1、1考查角度 3 数列的综合运用分类透析一 数列的新定义、新情景问题例 1 若三个非零且互不相等的实数 x1,x2,x3成等差数列,且满足 + = ,则称1112x1,x2,x3成一个“ 等差数列” .已知集合 M=x|x|100, xZ,则由 M 中的三个元素组成的所有数列中,“ 等差数列”的个数为( ).A.25 B.50 C.51 D.100解析 + = ,且 x1+x3=2x2, + = ,112221 (x1-x2)(x1+2x2)=0,x 1=x2(舍去)或 x1=-2x2,x 3=4x2.令 -1004 x2100,得 -25 x225,又由题意知 x20, “ 等差数列”的个数为
2、 225=50.答案 B方法技巧 含“新信息”背景的数列问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生不易抓住信息的关键部分并用于解题之中;二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,但新信息问题所问的因为与新信息相关,所以要运用的知识隐藏的较深,学生不易找到解题的方向 .分类透析二 数列与函数的综合问题例 2 已知 f(x)= 的定义域为 R,an=f(n)(nN *),且数列 an是递增数列,则 a 的取值范围是( ).A.(1,+ ) B.(12,+)C.(1,3) D.(3,+ )解析 f (x)= 的定义域为 R,an=f(n),且 a
3、n是递增数列,2解得 a3.答案 D方法技巧 (1)数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇上命题的特点 .(2)数列与函数的综合问题主要有以下两类: 已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般要利用函数的性质及图象求解; 已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式和求和对式子化简变形 .分类透析三 数列与不等式的综合问题例 3 已知在数列 an中, a1=2,nan+1-(n+1)an=1,nN *.若对于任意的 nN *,不等式0)的图象在点( ak, )处的切线与 x 轴交点的横坐标为ak+1,k 为正整数, a1=
4、16,则 a1+a3+a5=( ).A.18 B.21 C.24 D.30解析 依题意, y=2x, 函数 y=x2(x0)的图象在点( ak, )处的切线方程为 y- =2ak(x-ak).令 y=0,可得 x= ak,即 ak+1= ak, 数列 an为等比数列, an=16 ,(12)1a 1+a3+a5=16+4+1=21.答案 B2.(2018 盐湖区校级三模)在等差数列 an中,已知 a4,a7是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点,则 an的前 10 项和等于( ).A.-18 B.9 C.18 D.20解析 a 4,a7是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点,即 a
5、4,a7是方程 x2-4x+3=0 的两个根, 由韦达定理可知 a4+a7=4,S 10= 10= 10=20.1+102答案 D53.(2018 四川模拟)已知等比数列 an中, a1=1,a4= ,且 a1a2+a2a3+anan+10,tan B=30,A+B+C=, 0 对任意nN *恒成立,则实数 的取值范围是 . 解析 在数列 an中, a1=1,当 n2 时, an=an-1+n,即 an-an-1=n,a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1= .(当 n=1 时也成立)(+1)2a n= .(+1)211不等式 可化为
6、, 21+ 2(+1) 对任意 nN *恒成立, 2 .21+ 2(+1) +1+1则实数 的取值范围是2, + ).答案 2,+ )14.(2018 和平区二模)已知 f(x)= 规定 fn(x)= (nN *),则 f521,3,22+2,3, (),=1,(1(),2的值为 . 解析 由 f(x)=21,3,22+2,3,fn(x)= (nN *),(),=1,(1(),2可得 f1 =f = = ,234+2f2 =f =f = =3,(1( 32) 272+2f3 =f =f(3)= = ,(2( 32) 29+2 20f4 =f =f( )=20-1=19,(3( 32)f5 =f
7、 =f(19)=192-1=360.(4( 32)答案 36015.(2018 成都模拟)已知数列 an的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,各项都是正数的数列 xn满足 x1=3,x1+x2+x3=39, = = ,则 xn= . 解析 设 = = =k,则 an=lo k,所以 =logkxn.同理可得, =logkxn+1,1=logkxn+2.因为数列 an的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,所以2logkxn+1=logkxn+logkxn+2 =xnxn+2,所以数列 xn是等比数列 .把 x1=3 代入 x1+x2+x3=39,得公比 q=3 或 q=-4(舍去),所以 xn=33n-1=3n. 答案 3n12
