1、1第 2 课时 利用导数研究不等式恒成立问题1.(2019 南宁二中、柳州高中联考)已知函数 f(x)=x-1-aln x(a0),axx-axx0,a0,f(x)在(0,+)上单调递增.(2)不妨设 0 0,1x11x2由(1)知 f(x1)f(x2)+ .|1x1-1x2| (1x1-1x2) 4x1 4x2设 g(x)=f(x)+ ,x(0,1,易知 g(x)在(0,1上单调递减,4xg(x)0 在(0,1上恒成立1- - = 0 在(0,1 上恒成立 ax- 在(0,1上恒成立,ax4x2x2-ax-4x2 4x易知 y=x- 在(0,1上单调递增,其最大值为-3.4xa0 时,求函数
2、 f(x)的单调递增区间;(2)对任意的 x0,+), f(x)x+1 恒成立,求实数 a 的取值范围.解析 (1)当 a0 时, f (x)=ae -x-(ax+1)e-x=ae-x ,(a-1a -x)由于 e-x0,a0,所以令 f (x)0,得 x .a-1a所以当 a0 时, f(x)的单调递增区间是 .(-,a-1a(2)令 h(x)=(ax+1)e-x-x-1,则 f(x)x+1 对于任意的 x0,+)恒成立等价于 h(x)0 在 x0,+)恒成立.(i)若 a0,则当 x0 时,ax+11,02,则 h(0)=e-0(a-1-a0)-1=a-20,h(1)=e-1(a-1-a)
3、1=-e-1-10,h(x)在(0,x 0)上为增函数,则 x(0,x 0)时,h(x)h(0)=0,所以 f(x)x+1,不符合题意.综上可得,符合题意的 a 的取值范围是(-,2.3.(2019 陕西质量检测一)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=x-1.(1)求函数 y=f(x)的图象在 x=1 处的切线方程;(2)证明:f(x)g(x);(3)若不等式 f(x)ag(x)对任意的 x(1,+)均成立,求实数 a 的取值范围.解析 (1)f (x)= ,f (1)=1.1x又 f(1)=0,切线的方程为 y-f(1)=f (1)(x-1),即所求切线的方程为 y=x-1.(2)证明
4、设 h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x+1,则 h(x)= -1,1x令 h(x)=0,得 x=1,当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+)h(x) + 0 -h(x) 单调递增 极大值 单调递减h(x)h(x) max=h(1)=0,即 f(x)g(x).(3)易知对任意的 x(1,+), f(x)0,g(x)0.(i)当 a1 时, f(x)g(x)ag(x);(ii)当 a0 时, f(x)0,ag(x)0,不满足不等式 f(x)ag(x);(iii)当 0(1)=0,不满足不等式.(1a)综上,实数 a 的取值范围是1,+).4.(2
5、019 河北“五个一名校联盟”模拟)已知 a 为实数,函数 f(x)=aln x+x2-4x.(1)若 x=3 是函数 f(x)的一个极值点,求实数 a 的值;(2)设 g(x)=(a-2)x,若存在 x0 ,使得 f(x0)g(x 0)成立,求实数 a 的取值范围.1e,e解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2x-4= .ax 2x2-4x+axx=3 是函数 f(x)的一个极值点,f (3)=0,解得 a=-6.经检验,当 a=-6 时,x=3 是函数 f(x)的一个极小值点,符合题意,故 a=-6.(2)由 f(x0)g(x 0),得(x 0-ln x0)a
6、 -2x0,x20记 F(x)=x-ln x(x0),则 F(x)= (x0),x-1x当 01 时,F(x)0,F(x)单调递增.F(x)F(1)=10,a .x20-2x0x0-lnx0记 G(x)= ,x ,x2-2xx-lnx 1e,e则 G(x)=(2x-2)(x-lnx)-(x-2)(x-1)(x-lnx)2= .(x-1)(x-2lnx+2)(x-lnx)2x ,2-2ln x=2(1-ln x)0,1e,e4x-2ln x+20,当 x 时,G(x)0,G(x)单调递增.(1e,1)G(x) min=G(1)=-1,aG(x) min=-1,故实数 a 的取值范围为-1,+).
