1、1第 3 章 空间向量与立体几何体系构建自我校对数乘运算空间向量的数量积垂直夹角数乘结合律线面关系点面距题型探究空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础沿着正四面体 OABC 的三条棱 ， ， 的方向有大小等于 1,2 和 3 的三个力OA OB OC f1， f2， f3，试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值. 【导学号：71392211】精彩点拨 用向量表示 f1， f2， f3，再根据模与夹角
2、的向量运算公式求解规范解答 如图所示，用 a， b， c 分别代表棱 ， ， 上的三个单位向量，OA OB OC 2则 f1 a， f22 b， f33 c，则 f f1 f2 f3 a2 b3 c，| f|2( a2 b3 c)(a2 b3 c)| a|24| b|29| c|24 ab6 ac12 bc144cos 606cos 6012cos 601423625，| f|5，即所求合力的大小为 5.且 cos f， a ，fa|f|a| |a|2 2ab 3ac5 1 1 325 710同理可得：cos f， b ，cos f， c .45 910再练一题1如图 31，在四棱锥 SABC
3、D 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， S 到 A， B， C， D的距离都等于 2.给出以下结论： 0； 0； 0； SA SB SC SD SA SB SC SD SA SB SC SD SA SB SC SD ； 0.其中正确结论的序号是_SA SC 图 31解析 容易推出： 0，所以正确；又因为底面 ABCD 是SA SB SC SD BA DC 边长为 1 的正方形， SA SB SC SD2，所以 22cos ASB， 22cos CSD，而 ASB CSD，于是 SA SB SC SD SA SB ，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.SC SD 答案 3空
4、间平行与垂直的证明向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则 a bab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理证明，即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向
5、向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，边长为2a， AD DE2 AB， F 为 CD 的中点图 32(1)求证： AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE. 【导学号：71392212】4精彩点拨 建立空间直角坐标系，(1)利用向量 ，可用平面 BCE 内的两个不共线向
6、AF 量表示证明；(2)题可利用(1)的结论证明规范解答 依题意，以 AC 所在的直线为 x 轴， AB 所在的直线为 z 轴，过点 A 且垂直于 AC 的直线为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， C(2a,0,0)，B(0,0， a)， D(a， a,0)， E(a， a,2a)3 3 F 为 CD 的中点， F .(32a， 32a， 0)(1)易知， ， ( a， a， a)， (2 a,0， a)AF (32a， 32a， 0) BE 3 BC ( )， AF平面 BCE，AF 12BE BC AF平面 BCE.(2) ， ( a， a,0)， (0,0，2
7、 a)，AF (32a， 32a， 0) CD 3 ED 0， 0，AF CD AF ED ， ，AF CD AF ED 即 AF CD， AF ED.又 CD ED D， AF平面 CDE.又 AF平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.再练一题2正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形， AB AE， FA FE， AEF45，求证： EF平面 BCE.证明 因为 ABE 为等腰直角三角形，所以 AB AE，AE AB.又因为平面 ABEF平面 ABCD， AE平面 ABEF，5平面 ABEF平面 ABCD AB，所以 AE平面 ABC
8、D，所以 AE AD，因此 AD， AB， AE 两两垂直以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.设 AB1，则 AE1， B(0,1,0)， E(0,0,1)， C(1,1,0)因为 FA FE， AEF45，所以 AFE90，从而 F ，(0， 12， 12)所以 ， (0，1,1)， (1,0,0)EF (0， 12， 12) BE BC 0 0， 0，EF BE 12 12 EF BC 所以 EF BE， EF BC.因为 BE平面 BCE， BC平面 BCE， BC BE B，所以 EF平面 BCE.利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何
9、法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0 90，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解；(2)直线与平面所成的角： 要求直线 l 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 夹角的余弦 cos n， a ，易知 n， a 或者 2 n， a ； 2(3)二面角：如图 33，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 n1与 n2，则平面 与 所成的角跟法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角图 336如图 34，正方形 ACDE 所在的平面与平面
10、 ABC 垂直， M 是 CE 与 AD 的交点，AC BC，且 AC BC.图 34(1)求证： AM平面 EBC；(2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小；(3)求二面角 AEBC 的大小精彩点拨 (1)根据判定定理求解；(2)由(1)知 是平面 EBC 的一个法向量，先求AM ， ，直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 90 ， ；(3)求出平面 AEB 的法向量 n，AB AM AB AM 计算 cos n， ，再确定二面角 AEBC 的大小AM 规范解答 (1)证明：四边形 ACDE 是正方形， EA AC.平面 ACDE平面 ABC， EA平面 ABC.可以以点 A 为原
11、点，以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴，分别以 AC 和 AE 所在直线为y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz.设 EA AC BC2，则 A(0,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)， E(0,0,2) M 是正方形 ACDE 的对角线的交点， M(0,1,1) (0,1,1)， (0,2，2)， (2,0,0)，AM EC CB 0， 0， AM EC， AM CB.AM EC AM CB 又 EC CB C， AM平面 EBC.7(2) AM平面 EBC， 为平面 EBC 的一个法向量AM (0,1,1)， (2,2,0)，AM AB cos ， ，AB A
12、M AB AM |AB |AM | 12 ， 60，AB AM 直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30.(3)设平面 EAB 的法向量为 n( x， y， z)，则 n 且 n ， n 0 且 n 0.AE AB AE AB Error! 即Error!取 y1， x1， n(1，1,0)又 为平面 EBC 的一个法向量，且 (0,1,1)，AM AM cos n， .AM nAM |n|AM | 12设二面角 AEBC 的平面角为 ，由图可知 为锐角，则 cos |cos n， | ，AM 12 60.二面角 AEBC 等于 60.再练一题3在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E，
13、 F 分别是 A1D1， A1C1的中点，求异面直线 AE 与 CF所成角的余弦值. 【导学号：71392213】解 不妨设正方体的棱长为 2，分别取 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， C(0,2,0)， E(1,0,2)， F(1,1,2)，则(1,0,2)， (1，1,2)，AE CF 8| | ，| | ， 1043.AE 5 CF 6 AE CF 又 | | |cos ， cos ， ，AE CF AE CF AE CF 30 AE CF cos ， ，异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 .AE CF
14、 3010 3010用空间向量解决空间中的探索性问题用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式，处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作证算”中的难点，具有较强的可操作性提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键在四棱锥 PABCD 中， ABCD 是菱形， ABC60 ，PA AC a， PB PD a，点 E 在 PD 上，且 PE ED21.在 PC 上是否存在点 F，使2BF平面 AEC？并证明你的结论. 【导学号：71392214】精彩点拨 易
15、知 PA平面 ABCD，以 A 为原点建立空间直角坐标系，由 BF平面 AEC得 1 2 ，确定 ， ， 的坐标及系数 1， 2即可BF AC AE BF AC AE 规范解答 以 A 为坐标原点， AD， AP 所在直线分别为 y 轴， z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图所示由题设条件可得，相关各点的坐标分别为 A(0,0,0)， B ， C(32a， 12a， 0)， D(0， a,0)， P(0,0， a)， E ，所以 ， (32a， 12a， 0) (0， 23a， 13a) AE (0， 23a， 13a) AC ， (0,0， a)，
16、， ，(32a， 12a， 0) AP PC (32a， 12a， a) BP ( 32a， 12a， a)设点 F 是棱 PC 上的点， ，其中 0 1，PF PC (32a ， 12a ， a )则 BF BP PF ( 32a， 12a， a) (32a ， 12a ， a ).(32a( 1)， 12a(1 )， a(1 )9令 1 2 ，BF AC AE 得Error!即Error!解得 ， 1 ， 2 ，12 12 32即 ， ，12 BF 12AC 32AE 所以当 F 是 PC 的中点时， ， ， 共面BF AC AE 又 BF平面 AEC，所以 BF平面 AEC.再练一题4如
17、图 35，矩形 ABCD 中， AB1， BC a， PA平面 ABCD(点 P 位于平面 ABCD 上方)，问 BC 边上是否存在点 Q，使 ？PQ QD 图 35解 由题意知 PA， AB， AD 两两垂直，以 A 点为原点， AB， AD， AP 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1， a,0)， D(0， a,0)，设 P(0,0， b)，假设 BC 边上存在点 Q，使 ，且 (0 1)，则 Q(1， a, 0)PQ QD BQ BC (1， a ， b)， (1， a a,0)PQ DQ ， 0，PQ DQ P
18、Q DQ 1 a (a a)0，即 a2 2 a2 10. a0，把视为关于 的一元二次方程令 ( a2)24 a20 解得 a2.当 0 a2 时，方程无实数解当 a2 时，方程有实数解10综上可知，当 0 a2 时，不存在满足条件的点 Q，当 a2 时，存在满足条件的点 Q.数形结合的思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起如图 36(1)，等腰梯形 ABCD 中， AD BC，
19、 AB AD2， ABC60， E 是 BC的中点将 ABE 沿 AE 折起，使平面 BAE平面 AEC(如图 36(2)，连接 BC， BD.求平面ABE 与平面 BCD 的夹角(1) (2)图 36精彩点拨 在图(1)中易知 ABE 和 ADE 都是等边三角形，取 AE 中点 M，连接BM， DM，由平面 BAE平面 AEC 知， BM平面 AEC，以 M 为原点建立空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角计算规范解答 取 AE 中点 M，连接 BM， DM.因为在等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB AD， ABC60， E 是 BC 的中点，所以ABE 与 ADE 都是等边三角形，
20、所以 BM AE， DM AE.又平面 BAE平面 AEC，所以 BM MD.以 M 为原点，分别以 ME， MD， MB 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Mxyz，如图，则 E(1,0,0)， B(0,0， )， C(2， ，0)，3 3D(0， ， 0)，3所以 (2,0,0)， (0， ， )，DC BD 3 3设平面 BCD 的法向量为 m( x， y， z)，由Error!取 y1，得 m(0,1,1)，11又因为平面 ABE 的一个法向量 (0， ，0)，MD 3所以 cos m， ，MD mMD |m|MD | 22所以平面 ABE 与平面 BCD
21、的夹角为 45.再练一题5在直四棱柱中， AA12，底面 ABCD 是直角梯形， DAB 为直角，AB CD， AB4， AD2， DC1，试求异面直线 BC1与 DC 夹角的余弦值解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， C1(0,1,2)， B(2，4,0)， C(0,1,0)，所以 (2，3,2)， (0，1,0)BC1 CD 所以 cos ， .BC1 CD BC1 CD |BC1 |CD | 31717故异面直线 BC1与 DC 夹角的余弦值为 .31717转化与化归的思想空间向量
22、的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要如图 37 所示，在矩形 ABCD 中， AB4， AD3，沿对角线 AC 折起，使 D 在平面 ABC 上的射影 E 恰好在 AB 上，求平面 BAC 与平面 ACD 夹角的余弦值. 【导学号：71392215】12图 37精彩点拨 求两平面的夹角，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，
23、但应注意两向量的始点应在二面角的棱上规范解答 如图所示，作 DG AC 于 G， BH AC 于 H，在 Rt ADC 中， AC5，cos DAC .AD2 CD2ADAC 35在 Rt ADG 中，AG ADcos DAC3 ，35 95DG ，AD2 AG2125同理 cos BCA ， CH ， BH .35 95 125 ( )AD BC AE ED BC 0，AE BC ED BC ( )( )GD HB GA AD HC CB GA HC GA CB AD HC AD CB 3 3 0 ，95 95 95 35 95 35 8125又| | | ，cos ， ，GD HB 144
24、25 GD HB 916即所求平面 BAC 与平面 ACD 夹角的余弦值为 .916再练一题6在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中， E， F 分别是 AB， BC 上的动点，且AE BF，求证： A1F C1E.证明 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(a,0， a)，C1(0， a， a)13设 AE BF x， E(a， x,0)， F(a x， a,0)， ( x， a， a)，A1F ( a， x a， a)C1E ( x， a， a)(a， x a， a)A1F C1E ax ax a2 a20， ，即 A1F C1E.A1F C1E 函数与方程
25、思想共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理都是由几个向量间的等式关系组成的，因此解决相关问题时，常用到方程思想而利用空间向量的坐标运算解决已知夹角、距离的问题时，常需要建立方程求解，或者利用函数求最值图 38如图 38，正方形 ABCD， ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD， ABEF 互相垂直点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM BN a(0a )2(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时， MN 的长最小；(3)当 MN 最小时，求平面 MNA 与平面 MNB 所成二面角 的余弦值. 【导学号：71392216】精彩点拨 建 立 坐 标 系 设
26、立 变 量 将 |MN |表 示 为 函 数 求 函 数 最 值 并 且 确 定 变 量 值 确 定 点 M， N位 置 求 二 面 角规范解答 (1)以 B 为坐标原点，分别以 BA， BE， BC 为 x， y， z 轴建立空间直角坐14标系 Bxyz(图略)，由 CM BN a， M ， N ，(22a， 0， 1 22a) (22a， 22a， 0) ，MN (0， 22a， 22a 1)| |MN (0a )2(2)由(1)，得| | ，MN (0 a 2)所以当 a 时，| |min ，22 MN 22即 M， N 分别移动到 AC， BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为 .
27、22(3)取 MN 的中点 P，连接 AP， BP(图略)，因为 AM AN， BM BN，所以 AP MN， BP MN， APB 即为二面角 的平面角MN 的长最小时， M ， N .(12， 0， 12) (12， 12， 0)由中点坐标公式，得 P ，(12， 14， 14)又 A(1,0,0)， B(0,0,0) ， .PA (12， 14， 14) PB ( 12， 14， 14)cos APBPA PB |PA |PB | . 14 116 1163838 13平面 MNA 与平面 MNB 所成二面角 的余弦值为 .13再练一题7已知空间的一组基底 a， b， c， p3 a2
28、b c， m a b c， n a b c，试判断 p， m， n 是否共面解 显然 m 与 n 不共线，设 p xm yn，则 3a2 b c x(a b c) y(a b c)( x y)a( x y)b( x y)c.15因为 a， b， c 不共面，所以Error!而此方程组无解，所以 p 不能用 m， n 表示，即 p， m， n 不共面链接高考1如图 39，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AA1平面 ABCD，且 AB AD2， AA1， BAD120.3图 39(1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值解 在平面 ABCD
29、 内，过点 A 作 AE AD，交 BC 于点 E. AA1平面 ABCD， AA1 AE， AA1 AD.如图，以 为正交基底建立空间直角坐标系 Axyz， AB AD2， AA1AE ， AD ， AA1 ， BAD120，3 A(0,0,0)， B( ，1,0)， D(0,2,0)， E( ，0,0)， A1(0，0， )，3 3 3C1( ， 1， )3 3(1) ( ，1， )， ( ，1， )，A1B 3 3 AC1 3 3cos ， .A1B AC1 A1B AC1 |A1B |AC1 | 177 17因此，异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 .17(2)平面 A1DA
30、 的一个法向量为 ( ，0,0)，AE 3设 m( x， y， z)为平面 BA1D 的一个法向量又 A1B( ，1， )， ( ，3,0)，3 3 BD 3则Error! 即Error!不妨取 x3 则 y ， z2，3 m(3， ，2)为平面 BA1D 的一个法向量316cos ， m .AE AE m|AE |m| 3334 34设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos | .34 0，sin .1 cos274因此二面角 BA1DA 的正弦值为 .742如图 310，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB BC AD， BAD ABC90，
31、E 是 PD 的中点12图 310(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD， EF AD.12由 BAD ABC90得 BC AD，又 BC AD，所以 EF BC，12四边形 BCEF 是平行四边形， CE BF.又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)由已知得 BA AD，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，AB AB 建立如图所示
32、的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， P(0,1， )，3(1,0， )， (1,0,0) PC 3 AB 17设 M(x， y， z)(0x1)，则 ( x1， y， z)， ( x， y1， z )BM PM 3因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量，所以|cos ， n|sin 45 ，BM |z|(x 1)2 y2 z2 22即( x1) 2 y2 z20. 又 M 在棱 PC 上，设 ，则PM PC x ， y1， z . 3 3由解得Error!(舍去)，或Error!所以
33、 M ，从而 .(122， 1， 62) AM (1 22， 1， 62)设 m( x0， y0， z0)是平面 ABM 的法向量，则Error!即 Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cos m， n .mn|m|n| 105因此二面角 MABD 的余弦值为 .1053.如图 311，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD CBD， AB BD.图 311(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值. 【导学号：713922
34、17】解 (1)证明：由题设可得 ABD CBD，从而 AD CD.18又 ACD 是直角三角形，所以 ADC90.取 AC 的中点 O，连接 DO， BO，则 DO AC， DO AO.又因为 ABC 是正三角形，故 BO AC，所以 DOB 为二面角 DACB 的平面角在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2，又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知， OA， OB， OD 两两垂直，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，OA OA 建立如图所示的空间直角坐标系
35、 Oxyz，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(1,0,0)， D(0,0,1)3由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为12D 到平面 ABC 的距离的 ，12即 E 为 DB 的中点，得 E ，(0，32， 12)故 (1,0,1)， (2,0,0)， .AD AC AE ( 1， 32， 12)设 n( x， y， z)是平面 DAE 的法向量，则Error! 即Error!可取 n .(1，33， 1)设 m 是平面 AEC 的法向量，则Error!同理可取 m(0，1， )，3则 cos n， m .nm|n|m
36、| 77所以二面角 DAEC 的余弦值为 .77194如图 312，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点M 在线段 PB 上， PD平面 MAC， PA PD ， AB4.6图 312(1)求证： M 为 PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值解 (1)证明：设 AC， BD 交于点 E，连接 ME，因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDB ME，所以 PD ME.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点(2)如图，取 AD 的中点 O
37、，连接 OP， OE.因为 PA PD，所以 OP AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，且 OP平面 PAD，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OP OE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 OE AD.如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P(0,0， )， D(2，0,0)， B(2,4,0)，2(4，4,0)， (2,0， )BD PD 220设平面 BDP 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 x1，则 y1， z .2于是 n(1,1， )2平面 PAD 的法向量为 p(0,1,0)，所以 cos n， p .np|n|p| 12由题意知二面角 BPDA 为锐角，所以它的大小为 . 3(3)由题意知 M ， C(2,4,0)， .( 1， 2，22) MC (3， 2， 22)设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则 sin |cos n， | ，MC |nMC |n|MC | 269所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 .269
