1、1小专题(五) 垂径定理的有关计算由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来 .类型 1 平分弦(不是直径)的直径1.如图, AB 是 O 的弦, OC 为半径,与 AB 交于点 D,且 AD=BD,已知 AB=6 cm,OD=4 cm,则 DC 的长为 (D)A.5 cm B.2.5 cmC.2 cm D.1 cm2.如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,1),B(0,-1),以点 A 为圆心, AB 为半径作圆,交 x 轴于点 C,D,则 CD 的长是 2 . 33.如图,
2、 D 是 O 的弦 BC 的中点, A 是 上一点, OA 与 BC 交于点 E,已知 OA=8,BC=12.BC(1)求线段 OD 的长;(2)当 EO= BE 时,求 ODE 的面积 .2解:(1)连接 OB.2OD 过圆心,且 D 是弦 BC 的中点,OD BC,BD= BC=6.12在 Rt BOD 中, OD2+BD2=OB2,OB=OA= 8,BD=6,OD= =2 .OB2-BD2= 82-62 7(2)在 Rt EOD 中, OD2+DE2=OE2,设 BE=x,则 OE= x,DE=6-x,2 (2 )2+(6-x)2=( x)2,7 2解得 x1=-16(不合题意,舍去),
3、 x2=4,DE= 2,S ODE= DEOD= 22 =2 .12 12 7 7类型 2 弦的垂直平分线4.(南通中考)如图, AB 是 O 的直径, C 是 O 上的一点,若 BC=3,AB=5,OD BC 于点 D,则 OD的长为 2 . 5.(安顺中考)如图, AB 是 O 的直径,弦 CD AB 于点 E,若 AB=8,CD=6,求 BE 的长 .解:连接 OC. 弦 CD AB 于点 E,CD=6,3CE=ED= CD=3,12 在 Rt OEC 中, OEC=90,CE=3,OC=4,OE= ,42-32= 7BE=OB-OE= 4- .76.如图,在 O 中,弦 AB 的垂直平
4、分线交 O 于 C,D 两点, AB=8,弦 AC=5,求 O 的直径 .解: CD 垂直平分 AB,CD 是 O 的直径 .AB= 8,AE= 4.在 Rt ACE 中, AC=5,CE= =3.AC2-AE2= 52-42设 AO=r,在 Rt OAE 中, AO 2=AE2+OE2,r 2=42+(r-3)2,解得 r= .256 O 的直径为 .2537.如图,已知 AB,CD 是 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的垂直平分线, AB=6,CD=2 ,求线段5AC 的长度 .解: AB 是 O 的弦,且 AB 是 CD 的垂直平分线,4AB 是 O 的直径 .连接 OC,设 AB
5、 与 CD 的交点为 E.AB= 6,CD=2 ,5OA=OC= 3,CE= .5在 Rt OCE 中, OE= =2,OC2-CE2= 32-( 5)2AE=OA+OE= 3+2=5.在 Rt ACE 中, AC= .AE2+CE2= 52+( 5)2= 30类型 3 平分弦所对的一条弧8.如图, AB 是 O 的直径,弦 CD AB,垂足为 M,下列结论不一定成立的是 (C)A.CM=DM B.AC=ADC.AD=2BD D. BCD= BDC9.如图,在 O 中, C 是 的中点,弦 AB 与半径 OC 相交于点 D,AB=12,CD=2,求 O 的半径 .AB解:连接 AO.C 是 的
6、中点,半径 OC 与 AB 相交于点 D,ABOC AB.AB= 12,5AD=BD= 6.设 O 的半径为 r,CD= 2,DO=r- 2.在 Rt AOD 中,由勾股定理可得 AO2=OD2+AD2,即 r2=(r-2)2+62,解得 r=10, O 的半径为 10.10.如图, D 是 的中点, E 是 的中点, DE 分别交 AB,AC 于 M,N 两点 .求证: AM=AN.AB AC证明:连接 OD,OE,则 OD AB,OE AC.又 OD=OE , D= E, DMB= CNE, AMN= ANM,AM=AN.类型 4 两条平行弦的有关计算11.(孝感中考)已知 O 的半径为 10 cm,AB,CD 是 O 的两条弦, AB CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 或 14 cm. 612.如图, AB,CD 都是 O 的弦,且 AB CD,求证: .AC=BD证明:作半径 OE AB 交 O 于点 E.AB CD,OE CD, ,AE=BE,CE=DE ,即 .AE-CE=BE-DE AC=BD
