1、- 1 -17-18 学年下学期高二年级数学学科期中考试试卷 理 科1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。每题仅有一个正确答案。1在复平面内,复数 所对应的点位于（ ）i1zA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2等比数列 an中， a39，前 3 项和为 S3 ，则公比 q 的值是 ( )20dxA. 1 B. C. 1 或 D. 1 或12 23用反证法证明命题“已知 ,且 = ,证明对任意正整数 n,都有21x1n2nx3”,其假设应为 ( )1nxA. 对任意正整数 n,有 B. 存在正整数 n,使1nx1nxC. 存在正整数 n,使
2、 D. 存在正整数 n,使 1n且-4对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,仿此，若 的“分裂数”中有一个是 73，则 m 的值为（ ）3375291， ， 3A. 8 B.9 C.10 D. 115定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信” ，若五个人 中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（ ）A. 704 B. 864 C. 1004 D. 10146设 为虚数单位，若复数 满足 ，其中 为复数 的共轭复数，则 （ ）iz1izzA. 1 B.
3、C. D. 222- 2 -7若函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是yfxyfxyfx（ ）A. B. C. D. 8 可表示为（ ）A. B. C. D. 9设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则（ ）0,fxfx1fA. B. 21ln2ff21ln2C. D. ff10已知 ，若 （ 均为234,3815 6ab,b实数） ，则可推测 的值分别为（ ）,abA. 6，35 B. 6，17 C. 5，24 D. 5，3511设函数 ，则 =（ ）2fx012limxfxfA. -6 B. -3 C. 3 D. 612设函数 ，若 是函数 是极大值点，则实数 的取值范围是（
4、 ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13曲线 与 轴围成的封闭区域的面积为_- 3 -14三位老师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去 2 个人，则不同的分配方法有 种.15在复平面内，复数 对应的点位于第三象限，则实数 的取值范28zmim围是_16若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是_lnfxk,k三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17计算：（1） )54(2(ii（2） 的值1xd18已知函数 21xfe（1）求函数 的极值；（2）若 恒成立，求 的最小值2x
5、faxb1ab19如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积.23yx2yx- 4 -20已知数列 的前 n 项和 满足： ，且 .anS12na*0,naN()求 ；123,()猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明na21已知函数 .321fx（1）求 在 处的切线方程； f4,f（2）讨论函数 的单调性.xfe- 5 -22已知函数 的导函数为 ，其中 为常数.（1）当 时，求 的最大值，并推断方程 是否有实数解；（2）若 在区间 上的最大值为-3，求 的值.- 6 -高二数学理科试卷答案1A【解析】 ,在复平面内对应的点为 ,在第一象限,故选i1ii2z 12.2C【解析】由题意得 30
6、|27Sx当 q1 时，则有 ，解得 或 （舍去） 31321 9a12q当 q1 时， a3 a2 a19，故 S327，符合题意综上 或 选 C点睛：在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 与 分类讨论，防止因忽略 1q1q这一特殊情况而导致解题失误3C【解析】 “任意正整数 n”的否定是“存在正整数 n”， “xnxn+1”的否定是“x nx n+1”选 C4B【解析】由题意可得 m3的“分裂”数为 m 个连续奇数，设 m3的“分裂”数中第一个数为 am，则由题意可得 a3a 2=73=4=22，a4a 3=137=6=23，ama m1 =2（m1） ，以上 m2 个式子相加可
7、得 ama 2= =（m+1） （m2） ，42ma m=a2+（m+1） （m2）=m 2m+1，当 m=9 时，a m=73，即 73 是 93的“分裂”数中的第一个- 7 -故选：B5A【解析】由题意，写信的情况共有 种，不妨设 之间出现“三角恋写法” ，则共有 种情况，故出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为 种，所以不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为 ，故选 A.6B【解析】由题得 ，故选 B.2111ziiziz7A【解析】由导函数图像可知导函数先负，后正，再负，再正，且极值点依次负，正，正。对应的函数图像应是先减，后增，再减，再增，排除 B,D，这两上为先增，再排除 C
8、,因为极值点第二个应为正，选 A.8B【解析】 ，故选 9A【解析】由题意得构造函数 ， 在 上lnFxfx1fx0,0，所以x在 上单调递增，所以 ，lnFfx0,21,2ln1lFff即选 A.21l2ff10A【解析】由 ，分析可得： 34,3815， 时， ，故选 .22(1nn)N6n2,6135abA【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) - 8 -数的归纳包括数的归纳和式
9、子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11A【解析】根据导数的定义： ，因为 ，所0 20121limlim2f1x xfxffxff21x以 ，即 =-61f60lixff故选：A12A【解析】 ，若因为 是函数 是极大值点，所以即 ，所以 若 时，因为 ，所以当 时， ，当 时 ，所以 是函数 是极大值点，符合题意；当 时，若 是函数 是极大值点，则需 ，即 ，综上，故选 A. 132【解析】 与 轴所围成的封闭区域的面积 ，故答案为 2.14 60
10、【解析】试题分析：若每个村去一个人，则有 种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去342A一人，则有 种分配方法，所以共有 60 种不同的分配方法.12346CA考点：本小题主要考查利用排列组合知识解决实际问题.点评：解决排列组合问题时，一定要分清是排列还是组合，是有序还是无序.15 2,0- 9 -【解析】依题意有 且 ,解得 .0m2802,0m16 1,2【解析】 1fxk函数 在区间 单调递增，ln2,在区间 恒成立，0fx,1k而 在区间 单调递减，则yx2,12k的取值范围是k1,点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性。首先求出导函数 ，由于fx函数 在区间 单调递增
11、，可得 在区间 恒成立，解出fxkln2,0fx2,即可得到 的取值范围。17-20+16i【解析】试题分析：根据复数的乘法的运算法则，化简运算，即可得到结果.试题解析：( + i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=-20+16i.18 【解析】试题分析：表示圆 x2 y21 在 x 轴上方的半圆(含圆与 x 轴的交点)根据定积分的几何意21y义， 表示由曲线 与直线 x1， x1， y0 所围成的半圆的面积，1d2即 .21x试题解析：y (1 x1)表示圆 x2 y21 在 x 轴上方的半圆(含圆与 x 轴的交点)根据定- 10 -积分的几何意义，知 dx 表示
12、由曲线 y 与直线 x1， x1， y0 所围成的平面图形的面积，所以 dx S 半圆 .点睛：定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为 0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.19 （1）极小值为 ，无极大值；（2） .01f2e【解析】试题分析：（1）通过两次求导可得 在 上单调递增，又 ，当fxR0f时， 递减，当 时 递增， 的极小值为 ，无极大0xfx,ff可 得 1值；（2） 恒成立等价于 恒成立，当2ab1xheab在 上单调递增，不合题意，当 可得1ahx， R-0，即minl1ln1b， ，令lnba 221ln1aa，只需利用导数求出 即可的结果.2
13、,0FttminFt试题解析：（1） ， 恒成立，1xfe0xfe 在 上单调递增，又 ，当 时， 递减，fxR0f,fxf当 时， 递增， 的极小值为 ，无极大值.00,fxfx1（2） 即 ，21xab（ ） 1eab令 ，即证当 时， 恒成立，hexxR0hx则 ，当 在 上单调递增，当 时， 1x 0， x，与 矛盾.h当 在 上单调递减，当 上单调递增，-0ax， ,lnaln1a， ，即minl11l0h b，b- 11 - ，令 ，2211lnaba2ln,0Ftt ，令 得 ，lnFttt 0e令 得 ， ，0emin2Fe即当 时， 的最小值为 1,2ab1ab20 32【解
14、析】试题分析：先求出直线 与抛物线 的交点坐标，从而得到积分的上3yx2yx下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可试题解析：或23 1yx3x.322311 2()|Sdx21()见解析 ()见解析【解析】试题分析：（）分别赋值，求出 ；（）先根据（1）问结论猜出数列23,a的通项公式，再利用数学归纳法进行证明.试题解析：() ，所以 .11,2as1又因为 ，所以0na13，所以221S253a，所以 33121aa37()由()猜想 ， 2nnN下面用数学归纳法加以证明：当 时，由（1）知 成立13a- 12 -假设 ( )时， 成立nkN21kak当 时， 11
15、 112kkkkaS1 12 212k ka ka 所以 ,解得： ，2110kka13ka所以 a即当 时猜想也成立n综上可知，猜想对一切 都成立nN点睛：本题考查数列的通项公式的“归纳猜想证明”方法；利用数学归纳法证明数学问题的主要步骤：（1）验证初始值 （往往是 ） ；0n1（2）假设 ，命题成立，再证明 ，命题成立，如本题中，假设k1nk( )时， 成立，证明nN21kak1121kak即当 时猜想也成立；由（1） （2）得命题成立22 （1） . （2） 在 和 内单调递减，在 和 单67ygx.41,04,10.调递增。【解析】试题分析：（1）由于是在这点处的切线，只需求出斜率及点
16、坐标，利用点斜式写出切线方程。 （2）对函数求导并因式分解 ，可求得单调区间在。1 42xgxe试题解析：（1） ，321fx 。23fx 。40f- 13 -又 ，416327f所以曲线 . 416-327fxf y在 （ ， ） 处 的 切 线 方 程 为（2）令 ，21gxxfee 23231 4xx xx e令 ，解得0g,4或当 时， ， 单调递减；4xxgx当 时， ， 单调递增；10当 时， ， 单调递减；0xxx当 时， ， 单调递增。 gg综上可知 在 和 内单调递减，x.41,0在 和 单调递增。4,10【点睛】利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数 f(x)的定义域
17、；第二步：求 f( x); 第三步：解方程 f( x)0 在定义域内的所有实数根，考虑因式分解；第四步：将函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定 f( x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性23(1) ，方程 没有实数解；(2) .【解析】试题分析：（1）当 时， ， .结合函数的单调性可得 .构造函数 ，则 ，利用导函数研究函数的单调性可得 在 上单调递- 14 -增；在 上单调递减， ，据此可得方程 没有实数解.（2）由题意可得 ， ， .据此分类讨论有：若 ， 在 上为增函数， 不合题意.若 ， 在 上为增函数，在 上为减函数， .令，可得 .综上可得 .试题解析：（1） ， .当 时， ， .当 时， ；当 时， . 在 上是增函数，在 上是减函数， . .又令 ， ，令 ，得 .当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减， ， ， ，即 ，方程 没有实数解.（2） ， ， .若 ，则 ， 在 上为增函数， 不合题意.若 ，则由 ，即 ，由 ，即 .从而 在 上为增函数，在 上为减函数， .令 ，则 ， ，即 . ， 为所求.
