1、1二元一次方程组章末小结与提升二元一次方程组二元一次方程 定义: 方程中含有两个未知数; 含有未知数的项的次数是 1; 方程两边是整式方程的 解: 使方程两边的值相等的未知数的值 二元一次方程组 定义: 方程组中含有两个未知数; 含有每个未知数的项的次数都是 1; 由两个方程组成方程组的 解: 两个方程的 公共解 解法: 代入消元法; 加减消元法 应用:关键是找出题中的相等关系,根据相等关系列出方程(组) .具体步骤: 审题; 设未知数 ; 列方程组 ; 解方程组; 检验、作答 .三元一次方程组 定义: 方程组中含有三个未知数; 每个方程中含未知数的项的次数都是 1; 由三个方程组成解法: 代
2、入消元法; 加减消元法 类型 1 二元一次方程 (组)的概念典例 1 如果 xa-b-2ya+b-4=10 是二元一次方程,那么 a,b 的值分别是 ( )A.3,1 B.3,2 C.2,1 D.2,-1【解析】根据二元一次方程的定义,可得 x 和 y 的指数都为 1,列关于 a,b 的方程组,即解得a-b=1,a+b-4=1, a=3,b=2.【答案】 B【针对训练】1.方程( m2-9)x2+x-(m+3)y=0 是关于 x,y 的二元一次方程,则 m 的值为 (B)A.3 B.3 C.-3 D.92.已知方程( a-2)x|a|-1-(b+5)y|b|-4=3 是关于 x,y 的二元一次
3、方程,求 a,b 的值 .a=-2,b=52类型 2 二元一次方程组的解典例 2 如果方程组 的解与方程组 的解相同,则 a,b 的x=2,ax+by=7 y=3,bx+ay=8值是 ( )A. B. C. D.a=2b=1 a= -2b=1 a=2b= -1 a= -2b= -1【解析】依题意 是方程组 的解,则 解得x=2,y=3 ax+by=7,bx+ay=8 2a+3b=7,2b+3a=8, a=2,b=1.【答案】 A【针对训练】1.方程组 的解为 则被遮盖的两个数和分别为 (C)2x+y=,x+y=3 x=2,y= ,A.1,2 B.1,3 C.1,5 D.2,42.若 是方程 2
4、mx-ny=-2 的一个解,则 3m+3n-5 的值为 (C)x= -1,y=2 A.-8 B.-4 C.-2 D.23.已知关于 x,y 的方程组 当 a=5 时,方程组的解是 当 x,y 的3x-5y=2a,x-2y=a-5. x=10,y=20;值互为相反数时, a=20; 不存在一个实数 a,使得 x=y; 若 25a-y=2-3,则 a=2.其中正确的是 .(填序号) 类型 3 解二元一次方程组典例 3 解方程组: 3(x+y)+2(x-y)=10,x+y4 +x-y2 =72. 【解析】方程组整理得 5x+y=10,3x-y=14, + ,得 8x=24,解得 x=3.把 x=3
5、代入 ,得 y=-5.则方程组的解为 x=3,y= -5.【针对训练】1.对于数对( a,b),(c,d),定义:当且仅当 a=c 且 b=d 时,( a,b)=(c,d);并定义其运算如下:(a,b)( c,d)=(ac-bd,ad+bc),如(1,2)(3,4) =(13-24,14+23)=(-5,10).若( x,y)(1, -1)=(1,3),则 xy的值是 (C)A.-1 B.0 C.1 D.22.若 2006xm+10y7-n和 -2007yn-mx3n-m是同类项,则 m2-2mn+n2= 9 . 33. 解方程组 |x+y|+|x|=4,2|x+y|+3|x|=9.解:设 |
6、x+y|=a,|x|=b,则方程组可化为 解得 a=3,b=1,a+b=4, 2a+3b=9, 即 |x+y|=3,|x|=1,由 |x|=1,得 x=1,分为两种情况:第一种情况:当 x=1 时, |1+y|=3,1+y=3,y1=2,y2=-4;第二种情况:当 x=-1 时, |-1+y|=3,-1+y=3,y3=4,y4=-2.综上,原方程组的解是 x1=1,y1=2,x2=1,y2= -4,x3= -1,y3=4, x4= -1,y4= -2.4.已知方程组 甲同学正确解得 而乙同学粗心,把 c 给看错了,解得ax+by=3,5x-cy=1, x=2,y=3,求 abc 的值 .x=3
7、,y=6,解: ax+by=3, 5x-cy=1, 将 代入方程组中的 ,解得 c=3.x=2,y=3重组关于 a,b 的二元一次方程组 2a+3b=3,3a+6b=3,解得 a=3,b=-1.故 abc=-9.类型 4 二元一次方程组的应用典例 4 已知某座桥长 1000 米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全通过共用了 1 分钟,这列火车全在桥上的时间为 40 秒 .则火车的速度和车长分别是( )A.20 米 /秒,200 米 B.30 米 /秒,300 米C.15 米 /秒,180 米 D.25 米 /秒,240 米【解析】设火车的速度为 v 米 /秒,火车长为 L 米,1
8、 分钟 =60 秒 .全通过: s1=L 桥 +L,t1=60 秒,全在桥上: s2=L 桥 -L,t2=40 秒,则 解得 即火车的长度为 200 米,60v=1000+L,40v=1000-L, v=20,L=200,速度为 20 米 /秒 .4【答案】 A【针对训练】1. 在端午节来临之际,某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子, A 型粽子 28 元 /千克, B 型粽子24 元 /千克,若 B 型粽子的重量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克,购进两种粽子共用了 2560 元,求两种型号粽子各多少千克 .解:设订购了 A 型粽子 x 千克, B 型粽子 y 千克,根据题意,得 解得
9、y=2x-20,28x+24y=2560, x=40,y=60.答:订购了 A 型粽子 40 千克, B 型粽子 60 千克 .2.某电脑公司有 A、 B、 C 三种型号的电脑,其中 A 型每台 5000 元、 B 型每台 4000 元、 C 型每台 3000 元,某中学现有资金 100000 元,计划全部用于从这家电脑公司购进 30 台两种型号的电脑,请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择,并说明理由 .解:设购买 A 型电脑 x 台, B 型电脑 y 台, C 型电脑 z 台, 若购买 A 型、 B 型,由题意得 x+y=30,5000x+4000y=100000,解得 不符合题意,舍去 .x= -20,y=50, 若购买 A 型、 C 型,由题意得 x+z=30,5000x+3000z=100000,解得 x=5,z=25. 若购买 B 型、 C 型,由题意得 y+z=30,4000y+3000z=100000,解得 y=10,z=20.故共有两种购买方案:购买 A 型电脑 5 台, C 型电脑 25 台;或购买 B 型电脑 10 台, C 型电脑20 台 .
