1、- 1 -甘肃省武威第十八中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若 是虚数单位，则复数 的虚部是 （ ）i iz12A0 B C1 D i2. 已知 ， ， ， ，依照26=453=47=24102=4以上各式的规律，得到一般性的等式为( )A B82()n1()5()nC D4=1 =24()3. 已知 为三次函数 的导函数，则它们的图象可能()gx32()0afxxa是（ ）4 曲线 与 围成的封闭区域的面积是（ ）2yx2A1 B C D113145
2、在用数学归纳法证明 的过程中，假设)3,(2.)( *nNnnf时不等式成立，则需要证明 成立时， 比 增加的值为（ nk1k1fkf）A、 B、 C、 D、122212k6 在复平面内，复数 31i对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限- 2 -7 函数 34xy在区间 2,上的最小值为（ ）A 2 B 6 C 12 D 08若点 P 在曲线 上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为 ，则323()4yxx角 的取值范围是( )A. B. C. D.0,20,232,320,38 dx2)cos1(=( )A B 2 C 2 D 29. 在平面几何中有如下结论：正三角形
3、 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 P ABC 的内切球体积为 V1，外接球体S1S2 14积为 V2，则 ( )V1V2A. B. C. D.18 19 164 12710. 已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于( )A11 或 18 B11 C18 D17 或 1811已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是 （ ）()ln)faA B C D(,01,2(0,1)(0,)12已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导函数为 ，当 x(，0时，恒有/f，令 F(x) xf
4、(x)，则满足 F(3)F(2x1)的实数 x 的取值范围是（ ）)(/fxfA(2,1) B C D(1,2)1,21,2二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 观察下列不等式： ； ； ；则第 个不等式为 1212613625- 3 -14. 若复数 z满足 izi2)1(，则 z的虚部为 15. 已知函数 ，其导函数记为 ，snxf ()fx则 .(203)()(03)ff(1f16. 若函数 f(x)=2x2-lnx 在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算
5、步骤.17(本题满分 10 分)数列 an满足 Sn2 n an(nN *)(1)计算 a1， a2， a3， a4 ；(2) 猜想通项公式 an，并用数学归纳法证明18. (本题满分 12 分)点 P 是曲线 x2 y2ln 0 上任意一点，求点 P 到直线 y x2 的最短距离x19. (本题满分 12 分)设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图像关于直线 x 对称，12且 f(1)0.(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的极值20. (本题满分 12 分)已知 f(n)1 ， g(n) ， nN *.123 133 143
6、1n3 32 12n2(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明21. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)ln x ax 1( aR)1 ax(1)当 a1 时，求曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；- 4 -(2)当 时，讨论 f(x)的单调性0a22. (本题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) e2x2 x22 f(0)x， g(x)f 12 f x2(1 a)x a.(x2) 14(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)的单调区间；(3)如果 s、
7、 t、 r 满足| s r| t r|，那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a2 且 x1 时，试比较 和exex1 a 哪个更靠近 ln x，并说明理由- 5 -高二期中数学试题（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若 是虚数单位，则复数 的虚部是 （ B ）i iz12A0 B C1 D i2. 已知 ， ， ， ，依照26=453=47=24102=4以上各式的规律，得到一般性的等式为( A )A B82()n1()5()nC D4=1 =24()3. 已知 为三次函数 的导函数，则它们的图象可能是
8、()gx32()0afxxa（ D ）4 曲线 与 围成的封闭区域的面积是（ C ）2yx2A1 B C D113145 在用数学归纳法证明 的过程中，假设*,32fnnN时不等式成立，则需要证明 成立时， 比 增加的值为（ B nk1k1fkf）A、 B、 C、 D、12k2kk2k12k6 在复平面内，复数 31i对应的点位于( D )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7 函数 4xy在区间 2,上的最小值为（ D ）- 6 -A 72 B 36 C 12 D 08 dx2)cos1(=( D )A B 2 C 2D 9. 在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积
9、为 S1，外接圆面积为 S2，则 ，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 P ABC 的内切球体积为 V1，外接球体S1S2 14积为 V2，则 ( D )V1V2A. B. C. D.18 19 164 12710. 已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于( C )A11 或 18 B11 C18 D17 或 1811已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是 （ B ）()ln)faA B C D(,01,2(0,1)(0,)12已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导函数为 ，当 x(，0时，恒有/f，令 F(x) xf(x)，则
10、满足 F(3)F(2x1)的实数 x 的取值范围是（ D )(/fxf）A(2,1) B C D(1,2)1,21,2二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 观察下列不等式： ； ； ；则第 个不等式为 1212613625 5301216214. 若复数 z满足 izi)(，则 z的虚部为 115. 已知函数 ，其导函数记为 ，sn21xf()fx- 7 -则 .2(2013)()(2013)fff()f16. 若函数 f(x)=2x2-lnx 在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 )3,1k三、解答题：共 70 分解
11、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本题满分 10 分)数列 an满足 Sn2 n an(nN *)(1)计算 a1， a2， a3， a4 ；(2) 猜想通项公式 an，并用数学归纳法证明解：(1)当 n1 时， a1 S12 a1， a11.当 n2 时， a1 a2 S222 a2， a2 .32当 n3 时， a1 a2 a3 S323 a3， a3 .74当 n4 时， a1 a2 a3 a4 S424 a4， a4 .158由此猜想 an (nN *)2n 12n 1(2)证明：当 n1 时，左边 a11，右边 1，21 120左边右边，结论成立假设 n k(k1 且 kN
12、 *)时，结论成立，即 ak ，那么 n k1 时，2k 12k 1ak1 Sk1 Sk2( k1) ak1 2 k ak2 ak ak1 ，2 ak1 2 ak， ak1 ，2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 12k这表明 n k1 时，结论成立，- 8 -由知猜想 an (nN *)成立2n 12n 118. (本题满分 12 分)点 P 是曲线 x2 y2ln 0 上任意一点，求点 P 到直线 y x2 的最短距离x解析 y x22ln x2ln x(x0)， y2 x ，令 y1，即 2x 1，解得x1x 1xx1 或 x (舍去)，故过点(1,1)且斜率为 1 的切线为 y
13、 x，其到直线 y x2 的距离12即为所求219. (本题满分 12 分)设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图像关于直线 x 对称，12且 f(1)0.(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)因为 f(x)2 x3 ax2 bx1，故 f( x)6 x22 ax b，从而 f( x)6 2 b ，(xa6) a26即 y f( x)关于直线 x 对称a6从而由题设条件知 ，即 a3.a6 12又由于 f(1)0，即 62 a b0，得 b12.(2)由(1)知 f(x)2 x33 x212 x1，所以 f( x)6
14、 x26 x126( x1)( x2)，令 f( x)0，即 6(x1)( x2)0，解得 x2 或 x1，当 x(，2)时， f( x)0，即 f(x)在(，2)上单调递增；当 x(2,1)时， f( x)0，即 f(x)在(1，)上单调递增从而函数 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.20. (本题满分 12 分)已知 f(n)1 ， g(n) ， nN *.123 133 143 1n3 32 12n2(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当 n1
15、时， f(1)1， g(1)1，所以 f(1) g(1)；当 n2 时， f(2) ， g(2) ，所以 f(2)0，此时 f( x)0，函数 f(x)单调递增当 a0 时，由 f( x)0，解得 x11， x2 1.1a当 a0，函数 f(x)在 R 上单调递增；当 a0 时，由 g( x)- 11 -e x a0 得 xln a， x(，ln a)时， g( x)0， g(x)单调递增综上，当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为(，)；当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为(ln a，)，单调递减区间为(，ln a)(3)设 p(x) ln x， q(x)e x1 aln x，
16、ex p( x) e 时， p(x)0，1x 1x2 q( x)在 x1，)上为增函数，又 q(1)0， x1，)时， q( x)0， q(x)在 x1，)上为增函数， q(x) q(1) a10.当 1 xe 时，| p(x)| q(x)| p(x) q(x) e x1 a，ex设 m(x) e x1 a，则 m( x) e x1 e 时，|p(x)| q(x)| p(x) q(x) 2ln xe x1 ae 时为减函数， n( x)e 时为减函数， n(x)n(e)2 ae e1 0，- 12 -| p(x)|q(x)|， 比 ex1 a 更靠近 ln x.ex综上在 a2， x1 时， 比 ex1 a 更靠近 ln x.ex
