1、1单元测试(四)范围:图形的初步认识与三角形 限时:60 分钟 满分:100 分一、选择题(每题 6 分,共 30 分)1.如图 D4-1,AB CD, DEC=100, C=40,则 B 的大小是 ( )图 D4-1A.30 B.40 C.50 D.602.如图 D4-2,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,4),过点 A 作 AB x 轴于点 B.将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ,得到 COD,则 CD 的长度是 ( )12图 D4-2A.2 B.1 C.4 D.2 53.如图 D4-3,在 ABC 中, AB=AC, A=40,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,
2、交 AC 于点 E,连接 BE,则 CBE 的度数为 ( )图 D4-3A.70 B.80 C.40 D.304.如图 D4-4,在边长为 4 的等边三角形 ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的中点,则 ADE 的面积是( )2图 D4-4A. B. C. D.2332 334 35.如图 D4-5,在 Rt ABC 中, A=90,CM 平分 ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分 AMC,若AN=1,则 BC 的长为 ( )图 D4-5A.4 B.6 C.4 D.83二、填空题(每题 6 分,共 24 分)6.已知两个角的和是 67
3、56,差是 1240,则这两个角的度数分别是 . 7.如图 D4-6,一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30方向,且距离灯塔 18 海里的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 55方向上的 B 处,此时渔船与灯塔 P 的距离约为 海里 .(结果取整数,参考数据:sin550 .8,cos550 .6,tan551 .4) 图 D4-68.在 ABC 中, BC=2,AB=2 ,AC=b,且关于 x 的方程 x2-4x+b=0 有两个相等的实数根,则 AC 边上的中线长为 . 39.如图 D4-7,将边长为 6 cm 的正方形 ABCD 折叠,使点 D 落在 AB 边的
4、中点 E 处,折痕为 FH,点 C 落在点 Q 处, EQ 与 BC 交3于点 G,则 EBG 的周长是 . 图 D4-7三、解答题(共 46 分)10.(10 分)如图 D4-8,甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78 m,从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48,测得底部 C 处的俯角为 58,求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC(结果取整数,参考数据:tan481 .11,tan581 .60).图 D4-811.(12 分)如图 D4-9,在四边形 ABCD 中, AD BC, A=90,CE BD 于 E,AB=EC.4(1)求证: ABD ECB;(2)若 EDC=
5、65,求 ECB 的度数;(3)若 AD=3,AB=4,求 DC 的长 .图 D4-912.(12 分)如图 D4-10, ABC 是等腰直角三角形, C=90,点 D 是 AB 的中点,点 P 是 AB 上的一个动点(点 P 与点 A,B不重合),矩形 PECF 的顶点 E,F 分别在 BC,AC 上 .(1)探究 DE 与 DF 的数量与位置关系,并给出证明;(2)当点 P 满足什么条件时,线段 EF 的长最短?(直接给出结论,不必说明理由)图 D4-10513.(12 分)如图 D4-11,在 Rt ABC 中, BAC=90,D 在 BC 上,连接 AD,作 BF AD 分别交 AD
6、于 E,交 AC 于 F.(1)如图,若 BD=BA,求证: ABE DBE.(2)如图,若 BD=4DC,取 AB 的中点 G,连接 CG 交 AD 于 M.求证: GM=2MC; AG2=AFAC.图 D4-116参考答案1.B 2.A3.D 解析 在 ABC 中, AB=AC, A=40, ABC= C=(180- A)2=70.线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E, AE=BE, ABE= A=40, CBE= ABC- ABE=30.4.A 解析 边长为 4 的等边三角形的面积为 42 =4 ,因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 ADE ABC,
7、所12 3 3以 S ADES ABC=1 4,所以 S ADE= 4 = ,故选 A.14 3 35.B 解析 MN BC, ANM= ACB, NMC= MCB, CM 平分 ACB, MCB= MCN= ACB, NMC= NCM, MN=NC, MN 平分12 AMC, AMN= NMC= AMC, AMN= ACB= ANM, A=90, AMN=30,12 12 12 AN=1, MN=2, NC=2, AC=3, B= AMN=30, BC=2AC=6,故选 B.6.4018,27387.11 解析 如图,作 PC AB 于 C.在 Rt PAC 中, PA=18, A=30,
8、PC= PA= 18=9.12 12在 Rt PBC 中, PC=9, B=55, PB= 11,PCsinB 90.8即此时渔船与灯塔 P 的距离约为 11 海里 .8.2 解析 因为关于 x 的方程 x2-4x+b=0 有两个相等的实数根,所以 = (-4)2-4b=16-4b=0,得 AC=b=4.因为7BC=2,AB=2 ,所以 BC2+AB2=AC2,所以三角形 ABC 为直角三角形, AC 为斜边,则 AC 边上的中线长为斜边的一半,取值为 2.39.12 cm 解析 根据折叠性质可得 FEG=90,设 AF=x,则 EF=FD=6-x. E 为 AB 的中点, AE= AB=3.
9、在 Rt AEF 中,12AF2+AE2=EF2,即 x2+32=(6-x)2,解得 x= , AF= ,EF= .根据 AFE BEG,可得 = = ,即 = = , BG=4,EG=5, EBG94 94 154 AFBEAEBGEFEG 9433BG154EG的周长为 3+4+5=12(cm).10.解:如图,过点 D 作 DE AB,垂足为 E,则 AED= BED=90.由题意可知, BC=78, ADE=48, ACB=58, ABC=90, DCB=90,可得四边形 BCDE 为矩形, ED=BC=78,DC=EB.在 Rt ABC 中,tan ACB= ,ABBC AB=BCt
10、an5878 1.60125 .在 Rt AED 中,tan ADE= ,AEED AE=EDtan48, EB=AB-AE=BCtan58-EDtan4878 1.60-781.1138, DC=EB38 .答:甲建筑物的高度 AB 约为 125 m,乙建筑物的高度 DC 约为 38 m.11.解:(1)证明: AD BC, ADB= EBC.在 ABD 与 ECB 中,8 ABD ECB. A= CEB, ADB= EBC,AB=CE, (2)由(1)证得 ABD ECB, BD=BC, BCD= BDC=65, DCE=90-65=25, ECB=65-25=40.(3)由(1)证得 A
11、BD ECB, CE=AB=4,BE=AD=3, BD=BC= =5,42+32 DE=2, CD= =2 .42+22 512.解:(1) DE=DF,DE DF.证明:连接 CD. ABC 是等腰直角三角形, ACB=90,点 D 是 AB 的中点, CD=AD,CD AD.四边形 PECF 是矩形, CE=FP,FP CB, APF 是等腰直角三角形, AF=PF=EC, DCE= A=45, DCE DAF, DE=DF, ADF= CDE. ADF+ FDC= CDA=90, CDE+ FDC= EDF=90, DE DF.即 DE=DF,DE DF.(2) DE=DF,DE DF,
12、 EF= DE= DF,2 2当 DE 和 DF 同时最短时, EF 最短,当 DF AC,DE BC 时,二者最短,9则此时点 P 与点 D 重合,当点 P 与点 D 重合时,线段 EF 的长最短 .13.证明:(1) BF AD, AEB= DEB=90.在 Rt ABE 和 Rt DBE 中, BA=BD,BE=BE,Rt ABERt DBE(HL).(2)连接 GD, BD=4DC,G 是 AB 的中点, S ADC= S ABC,S ADG= S ABC= S ABC,15 12 45 25 = = = = =2 1,GMMCS AGMS ACMS DGMS DCMS AGM+S DGMS ACM+S DCMS ADGS ADC GM=2MC.过点 C 作 CN AC,交 AD 的延长线于 N,则 AB CN, ADB NDC, BD=4DC, = = =4 1.ADDNABCNBDDC又 BF AD, BAC=90, ABE+ BAE= FAE+ BAE, ABE= FAE,即 ABF= CAN.在 Rt ABF 与 Rt CAN 中, BAF= ACN=90, ABF= CAN,Rt ABFRt CAN, = , AFCA=ABCN= AB2=AG2, AG2=AFAC.AFCNABCA 14
