1、第2课时 函数与方程及函数的应用,热点考向一函数的零点问题 高频考向,类型一 判断函数零点所在区间及零点个数 【典例1】(1)函数f(x)= -log2x的零点所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+),(2)(2018茂名一模)定义在R上函数y=f(x+2)的图象 关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当 x0,1时,f(x)=sin x,则函数g(x)=f(x)-e-|x| 在区间-2 018,2 018上零点的个数为 ( ) A.2 017 B.2 018 C.4 034 D.4 036,【大题小做】,【解析】(1)选C.因为连续减函数
2、f(x)= -log2x, 所以f(3)=2-log230,f(4)= -log240, 所以函数f(x)= -log2x的零点所在的区间是(3,4).,(2)选D.函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间-2 018,2 018上零点的个数函数f(x)的图象与y=e-|x|的图象交点个数. 由y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,得f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).,又因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),故 f(x+2)=f(-x)=f(x), 因此,f(x)是周期为2的偶函数. 因为当x0,1时,f(x)=sin x, 作出y=f(x)与y= 图象
3、如图,可知每个周期内有两个交点,所以函数g(x)=f(x)- e-|x|在区间-2 018,2 018上零点的个数为2 018 2=4 036.,【易错警示】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.,【探究追问】 第(2)题改为: 定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x),当 x0,1时,f(x)=x,若函数g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间 -2 018,2 018上有4 032个零点,则实数a的取值范围,是 ( ) A.(0,1) B.(e,e3) C.(e,e2) D.(1,e3),【
4、解析】选B.由f(1+x)=f(1-x)得f(x)=f(2-x) 由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x) 由得-f(-x)=f(2-x),所以f(x)=-f(2+x), 所以f(2+x)=-f(4+x),所以f(x)=f(x+4), 所以f(x)周期为4,因为当x0,1时,f(x)=x,根据m(x)=|f(x)|与n(x)=ae-|x|都是偶函数,且图象(x0)如图,函数g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间-2 018,2 018上有 4 032个零点, 即m(x)=|f(x)|与n(x)=ae-|x|在0,4有且仅有两个交 点, 所以 即eae3.,【名师点睛】 判断函数零点个数
5、的方法 (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解,则通过解方程,方程有几个解函数就有几个零点.,(2)零点存在性定理:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,而且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.,(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,两函数图象交点的个数,即是函数零点的个数.,类型二 根据零点情况求参数的取值范围 【典例2】已知函数f(x)= 若函数g(x)= f(x)-k(x+1)在(-,1恰有两个不同的零点,则实数 k的取值范围是 ( ) A.1,3) B.(1,
6、3 C.2,3) D.(3,+),【解析】选A.函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-,1恰有 两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象在 (-,1恰有两个不同的交点,画出函数f(x)=的图象,如图,y=k(x+1)的图象是过定点 (-1,0),斜率为k的直线,当直线y=k(x+1)经过点(1,2),时,直线与y=f(x)的图象恰有两个交点,此时,k=1,当直线经过点(0,3)时直线与y=f(x)的图象恰有三个交点,直线在旋转过程中与y=f(x)的图象恰有两个交点,斜率在1,3)内变化,所以实数k的取值范围是1,3).,【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围
7、的常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数的取值范围.,(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,【考向精练】 1.定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)- a(0a1)的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】选D.因为f(x)为奇函数, 所以x0时,f(x)=-f(-x),画出y=f(x)和y=a(0a1)的图象,如图共有5个交点,所以F(x)有5个零点.,
8、2.已知在区间(0,2上的函数f(x)= 且g(x)=f(x)-mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的 零点,则实数m的取值范围是 ( ),【解析】选A.由函数g(x)=f(x)-mx在(0,2内有且仅有 两个不同的零点,得y=f(x),y=mx在(0,2内的图象有且 仅有两个不同的交点.当y=mx与y= -3在x(0,1相 切时,mx2+3x-1=0,=9+4m=0,m=- ,结合图象可得 当- m-2或0m 时,函数g(x)=f(x)-mx在(0,2 内有且仅有两个不同的零点.,3.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为 ( ) A.(0
9、,4) B.(0,+) C.(3,4) D.(3,+),【解析】选C.如图,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a(3,4),故选C.,热点考向二函数与方程的综合问题 考向剖析:高考考查的重点是掌握函数的概念与性质,理解方程的根与函数零点的关系,结合函数图象和性质判断方程根的个数等,以选择题、填空题为主.,【典例3】(1)已知函数f(x)= g(x)= -f(-x),则方程f(x)=g(x)的解的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1,(2)(2018绵阳一模)函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且 当-1x1时,f(x)=|x|.若函数y=f(x
10、)的图象与函数 g(x)=logax(a0,且a1)的图象有且仅有4个交点,则 a的取值集合为 ( ) A.(4,5) B.(4,6) C.5 D.6,【解析】(1)选A.函数f(x)= 的图象如 图所示, 由g(x)=-f(-x),可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称, 作出y=g(x)的图象,可得y=f(x)和y=g(x)的图象有4个交点, 则方程f(x)=g(x)的解的个数为4. 故选A.,(2)选C.因为f(x+2)=f(x), 所以f(x)的周期为2, 在x-1,1时,f(x)=|x|.,画出函数f(x)与g(x)=logax的图象如图所示;,若函数y=f(x)的图象与函数g(x
11、)=logax(a0,且a1)的图象有且仅有4个交点, 则函数g(x)=logax的图象过(5,1)点, 即a=5.,【名师点睛】利用函数的图象与性质确定、应用方程根(解)的个数的方法 (1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解. (2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解.,【拓展提升】 (2018信阳二模)已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=8- f(4+x),函数g(x)= ,若函数f(x)与g(x)的图象共 有168个交点,记作Pi(xi,yi)(i=1,2,168),则(x1+y1) +(x2+y2)+(x168+y168)的值为 ( ) A.2
12、 018 B.2 017 C.2 016 D.1 008,【解析】选D.函数f(x)(xR)满足f(-x)=8-f(4+x), 可得:f(-x)+f(4+x)=8,即函数f(x)关于点(2,4)对称, 函数g(x)= 可知图象关于(2, 4)对称; 所以函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点即在(2,4) 两边各有84个交点.,而每个对称点都有:横坐标之和为4,纵坐标之和为8, 因为有168个交点,即有84组. 故得:(x1+y1)+(x2+y2)+(x168+y168)=(4+8)84= 1 008.,1.(2017江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的 函数,在区间0,1)上,
13、f(x)= 其中集合D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 _.,【解析】由于f(x)0,1),则需考虑1x10的情况, 在此范围内,xQ且xZ时,设x= ,p,qN*,p2,且 p,q互质,若lg xQ,则由lg x(0,1),可设lg x= ,m,nN*, m2,且m,n互质,因此 = ,则10n= ,此时左 边为整数,右边不是整数,矛盾,因为lg xQ,因此lg x 不可能与每个周期内xD对应的部分相等,只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点, 画出函数图象,图中交点除(1,0)外,其他交点横坐标均 为无理数,属于每个周期xD的部分, 且x=1处(lg x)= 1,则在x=1
14、附近仅有一 个交点,因此方程解的个数为8个. 答案:8,2.(2018茂名二模)已知f(x)是定义域为(0,+)的单 调函数,若对任意的x(0,+),都有f(f(x)+ x)= 4,且方程|f(x)-3|=a在区间(0,3上有两解,则实数a的 取值范围是 世纪金榜导学号( ) A.0a1 B.a1 C.0a1 D.a1,【解析】选A.因为f(x)是定义域为(0,+)的单调函数, 对任意的x(0,+),都有f(f(x)+ x)=4, 所以必存在唯一的正实数m,满足f(x)+ x=m,f(m)= 4, 所以f(m)+ m=a ,由得:4+ m=m, 即 m=m-4, 所以m= , 解得m=3. 故
15、f(x)+ x=m=3,所以f(x)=3- x,由方程|f(x)-3|=a在区间(0,3上有两解, 即有 =a在区间(0,3上有两解, 作出y= 的图象,如图所示:,结合题意,0a1.,热点考向三利用函数模型解决实际问题 考向剖析:函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.,【典例4】松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中, 通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后, 电车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2t20,经 市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔t相关,当 10t20时电车为满载状态,载客量为400人,当,2t10时,载客量会减少,减少的人数与(10
16、-t)的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人,记电车载客量为p(t).,(1)求p(t)的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时, 电车的载客量. (2)若该线路每分钟的净收益为Q= -60(元), 问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最 大?,【审题导引】(1)要求p(t),先列出_(比例系数) 相关的解析式,再利用待定系数法求解. (2)要求每分钟净收益的最大值,先写出_的解析式,再 利用基本不等式求解.,p(t)与k,Q,【解析】(1)由题意知,p(t)= (k为常数), 因为p(2)=400-k(10-2)2=272,所以k=2. 所以p(t)= 所以p(6)
17、=400-2(10-6)2=368.,(2)由Q= -60,可得,当2t10时,Q=180- 180-2 =60, 当且仅当t=5时等号成立; 当10t20时,Q=-60+ -60+90=30,当t=10时等 号成立. 所以当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收 益最大,最大为60元.,【名师点睛】解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.,(3)解模:求解函数模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题. 以上过程用框
18、图表示如下:,【考向精练】(2018绵阳一模)某单位为鼓励职工节约用水,作出 如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每 立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每 立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个,月实际用水为_立方米.( ) A.13 B.14 C.15 D.16,【解析】选C.设该职工这个月实际用水为x立方米, 因为每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元水费收费, 所以用水不超过10立方米月缴水费不超过30元, 因为该职工这个月缴水费55元,所以该职工这个月实际用水超过10立方米,超过部分的水费=(x-10)5, 所以由题意可列出一元一次
19、方程:30+(x-10)5=55,解得:x=15.,【加练备选】 1.(2018杨浦区一模)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.,(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将 y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域. (2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?,【解析】(1)场地面积为y,垂直于墙的边长为x, 则y=x(l-3x); 由x0,且l-3x0,可得函数的定义域为,(2)y=x(l-3x)= 3x(l-3x) = , 当x= 时,这块长方形场地的面积最大, 这时的长为l-3x= l,最大面积为 .,2.(2018
20、闵行区一模)某公司举办捐步公益活动,参与 者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶,再将 牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较 大的贡献,公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日 参与活动人数为10 000人,以后每天人数比前一天都增,加15%,30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人,收益精确到1元).,(1)求活动开始后第5天的捐步人数,及前5天公司的捐步总收益. (2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余?,【解析】(1)设第x天的捐步人数为f(x), 则f(x)= 所以第5天的捐步人数为 f(5)=10 000(1+15%)417 490.,由题意可知前5天的捐步人数成等比数列,其中首项 为10 000,公比为1.15,所以前5天的捐步总收益为0.053 371.,(2)设活动第m天后公司捐步总收益可以收回启动资金 并有盈余, 若1m30,则 0.05300 000, 解得mlog1.159132.3(舍).,若m30, 则 0.05300 000, 解得x32.87. 所以活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启 动资金并有盈余.,
