1、119 直线与椭圆的综合1.直线 x+4y+m=0 交椭圆 +y2=1 于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 1,则 m=( ).x216A.-2 B.-1 C.1 D.2解析 因为 x+4y+m=0,所以 y=- x- .14 m4设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减,x2116+y21=1,x2216+y22=1,得 =- =- .y1-y2x1-x2 x1+x216(y1+y2) 14因为 AB 中点的横坐标为 1,所以纵坐标为 ,将 代入直线 y=- x- ,解得 m=-2,故选 A.14 (1,14) 14 m4答案 A2.已知 F 是椭圆 + =1(ab0
2、)的左焦点,经过原点的直线 l 与椭圆 E 交于 P,Q 两点,若x2a2y2b2|PF|=2|QF|,且 PFQ=120,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 33 22解析 在 PQF 中,设 |PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为 E,由椭圆的对称性,知四边形 PFQE 是平行四边形,所以在 PEF 中,由余弦定理得 EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以 t= ,所以 e= ,故选 C.2a3 33答案 C3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线 y
3、= 与椭圆交于x2a2y2b2 b2B,C 两点,且 BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 解析 将 y= 代入椭圆的标准方程 ,b22得 + =1,所以 x= a,x2a2b24b2 32故 B ,C .(-32a,b2) (32a,b2)又因为 F(c,0),所以 = , = .BF(c+32a,-b2)CF(c- 32a,-b2)因为 BFC=90,所以 =0,BFCF所以 + =0,(c+32a)(c- 32a)(-b2)2即 c2- a2+ =0.34 b24将 b2=a2-c2代入并化简,得 a2= c2,32所以 e2= = ,c2a223所以 e= (负值舍去) .63答案 6
4、34.直线 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A,B 两点,该椭圆上有点 P,使得 PAB 的面积等于 3,则这x4y3 x216y29样的点 P 共有 个 . 解析 设 P1(4cos ,3sin ) ,即点 P1在第一象限 .设四边形 P1AOB 的(0b0)的一条弦所在的直线方程是 x-y+5=0,弦的中点坐标是 M(-4,1),则x2a2y2b2椭圆的离心率是( ).A. B. C. D.12 22 32 55解析 设直线与椭圆的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知 yM=- xM,代入点 M(-4,1),解得 = ,e= = ,故选 C.b
5、2a2 b2a214 1-b2a2 32答案 C能力 2 会用 “设而不解 ”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题4【例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M(x,y)总满足关系式 2 =|x-(x-1)2+y24|.(1)点 M 的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程 .(2)坐标原点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离为 1,直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 A,B,若 =- ,求 AOB 的面积 .OAOB32解析 (1)由 2 =|x-4|,(x-1)2+y2得 + =1,x24y23所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,它的标准方程为 + =1.x24y23(2)
6、由点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离为 1,得 d= =1,即 1+k2=m2.|m|1+k2设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y,得(3 +4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x24+y23=1,y=kx+m,= (8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得 m2b0),x2a2y2b2由椭圆的定义可得 2a= +( 3+2)2+1 ( 3-2)2+1= +8+4 3 8-4 3= +( 6+ 2)2 ( 6- 2)2=2 ,6a= .6c= 2,b 2=2. 椭圆 C 的标准方程为 + =1.x26y22(2)设直线 l 的方
7、程为 x=ky+2,代入椭圆 C 的方程并化简得( k2+3)y2+4ky-2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1y2=- .4kk2+3 2k2+3 OAB 的面积 S= |OF|y1-y2|=|y1-y2|12= = .16k2+8(k2+3)k2+3 26k2+1k2+36令 t= (t1),则 S= = ,当且仅当 t= ,即 k=1 时取等号,k2+126tt2+2 26t22t 3 2此时直线 l 的方程为 x=y+2. 圆心 O 到直线 l 的距离 d= ,又圆 O 的半径为 ,故 |DE|=2 =4.2 6 6-2能力 3 会用 “设而不解
8、”的思想求直线与椭圆中的有关几何量【例 3】 已知点 M(-4,0),椭圆 + =1(0b0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 x2a2y2b2 32相交于 A,B 两点 .若 =3 ,则 k=( ).AFFBA.1 B.2 C. D.3 2解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), =3 ,y 1=-3y2.AFFBe= ,设 a=2t,c= t,b=t,32 3x 2+4y2-4t2=0. 设直线 AB 的方程为 x=sy+ t,3代入 中消去 x,可得( s2+4)y2+2 sty-t2=0,3y 1+y2= ,y1y2=- .-23sts2+4 t2s2+4
9、由 y1=-3y2可得 -2y2= ,-3 =- ,-23sts2+4 y22 t2s2+4解得 s2= ,k= .故选 D.12 2答案 D能力 4 会用 “设而不解 ”的思想求直线与椭圆中的最值【例 4】 已知椭圆 E: + =1(ab0)经过点 P ,椭圆的一个焦点为( ,0).x2a2y2b2 (- 3,12) 3(1)求椭圆 E 的方程;(2)若直线 l 过点(0, )且与椭圆 E 交于 A,B 两点,求 |AB|的最大值 .2解析 (1)设椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1(- ,0)、 F2( ,0),则 |PF1|= ,|PF2|= .3 312 72|PF 1|+|PF2|=
10、4=2a,a= 2.又 c= ,b 2=1,3 椭圆 E 的方程为 +y2=1.x24(2)当直线 l 的斜率存在时,设 y=kx+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),28由 得(1 +4k2)x2+8 kx+4=0,x24+y2=1,y=kx+ 2 2由 0 得 4k21.x 1+x2= ,x1x2= ,-82k1+4k2 41+4k2|AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2=2 .-6(11+4k2)2+ 11+4k2+1设 t= ,则 00,得 m20,x0(3+4k2)-k整理得 0),x204k4+3k216k4+24k2+90,b0)与直线 y=1-x 交于 A,B
11、两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为( ).32 baA. B.32 233C. D.932 2327解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 a +b =1,a +b =1,x21 y21 x22 y22即 a -a =-(b -b ),x21 x22 y21 y22则 =-1,by21-by22ax21-ax22 =-1,b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2) (-1) =-1,ba 3210 = ,故选 B.ba233答案 B2.已知经过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q,则 k 的2
12、x22取值范围是( ).A.(-22,22)B. (-, -22) (22,+ )C.(- , ) 2 2D.(- ,- )( ,+ )2 2解析 由题意得,直线 l 的方程为 y=kx+ ,代入椭圆方程得 +(kx+ )2=1,整理得2x22 2x2+2 kx+1=0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 = 8k2-(12+k2) 24 =4k2-20,解得 k ,即 k 的取值范围为 .故(12+k2) 22 22 (-, - 22) (22,+ )选 B.答案 B3.经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A,B 两点 .设 O 为坐标原x
13、22点,则 等于( ).OAOBA.-3 B.-13C.- 或 -3D.13 13解析 由题意知,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45(x-1),即 y=x-1,代入椭圆方程 +y2=1 并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x= ,所以两个交点的坐标分x22 43别为(0, -1), ,所以 =- ,同理,当直线 l 经过椭圆的左焦点时,也可得 =- ,(43,13) OAOB13 OAOB13故选 B.答案 B4.若椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,过点 作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 ABx2a2y2b2 (1,12)
14、恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是( ).A. + =1 B. + =1x24y23 x23y2211C. + =1 D. + =1x25y24 x28y25解析 可设斜率存在的切线的方程为 y- =k(x-1)(k 为切线的斜率 ),即 2kx-2y-122k+1=0,由 =1,解得 k=- ,所以圆 x2+y2=1 的一条切线的方程为 3x+4y-5=0,可求得切|-2k+1|4k2+4 34点的坐标为 ,易知另一切点的坐标为(1,0),则直线 AB 的方程为 y=-2x+2.令 y=0 得右焦(35,45)点为(1,0),令 x=0 得上顶点为(0,2),故 a2=b2+c2=
15、5,所以所求椭圆的方程为 + =1,故选 C.x25y24答案 C5.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m0),若直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰x216y2m2 22好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( ).A.2 B.2 C.8 D.22 3解析 根据已知条件得 c= ,则点 在椭圆 + =1(m0)16-m2 ( 16-m2,2(16-m2)2 ) x216y2m2上, + =1,可得 m=2 ,故选 B.16-m21616-m22m2 2答案 B6.已知直线 l:y=kx+2 过椭圆 + =1(ab0)的上顶点 B 和左焦点 F,且被圆 x2+y2=4 截得
16、的x2a2y2b2弦长为 L,若 L ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( ).455A. B.(0,55) (0,255C. D.(0,355 (0,455解析 依题意,知 b=2,|kc|=2.设圆心到直线 l 的距离为 d,则 L=2 ,解4-d2455得 d2 .165又因为 d= ,所以 ,解得 k2 .因为 e2= = = ,所以 00,b0),若以 C1的长轴为直径的圆与 C2的x211 x2a2y2b2一条渐近线交于 A,B 两点,且 C1与 C2的渐近线的两个交点将线段 AB 三等分,则 C2的离心率为( ).A. B.55C. D.172147解析 设直线 AB 与椭圆在第一
17、象限内的交点为 P,A( cos , sin ),其中11 11 ,(0, 2)则 P .(113cos ,113sin )因为点 P 在椭圆上,所以 + sin2= 1,解得 sin2= ,cos2= ,所以 tan = 2,即 =2,所以 e=cos29 119 45 15 ba= ,故选 A.1+(ba)2 5答案 A8.已知椭圆 + =1(03,但12(1+k2)3+4k2 33+4k2 33+4k2当直线 AB 的斜率不存在时, |AB|=3,故 |AB|存在最小值 3,故 D 选项不对 .答案 D二、填空题1411.已知椭圆 C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点,过 F
18、 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交x2a2y2b2 2所得的弦长为 2,则椭圆 C 的方程为 . 解析 由题意得 解得c= 2,2b2a=2,a2=b2+c2, a=2,b= 2, 椭圆 C 的方程为 + =1.x24y22答案 + =1x24y2212.已知直线 MN 过椭圆 +y2=1 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点,直线 PQ 过原点 O 与 MN 平x22行,且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点,则 = . |PQ|2|MN|解析 由题意知 F(-1,0),当直线 MN 斜率不存在时, |MN|= = ,|PQ|=2b=2,则 =22b2a 2 |PQ|2|MN|.2当直线 MN
19、 斜率存在时,设直线 MN 的斜率为 k,则直线 MN 的方程为 y=k(x+1),设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 整理得(2 k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得x22+y2=1,y=k(x+1),x1+x2= ,x1x2= ,-4k22k2+1 2k2-22k2+1所以 |MN|= |x1-x2|= = .1+k2 1+k2 (x1+x2)2-4x1x222(k2+1)2k2+1易知直线 PQ 的方程为 y=kx,设 P(x3,y3),Q(x4,y4),联立 解得x22+y2=1,y=kx, x2= ,y2= ,22k2+1 2k22k2+1则 |OP|2=
20、x2+y2= ,所以 |PQ|=2|OP|,则 |PQ|2=4|OP|2= , =2 .2(k2+1)2k2+1 8(k2+1)2k2+1 |PQ|2|MN| 2答案 2 2三、解答题13.点 A 为椭圆 + =1(ab0)上的一个动点,弦 AB、 AC 分别过椭圆的左、右焦点 F1、 F2.当x2a2y2b2AC x 轴时,恰好 |AF1|=2|AF2|.(1)求该椭圆的离心率 .15(2)设 = 1 , = 2 , 1+ 2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由 .AF1 F1BAF2 F2C解析 (1)因为当 AC x 轴时,恰好 |AF1|=2|AF2|,由椭圆的定义知,2
21、 a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|= ,所以 2a- =2 ,即 = ,b2a b2a b2a b2a223故椭圆的离心率 e= = .ca 33(2)设椭圆的半焦距为 c,则 F1(-c,0),F2(c,0),椭圆方程设为 + =1,整理得 2x2+3y2-x23c2y22c26c2=0.设 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),若直线 AC 的斜率存在,则直线 AC 的方程为 y= (x-c),y0x0-c联立 消去 x,y= y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,得2( x0-c)2+3 y2+4cy0(x0-c)y-4c2 =0.y20 y20由韦
22、达定理得 y0y2= ,-4c2y202(x0-c)2+3y20y2= ,-4c2y02(x0-c)2+3y20同理 y0y1= ,y1= .-4c2y202(x0+c)2+3y20 -4c2y02(x0+c)2+3y20由 = 1 得 y0=- 1y1,AF1 F1B则 1=- = .y0y12(x0+c)2+3y204c2由 = 2 得 2=- = ,AF2 F2Cy0y22(x0-c)2+3y204c2所以 1+ 2= = = =4,2(x0-c)2+3y20+2(x0+c)2+3y204c2 2(2x20+3y20)+4c24c2 26c2+4c24c2故 1+ 2=4.若直线 AC x 轴,则 2=1, 1=3,所以 1+ 2=4.综上所述, 1+ 2=4 是定值 .
