1、1课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2018 天津河西区质检三,5)设 m 是直线, , 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若 m ,m ,则 B.若 m ,m ,则 C.若 ,m ,则 m D.若 ,m ,则 m 2.(2018 重庆八中八模,7)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M 是线段 BC1上任意一点,则下列结论正确的是( )A.AD1 DM B.AC1 DMC.AM B1C D.A1M B1C3.(2018 福建罗源一中模拟,12)设 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 DC 上两点,且 AB=2,EF=1,给出下列
2、四个命题: 三棱锥 D1-B1EF 的体积为定值; 异面直线 D1B1与 EF 所成的角为 45;D 1B1平面 B1EF; 直线 D1B1与 AC1不垂直 .其中正确的命题为 ( )A. B. C. D.4.(2018 全国 1,文 10)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方体的体积为( )A.8 B.6 C.8 D.82 2 35.(2018 吉林四平一模,14) ABCD 是正方形, P 为平面 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,则平面 PAB,平面 PBC,平面 PCD,平面 PAD,平面 ABCD 这
3、五个平面中,互相垂直的平面有 对 . 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为棱 C1D1的中点, F 为棱 BC 的中点 .(1)求证: AE DA1;(2)在线段 AA1上求一点 G,使得 AE平面 DFG.27.如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, ADC=90,AD BC,AB AC,AB=AC=,点 E 在 AD 上,且 AE=2ED.2(1)已知点 F 在 BC 上,且 CF=2FB,求证:平面 PEF平面 PAC;(2)若 PBC 的面积是梯形 ABCD 面积的,求点 E 到平面 PBC 的距离 .综合提升组8.(2
4、018 云南昆明检测,10)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M,N 分别是 BC1,CD1的中点,则( )A.MN C1D1 B.MN BC1C.MN平面 ACD1 D.MN平面 ACC19.(2018 吉林梅河口二模,16)在四面体 ABCD 中, DA平面 ABC,AB AC,AB=4,AC=3,AD=1,E 为棱 BC上一点,且平面 ADE平面 BCD,则 DE= . 310.已知正四棱锥 P-ABCD 内接于半径为的球 O 中(且球心 O 在该棱锥内部),底面 ABCD 的边长为 ,2求点 A 到平面 PBC 的距离 .11.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,BC=
5、2AC=4,D,E 分别是 AB,BC 边的中点,沿 DE 将 BDE 折起至FDE,且 CEF=60.(1)求四棱锥 F-ADEC 的体积;(2)求证:平面 ADF平面 ACF.412.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA底面 ABCD,且 PA=2,E 是侧棱 PA 上的动点 .(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积 .(2)如果 E 是 PA 的中点,求证: PC平面 BDE.(3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD CE?证明你的结论 .56创新应用组13.如图所示,平面 ABCD平面 BCE,四边形 ABCD 为矩形, BC=CE,点
6、F 为 CE 的中点 .(1)证明: AE平面 BDF;(2)点 M 为 CD 上任意一点,在线段 AE 上是否存在点 P,使得 PM BE?若存在,确定点 P 的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由 .参考答案课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质1.B 在 A 中, m ,m ,则 与 相交或平行,故 A 错误;在 B 中, m ,m ,则由面面垂直的判定定理得 ,故 B 正确;在 C 中, ,m ,则 m 与 相交,平行或 m ,故 C 错误;在 D 中, ,m ,则 m 或 m ,故 D 错误,故选 B.2.C 由题得 B1C BC1,B1C AB,因为 AB,BC1平面 AB
7、M,且 AB BC1=B,所以 B1C平面 ABM,所以 AM B1C.故选 C.3.A 由题意得,如图所示,7 中,三棱锥的体积为 = = B1C1= EF22= ,所以体积为1-11-113 1 13 12 23定值; 中,在正方体中, EF C1D1,所以异面直线 D1B1与 EF 所成的角就是直线 D1B1与 C1D1所成的角,即 B1D1C1=45,所以这是正确的; 中,由 可知,直线 D1B1与 EF 不垂直,所以 D1B1面 B1EF 不成立,所以是错误的; B 1D1平面 AA1C1C,又 AC1平面 AA1C1C,可知 D1B1与 AC1垂直,所以不正确 .故选A.4.C 在
8、长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB平面 BCC1B1,连接 BC1,则 AC1B 为 AC1与平面 BB1C1C 所成的角, AC1B=30,所以在 Rt ABC1中, BC1= =2 ,又 BC=2,1 3所以在 Rt BCC1中, CC1= =2 ,(23)2-22 2所以该长方体体积 V=BCCC1AB=8 .25.5 因为 PA平面 ABCD,所以平面 PAD平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD.又因为 AD平面 PAB,所以平面 PAD平面 PAB,同理可得平面 PBC平面 PAB,平面 PAD平面 PCD,故互相垂直的平面有5 对 .故填 5.6.(1)证明 连接
9、AD1,BC1(图略) .由正方体的性质可知, DA1 AD1,DA1 AB,又 AB AD1=A,DA 1平面 ABC1D1.AE 平面 ABC1D1,AE DA1.(2)解 所求点 G 即为点 A1,证明如下:由(1)可知 AE DA1,取 CD 的中点 H,连接 AH,EH(图略),由 DF AH,DF EH,AH EH=H,可得 DF平面 AHE.AE 平面 AHE,DF AE.又 DF A1D=D,AE 平面 DFA1,即 AE平面 DFG.7.(1)证明 AB AC,AB=AC, ACB=45. 底面 ABCD 是直角梯形, ADC=90,AD BC,8 ACD=45,AD=CD
10、,BC= AC=2AD.2AE= 2ED,CF=2FB,AE=BF= AD,23 四边形 ABFE 是平行四边形,AB EF.又 AB AC,AC EF.PA 底面 ABCD,PA EF.PA AC=A,EF 平面 PAC.EF 平面 PEF, 平面 PEF平面 PAC.(2)解 PA 底面 ABCD,且 AB=AC,PB=PC ,取 BC 的中点 G,连接 AG,则 AG BC,AG=CD=1.设 PA=x,连接 PG,则 PG= ,2+1 PBC 的面积是梯形 ABCD 面积的 倍,43 2PG= (1+2)1,即 PG=2,求得 x= ,12 43 12 3AD BC,AD平面 PBC,
11、BC平面 PBC,AD 平面 PBC, 点 E 到平面 PBC 的距离即是点 A 到平面 PBC 的距离,V A-PBC=VP-ABC,S PBC=2S ABC, 点 E 到平面 PBC 的距离为 PA= .12 328.D 对于选项 A,因为 M,N 分别是 BC1,CD1的中点,所以点 N平面 CDD1C1,点 M平面 CDD1C1,所以直线 MN 是平面 CDD1C1的交线,又因为直线 C1D1在平面 CDD1C1内,故直线 MN 与直线 C1D1不可能平行,故选项 A 错;对于选项 B,正方体中易知 NB NC1,因为点 M 是 BC1的中点,所以直线 MN 与直线 BC1不垂直 .故
12、选项 B 不对;对于选项 C,假设 MN平面 ACD1,可得 MN CD1.因为 N 是 CD1的中点,所以 MC=MD1.这与 MC MD1矛盾 .故假设不成立 .所以选项 C 不对;对于选项 D,分别取 B1C1,C1D1的中点 P、 Q,连接 PM、 QN、 PQ.因为点M 是 BC1的中点,所以 PM CC1且 PM= CC1.同理 QN CC1且 QN= CC1.所以 PM QN 且 PM=QN,所以四边12 129形 PQNM 为平行四边形 .所以 PQ MN.在正方体中, CC1 PQ,PQ AC.因为 AC CC1=C,AC平面ACC1,CC1平面 ACC1,所以 PQ平面 A
13、CC1.因为 PQ MN,所以 MN平面 ACC1.故选 D.9. 过 A 作 AH DE,因为平面 ADE平面 BCD,且平面 ADE平面 BCD=DE,135AH 平面 BCD,AH BC,又 AD BC,BC 平面 ADE,BC AE,AE= ,AD=1,DE= .345 13510.解 如图所示,连接 AC 与 BD 交于 O,显然球心 O 在正棱锥 P-ABCD 的高 PO上,因为球 O 的半径为 ,所以 OD=OP= ,54 54又因为底面 ABCD 的边长为 ,2所以 BD= =2,OD= BD=1,2+212在 OOD 中,由勾股定理得 OO= = = ,2-2(54) 2-1
14、234所以 OP=OP+OO= + =2,5434设点 A 到平面 PBC 的距离为 h,则由 VA-PBC=VP-ABC,可得: h= ( )22,解得 h= .13 12 2 (5)2-(22) 2 13 12 2 4311.(1)解 D ,E 分别是 AB,BC 边的中点,DE AC,DE BC,DE=1.12依题意, DE EF,BE=EF=2,EF EC=E,DE 平面 CEF,DE 平面 ACED, 平面 ACED平面 CEF.作 FM EC 于 M,则 FM平面 ACED, CEF=60,FM= ,3梯形 ACED 的面积 S= (AC+ED)EC= (1+2)2=3.12 12
15、10四棱锥 F-ADEC 的体积 V= Sh= 3 = .13 13 3 3(2)证明 (法一)如图,取线段 AF,CF 的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC,NQ DE,四边形 DEQN 是平行四边形, DN EQ.EC=EF , CEF=60, CEF 是等边三角形, EQ FC,又 DE平面 CEF,DE EQ,AC EQ,FC AC=C,EQ 平面 ACF,DN 平面 ACF,又 DN平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.(法二)连接 BF,EC=EF , CEF=60, CEF 是边长为 2 等边三角形 .BE=EF , EBF= CEF=30,12 BFC=9
16、0,BF FC.DE 平面 BCF,DE AC,AC 平面 BCF.BF 平面 BCF,AC BF,又 FC AC=C,BF 平面 ACF,又 BF平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.12.(1)解 PA 底面 ABCD,PA 为此四棱锥底面上的高 .V 四棱锥 P-ABCD= S 正方形 ABCDPA= 122= .13 13 23(2)证明 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE.11 四边形 ABCD 是正方形,AO=OC.又 AE=EP,OE PC.又 PC平面 BDE,OE平面 BDE,PC 平面 BDE.(3)解 不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD CE.证
17、明如下: 四边形 ABCD 是正方形, BD AC.PA 底面 ABCD,PA BD.又 PA AC=A,BD 平面 PAC.CE 平面 PAC,BD CE.13.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OF. 四边形 ABCD 是矩形,O 为 AC 的中点 .又 F 为 EC 的中点, OF AE.又 OF平面 BDF,AE平面 BDF,AE 平面 BDF.(2)解 当点 P 为 AE 的中点时,有 PM BE,证明如下:取 BE 的中点 H,连接 DP,PH,CH.P 为 AE 的中点, H 为 BE 的中点, PH AB.又 AB CD,PH CD,12P ,H,C,D 四点共面 . 平面 ABCD平面 BCE,且平面 ABCD平面 BCE=BC,CD BC,CD平面 ABCD,CD 平面 BCE.又 BE平面 BCE,CD BE,BC=CE ,且 H 为 BE 的中点,CH BE.又 CH CD=C,且 CH,CD平面 DPHC,BE 平面 DPHC.又 PM平面 DPHC,PM BE.
