1、120172018 学年度下学期高一第一次月考数学试卷时间：120 分钟 满分：150 分第卷一、选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1、我国古代数学名著数学九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 粒内夹谷 粒,则这批米内夹谷约为( )A. 石 B. 石 C. 石 D.1365 石2、如果下边程序执行后输出的结果是 ,那么在程序 后面的“条件”应为( )A. B.C. D.3、为了考察两个变量 与 之间的线性关系,甲、乙两同学各自独立做了 次和 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 、 .已知两人得到的试验数据
2、中变量 和 的数据的平均值相等,且分别都是 、 ,那么下列说法正确的是( )A.直线 和 一定有公共点B.直线 和 相交,但交点不一定是C.必有直线D.直线 与 必定重合4、某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100.若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是( )A.45 B.50 C.55 D.605、某人手表停了,他打开电视机,想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表,则他等待不超过一刻钟的概率为( ).A. B. C. D.6、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚
3、才所想的数字,把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 ,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.7、集合 , ,则 ( )A. B. 或C. D.8、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有 1 个黑球与都是黑球 B.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球C.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 D.至少有 1 个黑球与都是红球29、已知实数 , 满足 ,且 ,则 等于( )A. B.C. D.10、已知函数 是定义在 上的偶函数,且在区间 上是增函数,令 , ,则( )A. B.C
4、. D.11、设 是第二象限角,且 ,则 是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角12、已知 是方程 的根,则 的值是( )A. B. C. 或 D.第卷二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、某校早上 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 分钟到校的概率为 .(用数字作答)14、袋中有形状、大小都相同的 只球,其中 只白球,1 只红球, 只黄球,从中一次随机摸出只球,则这 只球颜色不同的概率为 15、函数 的定义域为 .16、若 ,化简 的结果是 .三、解答题（共 70
5、 分）17、（本小题满分 10 分）计算:1. ;2. .18、（本小题满分 12 分）设 , .求证: .20、（本小题满分 12 分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车的乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示:3组别 一 二 三 四 五候车时间(分钟) 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25)人数 2 6 4 2 11.估计这 15 名乘客的平均候车时间;2.估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数;3.若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进
6、一步的问卷调查,求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率.21、（本小题满分 12 分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):1.试估计厨余垃圾投放正确的概率;2.试估计生活垃圾投放错误的概率;3.假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物” 箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中 .当数据 的方差 最大时,写出 的值(结论不要求证明),并求此时 的值.(注: ,其中 为数据 的平均数)21、（本小题满分 12
7、分）正四面体 的体积为 , 是正四面体 内部的点.1.设“ ”的事件为 ,求概率 ;2.设“ 且 ”的事件为 ,求概率 .22、（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量 (单位: )和年利润 (单位:千元)的影响.对近 年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.4表中 , .1.根据散点图判断, 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)2.根据 的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程.3.已知这种产品的年利润 与 , 的关系为 .根据 的结果
8、回答下列问题:年宣传费 时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据 , , 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 , .520172018 学年度下学期高一数学试卷答案一、选择题1.答案： B解析： 设这批米内夹谷的个数为 ,则由题意并结合简单随机抽样可知, ,即,故应选 .2.答案： D解析： 第一次循环: ,此时应满足条件,再次循环;第二次循环: ,应为输出的 的值为 ,所以此时应结束循环,所 后面的“条件”应为 ,因此选 D。点评:我们要注意“ 语句”和“ 语句”的区别。 语句是先判断,再执行循环体,当条件满足时执行循环体;而 语
9、句是先循环再判断 ,当条件不满足时执行循环体。3.答案： A解析： 依据线性回归方程与系数的关系求解.线性回归方程为 , 在回归直线上,直线 一定有公共点.4.答案： B解析： 的频率为 , 的频率为 ,低于 分的频率为,总人数为 .故选 B.5.答案： C解析： 他只有在一个小时的后 分钟内打开电视，等待时间才不会超过 刻钟，所以.6.答案： D解析： 甲、乙两人玩游戏,其中 构成的基本事件共有 (组).对于“心有灵犀”的数组,若 或 ,则 分别有 或 共 组;若 ,则每个 有相应的 个数,因此“心有灵犀”的数组共有 (组).“心有灵犀”的概率为 .7.答案： B解析： 如图所示,在 或 时
10、, 为空集,分别取 , ,于是或 ,故选 B.8.答案：C9.答案： B解析： 若实数 、 满足 ,则 与 异号,又 ,故 , ,则 .610.答案： A解析： , ,因为 ,所以,所以 ,选 A.11.答案： C12.答案： C二、填空题13.答案： 解析： 设小张和小王到校时间分别为 和 ,则 ,则满足条件的区域如图中阴影部分所示.故所求概率 .14. 答案： 解析： 4 只球分别记为白、红、黄 1、黄 2,则从中一次摸出 2 只球所有可能的情况有:白红、白黄 1、白黄 2、红黄 1、红黄 2、黄 1黄 2,共 6 种情况,其中 2 只球颜色不同的有 5 种,故 .15.答案： 解析： 由
11、题意得 .即 . 对可结合图一 得 , . 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 7又有 ,可结合图二, 利用数轴得定义域为 .16.答案： 解析： 原式. 当 时, , , 原式 . 当 时, , , 原式 .三、解答题17.答案： 1. 原式.2.原式18.答案： ,原式得证.解析： 根据自变量所在的范围,代入相应的函数式化简计算.19.答案： 1.这 名乘客的平均候车时间约为(分钟).2.这 名乘客中候车时间少于 分钟的频率为 ,所以这名乘客中候车时间少于 分钟的人数大约为 .3.将第三组乘客编号为第四组乘客编号为 ,第四组乘客编号为 ,从 人中任选人共包含以下 个基本事件:, ,
12、,其中8人恰好来自不同组包含以下 个基本事件: ,.于是所求概率为.20.答案： 1.厨余垃圾投放正确的概率约为.2.设生活垃圾投放错误为事件 ,则事件 表示生活垃圾投放正确.事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 约为 所以 约为.3.当 时, 取得最大值.因为 ,所以21.答案： 1.如图,分别取 、 、 上的点 、 、 ,并使 , , ,连结 、 、 ,则平面 平面 .当点 在正四面体 内部时,满足 ,故 .2.在 上取点 ,使 ,在 上取点 ,使 ,在 上取点 ,使 ,连结 , ,分别交 、 于点 、 , 连结 , ,则 在正四面体 内部时,满足 .结合题 1 可知,当 在正四面体 的内部及正四面体 的内部,即 在正四面体 的内部时,同时满足 ,且 ,于是 .22.答案： 1.由散点图可以判断, 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型.2.令 ,先建立 关于 的线性回归方程.由于 ,所以 关于 的线性回归方程为 ,因此 关于 的回归方程为 .3.由 2 知,当 时,9年销售量 的预报值 ,年利润 的预报值 . 根据 2 的结果知,年利润 的预报值 .所以当 ,即 时, 取得最大值.故年宣传费为 千元时,年利润的预报值最大.
