1、AFNL NF XOb-Ob7 90 LO12372 037bLL 211 W ISSN 0335-3931 NF X 06-069 Dcembre 1990 Application de la statistique Comparaison dune proportion une valeur donne E : Application of statistic-Comparison of a proportion to a given value D : Anwendung von Statistik-Vergleich zu eine Proportion mit einem gegeb
2、enen Wert Norme franaise homologue par dcision du Directeur Gnral de Iafnor le 20 novembre 1990 pour prendre effet le 20 dcembre 1990. Remplace la norme homologue de mme indice, de juillet 1981. a correspondance la date de publication de la prsente norme, des travaux au sein de IISO sont en cours su
3、r ce sujet. a na lyse descripteurs Cette norme porte sur lexcution et linterprtation des calculs de la comparai- son dune proportion une valeur donne. Thsaurus International Technique : statistique, analyse statistique, propor- ti on, com paraison. modifications Une enqute de validit portant sur la
4、norme de juillet 1981 a t effectue en aot 1990, auprs de la commission de normalisation X06E (Mthodes statisti- q u em. Aucune modification na t apporte au texte de la norme homologue en juillet 1981. corrections dite et diffuse par lassociation franaise de normalisation afnor), tour europe cedex 7
5、92049 paris la dfense - tl. : (1) 42 91 55 55 afnor 1990 O afnor 1990 lertirage 90-12 - COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Services- AFNL NF XOb-Ob9 90 LO12372 0376832 158 rn Mthodes statistiques AFNOR X06E * Membres de la commission de normalisati
6、on charge le llaboration du prsent document Prsident : M BRUNSCHWING Secrtaire : MME DEL CERRO-AFNOR M BRUNSCHWIG Conseil Gnral des PONTS en ill), c est dfini comme c1 de I), sauf remplacement de d2 par a. Pour la dtermination effective de ces bornes, voir ci-aprs (paragraphe 5.3 et tableau 2). Rema
7、rques 1 : pour les valeurs usuelles de a on a toujours : c1 et c du cas III npo . 2 : pour de faibles valeurs de n et de po, c, (et mme c du cas Ill) peut (peuvent) ne pas exister. II en est ainsi lorsque : P (X = O I n, po) = (I - pO)“ cr/2 (ou a). Dans ce cas, il convient daugmenter n et/ou a - vo
8、ire po -, en veillant ce que la nouvelle valeur de n nexcde pas N/10 dans le cas dune population finie. 3.3 Les risques associs au test 3.3.1 Le risque de Ire espce Cest la probabilit de rejeter lhypothse nulle lorsquelle est vraie. Son expression est fonction de la ou des bornes de la rgion critiqu
9、e. On a : en i) : P (X Po I en III) : = P(X c I n, PI) = 1 - P(X5 c 1 n, p,) o p, Oll , par exemple). - loi de Poisson : * 5.2 tude du tableau 1 (1) - Acceptation ou rejet de Ho Rappel des conditions dutilisation et de la question pose : On suppose donn : n, Ho et a, ainsi que la valeur observe, k.
10、Au vu de cette valeur observe, doit-on rejeter Ho ou non ? Commentaire : Comme il est indiqu dans le tableau, deux cas peuvent se prsenter : a) la comparaison de k npo permet de conclure immdiatement au non-rejet de Ho, ou, b) cette comparaison ne conduit pas une conclusion immdiate. Dans ce dernier
11、 cas, on a le choix entre : c) comparer k la borne convenable de la rgion critique en i) ou ou la borne unique de cette rgion en II) et III), ce qui suppose la dtermination pralable de cette borne suivant les directives du tableau 2 ; d) utiliser lune des variantes cites au tableau 1 et dont le prin
12、cipe est de comparer al2 (cas I) ou a (cas II et ill) celle des deux probabilits : I) P(X I k I n, Po) ou P(X 2 k I n, Po) = 1 - P(X I k - 1 I Cl Po) qui convient. Remarque: lutilisation de ces variantes est plus aise que la dtermination de la borne de la rgion critique. Cependant cette dtermination
13、 peut tre avantageuse si lon doit rpter de nombreuses fois le test avec les mmes donnes : n, Ho et a. Elle est indispensable si lon veut tudier les risques associs au test. (I) Voir ce tableau aux pages 10 et 11. - _I_- COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Ha
14、ndling Services- -. AFNL NF XOb-Ob9 70 m 1032372 0433670 5b m -9- NF X 06-069 intentionnellement blanche COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-Ob9 90 W LOL2372 0376839 502 NF X 06-069 - 10 - Tableau 1 - Acceptation ou rejet de Ho i
15、re partie : test bilatral Hypothse nulle et rgion critique -I (trait double) a) Dcision immdiate Si k = npn : accepter Hn w Pour k e npo b) Pas de dcision immdiate Pour k npo c) Comparaison de k la borne de ia rgion critique (dtermine suivant les directives du tableau 2) Comparer k c1 si k c1 : acce
16、pter Ho sinon, rejeter Ho Comparer k c2 si k 42 : accepter Ho sinon, rejeter Ho Dterminer P = P(X 2 k I n, pol si P cd2 : accepter Ho sinon, rejeter Ho - abaque donnant lintervalle de confiance pour p en fonction de Wn Dterminer la borne suprieure de lintervalle de confiance bilatral 1 - a, si po c
17、ps : accepter Ho sinon, rejeter Ho soit ps - . Pour v1 = 2(k + 1) et v2 = 2(n - k), Dterminer la borne infrieure dc lintervalle de confiance bilatral 1 - a soit pi si po pi : accepter Ho sinon, rejeter Ho - deF: Pour v1 = 2(n - k + 1) et v2 = 2k, e F, - a/2 (vl , v2) : accepter H /.i- v2 40 VIP0 e F
18、, - a/I (vl , v2) : accepter H, sinon, rejeter Ho sinon, rejeter Ho - normale: - classique Calculer u = (npo - k - 03) i ,/= si u e u, - a/2 : accepter Ho sinon, rejeter Ho Ca Icu I er u = (k - 0,5 - npo) i inPoc/o si u e u, - a/2 : accepter Ho sinon, rejeter Ho - selon Molenaar Ca Icu I e r u = 2 (
19、,/G=xT+) - I(k+) 1 si u d2 : accepter Ho 1 sinon, rejeter Ho Calculer u=2(6- si u d2 : accepter Ho sinon, rejeter Ho i - par les fractiles de x2 Pour v = 2k+ 2, J si 2npo e x1 - 1 sinon, rejeter Ho 2 (v : accepter H, Pour v = 2k, si 2np0 % (. po) , pour lesquelles le risque de 2e espce est gal la va
20、leur donne, . Lexpression de p; donne en variante (loi de Fet loi de x2) suppose que la remarque 1 ci-dessus sapplique. De mme, lexpression de p; suppose que la remarque 2 sapplique. e COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-Ob9 90 =
21、 LOI12372 0376824 97T - 15 - NF X 06-069 Tableau 3 - Risques de Ire et de 2e espce Ire partie : test bilatral Hypothse nulle et rgion critique -+ (trait double) lfinition du risque - de Ire espce - de 2eespce 4pplication aux diverses lois je probabilit utilisables : - binomiale - de F - normale: - c
22、lassique - selon Molenaar - de Poisson : - directement - par les fractiles de x2 a = P(F Po Pi = v2 / (v2 + VlFl - ,)*, p; po et pl = - x2 (2cl + 2). p PO * avec 21 /v141)* v1 = 2c et v2 = 2(n - c + 1) a = 1 - (26 - 2-) p=a(2+ (;) p; (1 - -y n p = (;) P; (1 - PI)“ -x c+l a = 1 - P(F po . I, 1 Ho : p
23、 = po et p1 po . ill) Ho : p 2 po. On a alors toujours p1 po (voir figure, page 20). n, c1 et c2 sont trois entiers tels que : P(X 5 Cl I n, Po) = a/2 P(X I c2 - 1 I n, Po) = 1 - d2 (2 1 o le symbole = signifie (aussi peu diffrent que possible de. a) On dtermine dabord n et c2- 1 satisfaisant (2) et
24、 (3). Ce sont les coordonnes n et x respectivement du point dintersection des deux droites joignant po (chelle des p1 1 - 42 (chelle des P ) et p1 (chelle des p) (chelle des P). b) On dtermine ensuite c1 satisfaisant (I). Cest la coordonne x du point dintersection de la courbe correspondant au n obt
25、enu en a) et de la droite joignant po (chelle des p) a/2 (chelle des Pl. Cas I, ), soit Ho : p = po et p1 po . n et c sont deux entiers tels que : P(X I c - I I n, po) =I -a P(X I c - I I n, p,) = n et c- 1 sont donc respectivement les coordonnes n et xdu point dintersection des deux droites joignan
26、t po (chelle des p) 1 - a (chelle des P) et p1 (chelle des p) (chelle des Pl. Cas Ill), soit Ho : p 2 po et p1 e po . n et c sont deux entiers tels que : P(X I c I n, po) = a P(X I c I n, p1) = 7 - p Ce sont donc respectivement les coordonnes n et x du point dintersection des deux droites joignant p
27、o (chelle des p) a (chelle des P) et p1 (chelle des p) 1 - (chelle des Pl. Remarque : suivant la valeur des donnes, notamment po et p1 , les valeurs lues sur le graphique pour n, c1 et c2 ou c seront plus ou moins prcises. Sil sagit de nombres importants (plusieurs dizaines ou mme centaines), une in
28、certitude de quelques units est de peu dimportance pratique. Sil sagit de faibles valeurs (ce sera le cas pour c1 et c2 ou c si les valeurs de po et p1 sont petites), le graphique donnera, au contraire, une valeur non entire de x quil conviendra darrondir au mieux. Dans ce cas, le graphique permet d
29、apprcier les risques a et rsultant de tel ou tel arrondissage (se reporter aux exemples, page 28 et suivantes). O 2 - Validation des valeurs obtenues pour n, c1 et cq ou c En cas dincertitude sur les valeurs de ces paramtres dtermines graphiquement, on pourra, a titre de vrification, calculer les ri
30、sques a et qui leur correspondent. On procedera alors comme il est dit au tableau 3 et au paragraphe 5.4. Remarque importante : Lors de ce calcul numrique de a et , on veillera ne pas substituer une imprcision de lecture du graphique, perceptible par loprateur, une imprcision due une interpolation d
31、ans une table numrique (sur les degrs de libert de F, par exemple) ou, pire, une erreur systmatique due une mthode approche, imprcision ou erreur dont il est difficile de dceler lexistence et, encore plus, dapprcier Ii m po rta nce. a COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by
32、 Information Handling ServicesAFNL NF XOb-Ob9 90 m 3032372 0376829 451 m NF X 06-069 - 20 - Nomogramme des probabilits binomiales cumules X P(x; n, p) = cy (1 - p)” -; i=O 0,50 a Remarque : si p est plus petit que 001, on utilise k.p sur lchelle des p et lon multiplie les valeurs de lchelle des n pa
33、r k o k = 0,01/p (arrondi lentier suprieur). H.R. Larson : A Nomograph of the Cumulative Binomial Distribution. Industrial Quality Control 23, , 1966/67, S. 270-278. I_ - - COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesP Oto 1 - 21 - NF X 06-069 Nomog
34、ramme des probabilits binomiales cumules X (x ; n, p) = c c,pi (1 - p)“ - i =O ox, Cas i,) Ho : p = po 2 - -%I2 Remarque : si p est plus petit que 001, on utilise k.p sur lchelle des p et lon multiplie les valeurs de O lchelle des n par k o k = 0,01/p (arrondi lentier suprieur). ,- H.R. Larson : A N
35、omograph of the Cumulative Binomial Distribution. Industrial Quality Control 23, 1966167, S. 270-278. .- - =_ COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Services_ AFNL NF XOb-Ob9 90 LO12372 037b83L OUT = NF X 06-069 - 22 - 6 EXEMPLES La section 6.1 traiter
36、a du ler cas cit au chapitre 4 : n est donn. Dans la section 6.2, on examinera le 2e cas : n doit tre dtermin pour satisfaire des conditions don- nes. 6.1 ler cas : leffectif de lchantillon, n, est donn Pour n = 100, on considrera le test de lhypothse nulle Ho 1 p = go = Oll (test bilatral), avec le
37、 niveau de signification a = 0,05. On traitera successivement les trois questions : Q1 : Pour k = 15, doit-on rejeter Ho ou non ? 02 : Quelles sont les deux bornes, c, et c2, de la rgion critique ? b) Quelle est la valeur du risque de 2e espce si p = p1 = 0,2 ? 03 : a) Quelle est la valeur exacte, a
38、, du risque de lre espce ? ou c) Quelle est la valeur p1 de p pour laquelle = 0,2 ? (pages 22 et 23) (pages 23 a 25) pages 25 28 1 La valeur retenue pour les paramtres : n = 100, po = Oll et p1 = 0,2, permet pratiquement lutilisation de toutes les lois cites dans les tableaux 1 3, savoir : - la loi
39、binomiale, n = 100 tant la plus grande des valeurs apparaissant dans les (50-100) binomial tables) : - la loi de FI au prix dinterpolations sur les degrs de libert qui risquent daffecter la prcision des rsultats ; - la loi normale sous ses deux formes : classique et selon Molenaar, encore que npoqo
40、= 9 soit tout juste acceptable pour lapplication classique de cette loi ; - la loi de Poisson - x2 , encore que po = Oll et surtout p, = 0,2 soient sans doute un peu trop levs. Cette utilisation des diverses lois partir des mmes donnes permet surtout de faire apparatre leur plus ou moins grande faci
41、lit de mise en uvre. Elle ne permet quaccessoirement de comparer les rsultats car limportance et mme le signe des diffrences constates peuvent varier suivant la valeur des paramtres. lerCAS : - Donnes : n = 100, k= 15 Ho) p = po = Oll a = 0,05 et pour la 3e question : soit p1 = 0,2, soit = 0,2. lre
42、question - Sachant que ia valeur observe de Xest k = 15, doit-on rejeter Ho ou laccepter 7 Utiliser le tableau 1, lre partie : test bilatral. On a k = 15 # npo = 10. On ne peut donc conclure immdiatement. Comme k = 15 npo = IO, on se reporte a la deuxime colonne du tableau. On peut : - Soit comparer
43、 k c2 (voir la dtermination de c2 en 2e question, ci-aprs). Quelle que soit la mthode utilise, on a k c2 , ce qui conduit a accepter Ho. - Soit utiliser lune des variantes cites au tableau 1 : - Loi binomiale B (n, pol, ici B (100 ; Oll). Daprs la table de cette loi, P(X2 15 I 100 ; Oll) = 1 - P(XI
44、141 100 ; Oll) = 0,073. Cette probabilit tant suprieure d2 = 0,025, on accepte Ho. 1 - a = 0,95 est pi= 0,085 cJ2 = 0,025. Donc on accepte Ho. - Loi de x2 : quivalente la loi de Poisson ; condition dutilisation tout juste satisfaite. Pour v = 2k = 30, on a X:,o25(30) = 16,79 cJ2 do CI = 4 - Loi de i
45、. c1 et c2 sont dfinis par les conditions : c1 , plus grand entier tel que, pour : v1 = 2 (c1 + 1) et v2 = 2 (n - c1), on ait : P(X2 16) = 1 - 0,960 1 = 0,039 9 d2 P(X2 17) = 1 - 0,979 4 = 0,020 6 1,759 do CI = 4. Si C= 16 vl=2(n-c+1) : 170 v2= 2c 32 v290 1 1,694 La table de O,975 (vl, v2) donne : S
46、i C= 17 168 34 1,821 v2 = 32 V2 = 34 1,77 de sorte que, Si c = 16, Fo,975 (170,32) 1,694 Si C = 17, FO,975 (168,341 1,960 sic=4: 2(4m - dm) = 1,954 1,960, do c2 = 17 (gal la valeur exacte) Mme remarque que pour la loi de Fci-dessus. I - COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed
47、by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-Ob9 90 1012372 037683L1 819 P(X I 3) = 0,Ol o 3 a/2, soit c, = 3 (encore que c, = 4 donnerait une probabilit plus proche de a/2 que c1 = 3). - 25 - NF X 06-069 P(X2 17) = 0,027 O CY/ P(X2 18) = 0,014 3 20 soit 2c1 + 2 = 8, c1 = 3 (encore que 2c1 + 2 = IO,
48、c, = 4, donnerait un fractile de x2 plus proche de 20) c1 est le plus grand entier tel que : P(XI c1 I mo) 5a/2o mo= npo xi025 (34) = 19,8 20 soit 2c2 = 36, c2 = 18 i (encore que 2c = 34, c2 = 17, donnerait un fractile de x2 pfus proche de 20) c2 est le plus petit entier tel que : P(X 2 c2 I mo) I d2 o mg = npo c1 est le plus grand entier tel que, pour 2 v = 2c1 + 2, x1 - cr/2 (VI I 2npo c2 est le plus petit entier tel que, pour 2
