1、- 1 -四川省绵阳市 2019 届高三数学上学期第二次（1 月）诊断性考试试题 理一、选择题（60 分）1、在复平面内，复数 对应的点位于2iA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限答案：A考点：复数的运算，复数的几何意义。解析： ，对应的点为（ ）在第一象限。2i12()5iiii（ 12,52、己知集合 A=0, 1，2, 3，4，B=x 1 ，则 ABxeA、1，2，3，4 B、2，3，4 C、3，4 D、4答案：B考点：集合的运算，指数运算。解析： 1 ，所以，x10，即 x1，集合 A 中，大于 1 的有：2，3，4 ，xe故 AB2，3，4 。3.右图所示的茎叶图记
2、录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题） 已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为A、0 B、2 C、3 D、5答案：D考点：茎叶图，中位数。解析：甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35乙班成绩：30、30、30+m、35、40因为中位数相同，所以，30+m35，解得：m54、 “ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条- 2 -件答案：A考点：充分必要条件。解析： ab1 时，两直线分别为：xy+10 与直线 xy10，斜
3、率相同，所以平行；当直线 axy+10 与直线 xby10 平行时，b0 显然不符合，所以，b0，由斜率相等，得： ，显然不一定是 ab1，ab所以，必要性不成立，选 A。5设 a，b 是互相垂直的单位向量，且（ ab）（ a2b） ，则实数 的值是A、2 B、2 C、1 D、1答案：B考点：平面向量的数量积。解析：依题意，有： ab1，且 ab0，又（ ab）（ a2b） ，所以， （ ab） （ a2b）0，即a22b 2（2 1） ab0，即 20，所以， 26、执行如图的程序框图，其中输入的 ， ，则输出 a 的值为7sin67cos6A、1 B、1 C、 D、33答案：B考点：程序框
4、图，三角函数。- 3 -解析： ， ，71sinsi62a73coss62b显然 ab，所以， 137、抛物线 的焦点为 F，P 是抛物线上一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，24yx若PF ，则PQF 的面积为A、3 B、 C、 D、2363答案：D考点：抛物线的性质。解析：依题意，得 F（ ，0） ，因为PF ，由抛物线的性质可知：242PQ ，即点 P 的横坐标为 x ，代入抛物线 ，得43324yx点 P 的纵坐标的绝对值为： ，|6y所以，PQF 的面积为：S 128、已知O： 与O 1： 相交于 A、B 两点，若两圆在 A25xy22()(0)xayra点处的切线互相垂直，
5、且AB=4，则O 1的方程为A、 20 B、 50 2(4)2(4)C、 20 D、 50 5xy5xy答案：C考点：圆的标准方程。解析：依题意，得 O（0,0） ，R ，O 1（ ，0） ，半径为 r5a两圆在 A 点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，- 4 -OC 12OACOAO 1A，OO 1AB，所以，OA 2OCOO 1，即 51OO 1，所以，OO 15，rAO 1 ，2405，得 5，所以，圆 O1的方程为： 20(0)()aa2()xy9、在边长为 2 的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于 1 的概率是A、 B、 C、
6、D、3163631838答案：A考点：几何概型。解析：如下图，分别以 A，B，C 为圆心，1 为半径画弧，则图中阴影部分的任一点到三角形三个顶点的距离均大于 1，三角形的面积为： ，阴影部分面积为： ，322180336所求概率：P 31610、已知 F1，F 2是焦距为 8 的双曲线 E： 的左右焦点，点 F2关于21(0,)xyab- 5 -双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点 A，若AF 14，则此双曲线的离心率为A、 B、 C、2 D、32答案：C考点：双曲线的性质，平面几何知识，计算能力。解析：如下图，因为 A 为 F2关于渐近线的对称点，所以，B 为 AF2的中点，又 O 为 F1
7、F2的中点，所以，OB 为三角形 AF1F2的中位线，所以，OBAF 1，由 AF2OB，可得 AF2AF 1，AF2 ，点 F2（4,0） ，渐近线： ，2843byxa所以， ，解得：b2 ， 2，所以，离心率为 e 2。216a3411博览会安排了分别标有序号为“1 号” “2 号” “3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P 2，则A、P 1P2 B、P 1P 2 C、P 1+P
8、2 D、P 1P 24356答案：C考点：古典概型。解析：三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1 ；36方案二坐车可能：312、321，所以，P 1 ；2- 6 -所以，P 1+P2 5612、函数 在（一，十）上单调递增，则实数 a 的范围122()(1)xfeaxa是A. 1 B. (1，1) C. (0. 1) D. 1，1答案：A考点：函数的导数及其应用。解析： 0 恒成立，即 恒成立，1()()xfea1()xea由课本习题知： ，即 ，1xe，即 恒成立，所以， a1(1)xa()0二、填空题、 （
9、20 分）13、(2+ )(2x) 5的展开式中 x2的系数是 (用数字作答）x答案：200考点：二次项定理。解析：2 + 200x 2，所以，系数为 200235Cx1325x14、一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同） ，从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回重复 50 次这样的实验记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数为 ，则 的方差是 答案：12考点：排列组合，随机变量的方差。解析：取出 2 个红球，1 个蓝球的概率为：P ，2135C方差为：np(1-p)50 1232515若 f（x) ，则满足不等式 f(3x 一 1)
10、十 f(2)0 的 x 的取值范围是 xe答案： x 13考点：函数的奇偶性、单调性。解析：f（x) （ ）f（x)，所以，函数 f（x)在 R 上为奇函数，xe xe- 7 -0，所以，函数 f（x)在 R 上为增函数，()xfef(3x 一 1)十 f(2)0 化为 f(3x 一 1)f(2)，即 f(3x 一 1)f(2)所以，3x 一 12，解得： x 1316、已知椭圆 C： 的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若2(4)ym椭圆 C 上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的最大值是 答案：25考点：椭圆的定义及性质。解析：由椭圆方程，得：c 2，(4)m所以，
11、椭圆的左焦点为 E（2,0） ，点 A 在点 E 正上方，所以，AE2由椭圆的定义，得：2 PEPFPAAEPF10，a即 5，所以，m 225a当 P、A、E 在一条直线上，且 PE 垂直 x 轴时，取等号，所以，m 的最大值是 25三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22. 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）设数列 的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4 4， nana*N（1)求数列 的通项公式；(2）令 ，求数列 的前 n 项和 Tn.21loglnnb
12、aAnb- 8 -18.（12 分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为ybxa19.（12 分） ABC 的内角 A. B. C 的对边分别为 a，b，
13、c，己知b（c asinC） 。3ABC（1)求角 A 的大小；(2）设 b=c，N 是ABC 所在平面上一点，且与 A 点分别位于直线BC 的两侧，如图，若 BN=4，CN=2，求四边形 ABNC 面积的最大值- 9 -20.（12 分）己知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1，F 2，直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，2184xyB 两点O 为坐标原点（1）若直线 l 过点 F1，且AF 2十BF 2 ，求直线 l 的方程；63(2)若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足 OPAB，求点 P 的轨迹方程21 （12 分）己知函数 .21()ln,fxmx
14、R（1)若 f（x）有两个极值点，求实数 m 的取值范围：(2)若函数 有且只有三个不同的零点，分别记为2()llngexx1，x 2，x 3，设 x1x 2x 3，且 的最大值是 e2，求 x1x3的最大值1（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22, 23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是 （ 为参数） 以坐标原23cosinxy点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：(cosin)t（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 与直线
15、 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知()6R- 10 -OMOPOQ）10，求 t 的值。23、 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数 ()|,fxmR（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证： ()t()ftm绵阳市高中 2016 级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分ABDAB BDCAC CA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13200 1412 15 x 131625 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（
16、1） 3 Sn=4an-4， 当 n2 时， 2 分134由 得 ，即 (n2) 3 分nn14na当 n=1 时，得 ，即 1a1 数列 an是首项为 4，公比为 4 的等比数列5 分 数列 an的通项公式为 6 分n（2） =221loglnnba 122log4lnn= 8 分()()- 11 - 数列 bn的前 n 项和 123nnTbb11()()()4234 12 分14(1)n18解：（1） ，109.50x 78679805y2 分 51()(10)(1)678)(9.510)(78)iiix.579=5， 4 分，52222221()(01)(90)(.1)(0.51)(0)
17、.5iix 7 分5215.()iiiiiybx 8 分780ay y 关于 x 的线性回归方程为 9 分258yx（2）当 x=8 时， 274满足|74-73|=10()lnfm由题知 =0 有两个不等的实数根， ()lfxx即 有两个不等的实数根 2 分lnm令 ，则 l()xh21ln()xh由 0，解得 ，故 在(0，e)上单调递增；0e()由 e，故 在(e，+)上单调递减；()x故 在 x=e 处取得极大值 ，且 ，h1e0)(h结合图形可得 .0m当函数 f(x)有两个极值点时，实数 m 的取值范围是(0， ) 5 分e1（2）因为 g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex
18、=(x-e)(lnx-mx)，- 14 -显然 x=e 是其零点由（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别在(0，e)，(e，+)上， g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e， x3，且 0e 6 分令 ，则 t 31t2(e，则由 解得 31lnxtm， ， 13lnl.txt，故 ， t 8 分1313(1)lnln()ltxx2(e，令 ，则 ()lt2l()1)tt令 ，则 1()2lntt 0)1()( 222 tttt所以 在区间 上单调递增，即 11 分2(e， ()所以 ，即 在区间 上单调递增，()0t)t2(1e，即 = ，2e(所以 ，即 x1x3 .12()ln()x
19、2(e1)所以 x1x3的最大值为 12 分2(e)122解：（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 ，2()9xy即 2 分2450y ， ，cosxsin故曲线 C 的极坐标方程为 4 分24cos50（2）将 代入 中，得 ，则 6(csi)t312t(31)t | OM|= 6 分t)13(将 代入 中，得 624cos502350设点 P 的极径为 ，点 Q 的极径为 ，则 8 分1212- 15 -所以| OP| |OQ|=5 9 分又| OM| |OP| |OQ|=10，则 5 =10t)13( t= 或 10 分3123解：（1）由 m=1，则 |x-1|，即求不等式| x-3|+|2x-1|4 的解集()f当 x3 时，| x-3|+|2x-1|=3x-44 恒成立；当 时， x+24，解得 x2，综合得 ； 3 分3223当 x 时，4-3 x4，解得 x25 分（2）证明： t0， ()tfxmtm7 分tx ()()t= = tf所以 10 分()ftx()fm
