,越远越慢,越远越小”。,考查角度2 天体运动的定量计算问题 【典例2】海王星的发现是万有引力定律应用的一个非 常成功的范例,但是在发现海王星后,人们又发现海王 星的轨道与理论计算值有较大的差异,于是沿用了发现 海王星的方法经过多年的努力,才由美国的洛维尔天文 台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论 值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天,文单位(地球和太阳之间的距离为一个天文单位)。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。,【正确解答】设太阳的质量为M,行星运行
11、的线速度为 v,行星的质量为m。 根据F引=F向得 对于这两个星体 GM是一样的。 答案:12,【核心归纳】 1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运 动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体 对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系 式: =ma,式中a是向心加速度。,2.常用的关系式: (1) 万有引力全部用来提 供行星或卫星做圆周运动的向心力。 (2)mg= 即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力 等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。,【过关训练】 1.(2018江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地 观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”
12、 轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号”轨 道高度约为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动。与 “高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的 是 ( ) A.周期 B.角速度 C.线速度 D.向心加速度,【解析】选A。卫星围绕地球做匀速圆周运动,满足由此可推出,半径r越 小,周期T越小,选项A正确,半径r越小,角速度、线 速度v、向心加速度a越大,选项B、C、D错误。,2.“嫦娥三号”探测器是我国嫦娥工程二期中的一个探测器,是中国第一个月球软着陆的无人登月探测器。设“嫦娥三号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球的质量为M、半径为R,引力常量
13、为G,则卫星绕月球运动的向心加速度为多少?线速度为多少?,【解析】卫星做匀速圆周运动,设卫星质量为m, 由万有引力提供向心力知 解得 答案:,【补偿训练】 1.我国古代神话传说中:地上的“凡人”过一年,天上 的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一 天”,某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的 , 则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数 约为(已知月球的运行周期为27天) ( ) A.1 B.8 C.16 D.24,【解析】选B。根据天体运动的公式 解得卫星运行的周期为3 h,故24 h内看到8次 日出,B项正确。,2.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C,某
14、时刻恰好在同一过地心的直线上,如图所示,当卫星B经过一个周期时 ( ),A.A超前于B,C落后于B B.A超前于B,C超前于B C.A、C都落后于B D.各卫星角速度相等,因而三颗卫星仍在同一直线上,【解析】选A。由 可得T=2 ,故轨 道半径越大,周期越大。当B经过一个周期时, A已经完 成了一个多周期,而C还没有完成一个周期,所以选项A 正确, B、C、D错误。,【拓展例题】考查内容:天体运动中的临界问题 【典例】一物体静置在平均密度为的球形天体表面 的赤道上。已知万有引力常量为G,若由于天体自转使 物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为( ),【正确解答】选D。物体随天体一起自转,当万有引 力全部提供向心力时,物体对天体的压力恰好为零, 则 选项D正确。,
