1、124.5 三角形的内切圆知识要点基础练知识点 1 三角形的内切圆及相关概念1.下列说法错误的是 (B)A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切B.一个圆一定有唯一一个外切三角形C.一个三角形一定有唯一一个内切圆D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆2.如图, O 与三角形各边都相切, O 是三角形的 内切圆 ,圆心 O 叫做三角形的 内心 ,ABC 叫做 O 的 外切三角形 . 3.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛 .(保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示, O 即为所求 .知识点 2 三角形的内心4.三角形的内心是 (B)2A.
2、三条垂直平分线的交点B.三条内角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点5.在 ABC 中,已知 C=90,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是 (B)A. B.132C.2 D.236.等边三角形的内切圆半径为 1,则等边三角形的周长为 6 . 3【变式拓展 1】等腰三角形的腰长为 10,底边长为 12,那么它的内切圆半径为 3 . 【变式拓展 2】已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8,则其内切圆的半径为 (C)A. B. C. D.232 32 3 3综合能力提升练7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:
3、“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 8 步,股(长直角边)长为 15 步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” (C)A.3 步 B.5 步 C.6 步 D.8 步8.如图, I 为 ABC 的内心, D 点在 BC 上,且 ID BC,若 B=44, C=56,则 AID= (A)A.174 B.176 C.178 D.18039.(河北中考)如图, I 为 ABC 的内心, AB=4,AC=3,BC=2,将 ACB 平移使其顶点与点 I 重合,则图中阴影部分的周长为 (B)A.4.5 B.4 C.3 D.210.已知 O 是 Rt ABC 的内切圆, ACB=90,AB=1
4、3,AC=12,则 ABC 的面积与 O 的面积之差等于 30-4 . 11.已知三角形的周长为 P,面积为 S,其内切圆半径为 r,则 rS 等于 2P . 12.(娄底中考)如图, P 是 ABC 的内心,连接 PA,PB,PC, PAB, PBC, PAC 的面积分别为S1,S2,S3.则 S1 ”) 13.如图,三条公路两两相交,交点分别为 A,B,C,现计划修建一个水库,要求到三条公路的距离相等,那么你能找到几个满足条件的地方?解:共四处 .其一是三角形的内角平分线的交点,其他三处是三角形的相邻两个外角平分线的交点 .14.如图,在 ABC 中, AB=AC, O 是 ABC 的内切
5、圆,它与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F.(1)求证: BE=CE;(2)若 A=90,AB=AC=2,求 O 的半径 .4解:(1)连接 OB,OC,OE. O 是 ABC 的内切圆,OB ,OC 分别平分 ABC, ACB, OBC= ABC, OCB= ACB,12 12AB=AC , ABC= ACB, OBC= OCB,OB=OC ,又 O 是 ABC 的内切圆,切点为 E,OE BC,BE=CE.(2)连接 OD,OF. O 是 ABC 的内切圆,切点为 D,E,F, ODA= OFA= A=90,又 OD=OF , 四边形 ODAF 是正方形 .设 OD=AD=AF=
6、r,则 BE=BD=CF=CE=2-r,在 ABC 中, A=90,BC= =2 ,AB2+AC2 2又 BC=BE+CE , (2-r)+(2-r)=2 ,解得 r=2- ,2 2 O 的半径是 2- .215.如图,在 ABC 中, AC=BC,E 是内心, AE 的延长线交 ABC 的外接圆于点 D.5求证:(1) BE=AE;(2) .ABAC=AEED证明:(1) E 为内心, EAB= CAB,12 EBA= CBA,又 AC=BC , CAB= CBA, EAB= EBA,AE=BE.12(2) DEB= EAB+ EBA=2 EAB= CAB, C= D, ABC EBD, .
7、又 BE=AE , .ABBE=ACED ABAC=AEED拓展探究突破练16.如图,在 ABC 中, AD 是边 BC 上的中线, BAD= CAD,CE AD,CE 交 BA 的延长线于点E,BC=8,AD=3.(1)求证: ABC 为等腰三角形;(2)求 ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离 .解:(1) CE AD, BAD= E, CAD= ACE, BAD= CAD, ACE= E,AE=AC ,BD=CD ,AB=AE ,AB=AC , ABC 为等腰三角形 .(2)如图,连接 BP,BQ,CQ.6在 Rt ABD 中, AB= =5.AD2+BD2= 32+42设 P 的半径为 R, Q 的半径为 r,在 Rt PBD 中, PD2+BD2=PB2,即( R-3)2+42=R2,解得 R= ,256PD=PA-AD= -3= ,256 76S ABQ+S BCQ+S ACQ=S ABC, r5+ r8+ r5= 38,12 12 12 12解得 r= ,43即 QD= ,43PQ=PD+QD= ,76+43=52 ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 .527
