1、1专题 3 数列一、等差数列1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.2.等差数列的前 n 项和公式是什么?它具有什么特点?Sn= =na1+ d.n(a1+an)2 n(n-1)2等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,且没有常数项 .二、等比数列1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?an=a1qn-1;an=amqn-m.2.等比数列的前 n 项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q =a1-anq1-q,q 1.当 q1 时, Sn=
2、 - qn,qn的系数与常数项互为相反数 .a11-q a11-q应用等比数列前 n 项和公式时,应先讨论公式中的公比 q 是否等于 1.3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?等差数列的单调性只取决于公差 d 的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比 q 的取值,又要考虑首项 a1的正负 .4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性质?等差中项:若 a,M,b 成等差数列,则 M 为 a,b 的等差中项,且 M= .a+b2重要性质:已知数列 an是等差数列,(1)若 m,n,p,qN *,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.(2)an= S2n-1.12n-
3、1等比中项:若 a,M,b 成等比数列,则 M 为 a,b 的等比中项,且 M2=ab.重要性质:已知数列 an是等比数列,若 m,n,p,qN *,且 m+n=p+q,则 aman=ap aq.三、数列求和列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?2(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前 n 项和公式 .(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成 cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中 an与 bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列 .(3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即 an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法
4、 .形如 (其中 an是公差 d0 且各项均不canan+1为 0 的等差数列, c 为常数)的数列等 .用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项 .用裂项相消法求和时要注意所裂式与原式的等价性 .附:常见的裂项公式(其中 nN *). = - .1n(n+1)1n 1n+1 = .1n(n+k)1k(1n- 1n+k) = .1(2n-1)(2n+1)12( 12n-1- 12n+1) = - .1n+ n+1 n+1 n = .1n+ n+k1k( n+k- n)(4)错位相减法:形如 anbn(其中 an为等差数列, bn为等比数列)的数列求和,一般分三步: 巧拆分; 构差式; 求和 .用
5、错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项 .(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法 .一般步骤: 求通项公式; 定和值; 倒序相加; 求和; 回顾反思 .从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及其前 n 项和、等比数列及其前 n 项和、数列的通项、数列的前 n 项和等知识 .考查内容比较全面,解题时要注意基本运算、基本能力的运用,同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用 .一、选择题和填空题的命题特点等差(比)数列的基本运算: a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个
6、量 .已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式和前 n 项和等 .31.(2018全国 卷理 T4 改编)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和 .若 3S3=S2+S4,a1=2,则S5=( ).A.-20 B.-10 C.10 D.20解析 设数列 an的公差为 d,由题意可得 3 =2a1+d+4a1+ d,(3a1+322 d) 432解得 d=- a1.因为 a1=2,所以 d=-3,所以 S5=52+ (-3)=-20,故选 A.32 542答案 A2.(2018全国 卷理 T14 改编)记 Sn为数列 an的前 n 项和 .若 Sn=2an+1,则 a6= .解析 当 n
7、2 时, Sn-1=2an-1+1,所以 Sn-Sn-1=2(an-an-1),即 an=2an-1.又 a1=S1=2a1+1,所以 a1=-10,所以数列 an是以 -1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an=-2n-1,a6=-26-1=-32.答案 -32二、解答题的命题特点等差(比)数列的基本运算: a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量 .已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式 .已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公式 .等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前 n 项和的最值问题等 .1.(2018全国 卷文 T17 改
8、编)已知数列 an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设 bn= .ann(1)证明数列 bn是等比数列,并求 an的通项公式 .(2)求数列 an的前 n 项和 Sn.解析 (1)由已知条件可得 = ,即 bn+1=2bn.an+1n+12ann又 b1=1,所以 bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列 .所以 bn= =2n-1,所以 an=n2n-1.ann(2)由(1)可得Sn=a1+a2+an=120+221+322+n2n-1,所以 2Sn=121+222+323+n2n,两式相减得-Sn=1+21+22+23+2n-1-n2n= -n2n=2n-1-n2n,1-2n1
9、-24所以 Sn=(n-1)2n+1.2.(2018全国 卷理、文 T17 改编)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和,已知 a1=-7,a1+a2+a3=-15.(1)求 an,Sn;(2)求数列 |an|的前 n 项和 Tn.解析 (1)设数列 an的公差为 d,由题意得 解得 d=2,3a1+3d= -15,a1= -7, 所以 an=2n-9,Sn=n2-8n.(2)当 1 n4( nN *)时, an0,所以 Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.综上所
10、述, Tn=8n-n2(1 n 4),n2-8n+32(n5).3.(2018全国 卷理、文 T17 改编)在正项等比数列 an中, a1=1,a5=4a3.(1)求 an的通项公式;(2)记 Sn为 an的前 n 项和,证明: an= .1+Sn2解析 (1)设数列 an的公比为 q(q0),由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去)或 q=-2(舍去)或 q=2.故 an=2n-1.(2)因为 an=2n-1,所以 Sn= =2n-1,1-2n1-2所以 = =2n-1=an.1+Sn2 1+(2n-1)21.等差数列和等比数列的判断方法:判断等差数列和等比数列
11、,可以先计算特殊的几项,观察其特征,然后归纳出等差数列或者等比数列的结论 .证明等差数列和等比数列,应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明 .利用通项公式和前 n 项和公式只是作为判断方法,而不是证明方法 .把对数列特征的判定渗透在解题过程中,可以帮助学生拓展思维和理清思路 .52.数列通项的求法:(1)公式法: 等差数列通项公式; 等比数列通项公式 .(2)已知 Sn(即 a1+a2+an=f(n)求 an,用作差法: an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n 2,n N*).(3)已知 a1a2an=f(n)求 an,用作商法: an=f(1)(n=1),f(n)f(
12、n-1)(n 2,n N*).(4)已知 an+1-an=f(n)求 an,用累加法: an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2, nN *).(5)已知 =f(n)求 an,用累乘法: an= a1(n2, nN *).an+1an anan-1 an-1an-2 a2a1(6)已知递推关系式求 an,用构造法(构造等差、等比数列) .3.数列求和:数列求和的关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方法,若数列是等差数列或等比数列,则直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,则利用错位相减法;若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消某些项,则利用裂项相消法 .
