1、第2课时 不等式选讲,热点考向一 绝对值不等式的解法 高频考向,类型一 解不含参数的绝对值不等式 【典例1】已知f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)2的解集. (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.,【审题导引】(1)看到f(x)=|x-4|+|x-1|-3,联想到 分_、_、_三种情况去绝对值号. (2)看到y=kx-2联想到此直线恒过定点_.,x1,1x4,x4,(0,-2),【解析】(1)由f(x)2,解得0x5, 故不等式f(x)2的解集为0,5.,(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3= 作出函数f(x)的图象,如图所示,
2、直线y=kx-2过定点C(0,-2), 当此直线经过点B(4,0)时,k= ; 当此直线与直线AD平行时,k=-2, 故由图可知,k(-,-2),类型二 解含参数的绝对值不等式 【典例2】已知函数f(x)=|x-a|,aR. (1)当a=1时,求f(x)|x+1|+1的解集. (2)若不等式f(x)+3x0的解集包含x|x-1,求a的取值范围.,【大题小做】,【解析】(1)当a=1时,不等式即 f(x)=|x-1|x+1|+1,即|x-1|-|x+1|1. 由于|x-1|-|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的 距离减去它到-1对应点的距离, 由-0.5到1对应点的距离减去它到-1对应点的
3、距离 正好等于1,故不等式的解集为,(2)方法一:不等式f(x)+3x0,即 |x-a|+3x0,即|x-a|-3x(x0), 即 3xx-a-3x,求得 x- ,且x . 当a0时,可得它的解集为 ; 再根据它的解集包含x|x-1, 可得- -1,求得a2,故有0a2.,当a0时,可得它的解集为 ; 再根据它的解集包含x|x-1, 可得 -1,求得a-4,故有-4a0. 综上可得,要求的a的取值范围 为0,2-4,0)=-4,2.,方法二:不等式f(x)+3x0,即|x-a|+3x0, 即|x-a|-3x(x0),即 3xx-a-3x, 即 在x|x-1上恒成立, 所以有 即a-4,2.,【
4、探究追问】 1.在例2条件下,若不等式 f(x)x的解集包 含 ,求实数a的取值范围.,【解析】不等式 f(x)x|3x-1|+|x-a| 3x. 因为不等式的解集包含 , 所以不等式|3x-1|+|x-a|3x在 上恒成立, 于是|3x-1|+|x-a|3x3x-1+|x-a|3x,所以可得|x-a|1,即a-1xa+1, 所以 解得- a . 所以实数a的取值范围是,2.在例2条件下,若不等式|x|+f(x)2a-1的解集为b,b+3,求实数a,b的值.,【解析】由2a-1|x|+|x-a|0,可知2a-10, 所以a . 故g(x)=|x|+f(x)= 的图象如图所示,由图可知,【名师点
5、睛】 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点. (2)划区间、去绝对值号. (3)分别解去掉绝对值的不等式(组). (4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.,2.图象法求解不等式 用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.,【考向精炼】 1.(2018烟台一模)已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|, a0. (1)当a=0时,求不等式f(x)1的解集. (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 , 求a的取值范围.,【解析】(1)当a=0时,f(x)0,无解; 当00,解得0 时,不等
6、式化为x2,解得 x2; 综上,f(x)1的解集为x|0x2.,(2)由题设可得f(x)= 所以f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别 为 ,(1-a,0), ,该三角形的面积为,由题设 ,且a0,解得a-1. 所以a的取值范围是(-,-1).,2.(2018长沙一模)已知函数f(x)=|x-a|,其中a1. 世纪金榜导学号 (1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集. (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.,【解析】(1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x2时,由f(x)4-|x-4| 得-2x+64,解得x1; 当2
7、x4时,由f(x)4-|x-4|得无解; 当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5, 故不等式的解集为x|x1或x5.,(2)令h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)= 由|h(x)|2,解得,又知|h(x)|2的解集为x|1x2, 所以 于是解得a=3.,【加练备选】 1.(2018曲靖一中模拟)设函数f(x)=|2x+1|+x,xR. (1)求不等式f(x)5的解集. (2)若g(x)=f(x)-|ax-1|-x,a0,求g(x)的值域.,【解析】(1)f(x)5|2x+1|5-xx-52x+1 5-x-6x ,所以其解集为,(2)因为a0, g(x)=|2x+
8、1|-|ax-1|= 所以当a2时,其值域是,当0a2时,其值域是 当a=2时,其值域是-2,2.,2.（2017金华二模）已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a （1）若a=0，求不等式f（x）0的解集. （2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围,【解析】(1)当a=0时,f(x)=|x+1|-|x|= 所以当x0,符合题意. 综上可得,f(x)0的解集为,(2)设u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和y=x的图象如图所示.,易知y=u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位),与y=x的图象始终有3个交点, 从而-1a0.所以实数a的取值范围为(-1
9、,0).,3.(2016全国卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象. (2)求不等式|f(x)|1的解集.,【解析】(1)如图所示:,(2)f(x)= |f(x)|1, 当x-1时,|x-4|1, 解得x5或x3, 所以x-1.,当-11,解得x1或x1,解得x5或x5. 综上,x5, 所以|f(x)|1的解集为 (1,3)(5,+).,4.设函数f(x)=|2x-1|,xR. (1)解不等式f(x)5-f(x-1). (2)已知不等式f(x)f(x+1)-|x-a|的解集为M, 若 M,求实数a的取值范围.,【解析】(1)原不等式等价于|2x-1|5-
10、|2x-3|, 等价于|2x-1|+|2x-3|5,解三个不等式组,得- x 或 x 或 x ,故不等式的解集为,(2)因为 M,则当x 时, f(x)f(x+1)-|x-a|恒成立. 而f(x)f(x+1)-|x-a|等价于|2x-1|-|2x+1|+ |x-a|0, 因为x , 所以|x-a|2,即x-2ax+2. 由题意,知x-2ax+2在x 上恒成立, 所以(x-2)maxa(x+2)min, 所以-1a , 所以a的取值范围是,热点考向二 绝对值不等式恒成立(存在)问题 考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查利用三角不等式求最值与恒成立(存在)问题的综合应用.考查逻辑推理能力和运
11、算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查用三角不等式求最值及函数图象的灵活应用问题.,【典例3】(2018全国卷)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时，求不等式f(x)1的解集. (2)若x(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.,【审题导引】(1)看到当a=1时,f(x)=_, 联想到分_、_、_三种情况讨论. (2)看到x(0,1)时,不等式f(x)x成立.想到依据 x(0,1)进行等价变形,求出不等式的解集_(0,1).,|x+1|-|x-1|,x-1,-1x1,x1,包含,【解析】(1)当a=1时,f(x)=|
12、x+1|-|x-1|, 即f(x)= 结合函数图象可知,不等式f(x)1的解集为,(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x , 所以 1,故0a2. 综上,a的取值范围为(0,2.,【名师点睛】 1.求含绝对值号函数的最值的两种方法 (1)利用|a|-|b|ab|a|+|b|求解. (2)将函数化为分段函数,数形结合求解.,2.恒成立(存在)问题的等价转化,【考向精炼】 设函数f(x)=|3x+1|-|2x+2|. (1)求不等式f(x)0的解集. (2)若f(x)-|x+1|a+1|对任意xR恒成立,求实数a的取值范
13、围.,【解析】(1)f(x)0即|3x+1|-|2x+2|0,解可得x-1, 解可得-1x- , 解可得x1. 综上,不等式f(x)0的解集为 1,+).,(2)f(x)-|x+1|a+1|等价于|3x+1|-|2x+2|-|x+1|a+1|恒成立, 等价于|3x+1|-|3x+3|a+1|恒成立, 而|3x+1|-|3x+3|(3x+1)-(3x+3)|=2,所以2|a+1|,得a+12或a+1-2, 解得a1或a-3. 即实数a的取值范围是(-,-31,+).,【加练备选】1.已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x+1|. (1)在如图中画出f(x)和g(x)的图象,并求不等式f(
14、x)g(x)的解集. (2)若|f(x)-2g(x)|a(aR)恒成立,求a的取值范围.,【解析】(1)画出f(x)和g(x)的图象,如图所示.,观察图象可知, 不等式f(x)g(x)的解集为 (2)化简得|f(x)-2g(x)|=|2x+1|-2|x+1|= 所以|f(x)-2g(x)|1,所以a1.,2.(2017全国卷)已知函数f(x)=x+1-x-2. (1)求不等式f(x)1的解集. (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,【解析】(1)当x-1时, f(x)=-(x+1)+(x-2)=-31,无解. 当-1x2时, f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.
15、令2x-11,得x1,所以1x2.,当x2时, f(x)=x+1-(x-2)=3. 因为31,所以x2. 综上所述,f(x)1的解集为1,+).,(2)原式等价于存在xR,使f(x)-x2+xm成立, 即 m. 设g(x)=f(x)-x2+x, 由(1)知 当x-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x= -1, 所以 当-1x2时g(x)=-x2+3x-1, 其开口向下,对称轴为x= , 所以,当x2时g(x)=-x2+x+3, 其开口向下,对称轴为x= ,所以 综上: ,即m的取值范围为,热点考向三不等式的证明 考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查综合法、分析法、基本不
16、等式、三角不等式在证明不等式中的应用.考查逻辑推理能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,重点关注用分析法、基本不等式证明不等式.,【典例4】(2018银川一模) 设不等式-2|x-1| -|x+2|0的解集为M,且a,bM. (1)证明: (2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.,【审题导引】 (1)看到 ,联想到 _. (2)要比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,比较_ 与_的大小.,|1-4ab|2,4|a-b|2,【解析】(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|由-2-2x-10, 解得,所以M= 于是,由a,bM,得|
17、a| ,|b| . 故,(2)由(1),得a20.,所以|1-4ab|24|a-b|2, 故|1-4ab|2|a-b|.,【名师点睛】证明不等式的传统方法有:比较法、综合法、分析法. (1)比较法有作差比较法和作商比较法两种. (2)用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,一方面要注意基本不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.,(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法. (4)综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单,条理清楚,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.,【考
18、向精炼】 (2018衡水一模)已知函数f(x)=|x-5|, g(x)=5-|2x-3|. (1)解不等式f(x)g(x). (2)设F=f(x2+y2)-g(3y+12),求证:F2.,【解析】 (1)由题意得原不等式为|x-5|+|2x-3|5 等价于,解得x 或 x3或1x , 综上可得1x3. 所以原不等式的解集为(1,3).,(2)F=|x2+y2-5|+|2(3y+12)-3|-5 =|x2+y2-5|+|6y+21|-5 |x2+y2-5+6y+21|-5 =|x2+(y+3)2+7|-5 =x2+(y+3)2+22, 当且仅当x=0且y=-3时等号成立.,【加练备选】 1.已知
19、实数a,b,c满足a(b+c)=4,证明: (1)a2(b2+c2)8. (2)2a2+b2+c28.,【解析】 (1)由a(b+c)=4,得a2(b+c)2=16, 所以a2(b2+2bc+c2)=16, 即b2+2bc+c2= 因为b2+2bc+c22(b2+c2), 当且仅当b=c时,取等号,所以 2(b2+c2), 所以8a2(b2+c2), 即a2(b2+c2)8.,(2)因为a(b+c)=4,所以ab+ac=4, 因为ab ,ac , 所以ab+ac + ,即ab+ac , 即4 , 所以2a2+b2+c28, 当且仅当时a=b=c= 时, 取等号,所以原命题得证.,2.已知函数f
20、(x)=|x-2|. (1)解不等式f(x)+f(x+1)5. (2)若|a|1,且f(ab)|a|f ,证明:|b|2.,【解析】(1)|x-2|+|x-1|5, 当x2时,(x-2)+(x-1)5,x4; 当1x2时,(2-x)+(x-1)5,15,无解; 当x1时,(2-x)+(1-x)5,x-1. 综上,不等式的解集为x|x4或x-1.,(2)f(ab)|a|f |ab-2|a| |ab-2|b-2a| (ab-2)2(b-2a)2,a2b2+4-b2-4a20 (a2-1)(b2-4)0. 因为|a|1,所以a2-10, 所以b2-40,|b|2.,3.(2018大连模拟)设函数f(
21、x)=|2x+a|- (xR,实数a0). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集. (2)函数f(x)的最小值为m,求证:m5-1m3-m2.,【解析】(1)当a=1时, f(x)=|2x+1|- 0, 即|2x+1| , 两边平方可得(2x+1)2 , 解得x,(2)f(x)= 所以f(x)在 上为减函数,在 为增函数,f(x)的最小值当且仅当 即a=1时取到等号.,所以m3+10,m2-10,所以 m5-1-(m3-m2)=m3(m2-1)-1+m2 =(m3+1)(m2-1)0, 所以m5-1m3-m2.,4.(2017泉州二模)设函数f(x)=a(x-1). (1)当a=1时,解
22、不等式|f(x)|+|f(-x)|3x. (2)设|a|1,当|x|1时, 求证:|f(x2)+x|,【解题指南】(1)代入a的值后分情况解不等式. (2)利用绝对值不等式的性质放缩、构造,结合函数知识证明.,【解析】(1)当a=1时,不等式|f(x)|+|f(-x)|3x, 即|x-1|+|x+1|3x, 当x-1时,得1-x-x-13xx0,所以x-1, 当-1x1时,得1-x+x+13xx , 所以-1x ,当x1时,得x-1+x+13xx0,与x1矛盾, 综上,原不等式的解集为 x|x-1,(2)|f(x2)+x|=|a(x2-1)+x|a(x2-1)|+|x|, 因为|a|1,|x|1, 所以|f(x2)+x|a|(1-x2)+|x| 1-x2+|x|=-|x|2+|x|+1,
