1、- 1 -黑龙江省大庆第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是 ，记事件 A 为“向上的点数是奇数”，事件 B 为“向上的点数不超过 3”，则概率 （ ）A. B. C. D. 2. 总体由编号为 01，02，03， ，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表 以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行 选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第10 列数字开始由左向右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为（ ）78 16
2、65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 A. 05 B. 09 C. 07 D. 203. 已知空间中三点 A（0，1，0）， B（2，2，0）， C（1， 3，1），则（ ）A. 与 是共线向量 B. 的单位向量是 1，C. 与 夹角的余弦值是 D. 平面 ABC 的一个法向量是4. 用秦九韶算法计算多项式 f（ x）=3 x4+5x3+6x2+79x-8 在 x=-4 时的值， V2的值为（ ）A. B. 220 C. D. 345. 在一次数学竞赛中，高一1 班
3、 30 名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为 1-30 号，再用系统抽样的方法从中抽取 6 人，则其中成绩在区间73，90上的学生人数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6- 2 -6. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 7. 在正方体 中， O 是底面 ABCD 的中心， M、 N 分别是棱、 的中点，则直线 （ ）A. 和 AC、 MN 都垂直 B. 垂直于 AC，但不垂直于MNC. 垂直于 MN，但不垂直于
4、AC D. 与 AC、 MN 都不垂直8. 下列有关命题的说法错误的是（ ）A. 若“ ”为假命题，则 p， q 均为假命题B. “ ”是“ ”的充分不必要条件C. “ ”的必要不充分条件是“ ”D. 若命题 p： ， ，则命题 ： ，9. 如图，过抛物线 x2=4y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x2+（ y-1） 2=1于点 A、 B、 C、 D，则| AB|CD|的值是（ ）A. 8B. 4C. 2D. 110. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和B. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和- 3
5、 -C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和D. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和11. 如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABC平面 BCD， BAC与 BCD 均为等腰直角三角形，且 BAC= BCD=90，BC=2，点 P 是线段 AB 上的动点，若线段 CD 上存在点Q，使得异面直线 PQ 与 AC 成 30的角，则线段 PA 长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 如图， 是椭圆 与双曲线的公共焦点，将 的离心率分别记为 ，点 是 在第一象限的公共点，若 的一条渐近线是线段 的中垂线，则 （ ）A. 2 B. C. D. 4二
6、、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9 表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果经随机模拟产生了 20 组随机数：- 4 -9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989 据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中
7、的概率为_ 14. 已知椭圆 的左右焦点为 ， ，离心率为 ，若 为椭圆 上一点，且 ，则 的面积等于_15. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M、 N 分别是 A1B1、 CD 的中点，则点 B 到截面AMC1N 的距离为_.16. 以下五个关于圆锥曲线的命题中：平面内与定点 A（-3，0）和 B（3，0）的距离之差等于 4 的点的轨迹为 ；点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M 点 A 的坐标是 A（3，6），则| PA|+|PM|的最小值是 6；平面内到两定点距离之比等于常数 （0）的点的轨迹是圆；若过点 C（1，1）的直线 l
8、交椭圆 于不同的两点 A， B，且 C 是 AB 的中点，则直线 l 的方程是 3x+4y-7=0已知 P 为抛物线 上一个动点， Q 为圆 上一个动点，那么点 P 到点 Q的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是其中真命题的序号是_ （写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图- 5 -（）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀
9、学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率18. 移动公司为提升其文化品牌，特地从国外进口了某种音响设备，该设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据如下表：xi 1 2 3 4 5yi 11 13 14 15 17()求所支出的维修费 y 对使用年限的线性回归方程 ；()当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少？(附：在线性回归方程中， ；其中 ， 为样本平均值)- 6 -19. 已知动圆在运动过程中，其圆心 M 到点（0，1）与到直线 y=-1 的距离始终保持相等（1）求圆心 M 的轨迹方程；（2）若直线 与点 M
10、的轨迹交于 A、 B 两点，且| AB|=8，求 k 的值20. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， ABC 和 AA1C 均是边长为 2 的等边三角形，点 O 为 AC中点，平面 AA1C1C平面 ABC（1）证明： A1O平面 ABC；（2）求直线 AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值21. 如图所示，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形， ， ，点 E 为 AD 的中点， ， 平面 ABCD，且 - 7 -求证： ；线段 PC 上是否存在一点 F，使二面角 的余弦值是 ？若存在，请找出点 F的位置；若不存在，请说明理由- 8 -22. 设椭圆 的离心率为 ，左顶点到直线 x+
11、2y-2=0 的距离为 （）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，试探究：点 O 到直线 AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（）在（）的条件下，试求 AOB 面积 S 的最小值- 9 -答案和解析一、选择题1.【答案】 B 2.【答案】 C 3.【答案】 D 4.【答案】 D 5.【答案】 A6.【答案】 B 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 D 10.【答案】 C11.【答案】 B 12.【答案】 A二、填空题13.【答案】0.35 14.【答案】4 15.【答案】 16.【
12、答案】三、解答题17.【答案】解：（）由题意可得，男生优秀人数为 100（0.01+0.02）10=30 人，女生优秀人数为 100（0.015+0.03）10=45 人（）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，所以样本中包含男生人数为 人，女生人数为 人，设两名男生为 A1， A2，三名女生为 B1， B2， B3，则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：A1， A2， A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1，A2， B2， A2， B3， B1， B2， B1， B3， B2， B3共 10 个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记
13、事件 C：“选取的 2 人中至少有一名男生”，则事件 C 包含的基本事件有：A1， A2， A1， B1， A1， B2， A1， B3，A2， B1， A2， B2， A2， B3共 7 个，所以 ，即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 18.【答案】解：（）经计算 ，- 10 -又 ，故线性回归方程为 （）当使用年限为 年时，支出的维修费估计为 万元19.【答案】解：（1）圆心 M 到点（0，1）与到直线 y=-1 的距离始终保持相等，圆心 M 的轨迹为抛物线，且 ，解得 p=2，圆心 M 的轨迹方程为 x2=4y；（2）联立 消去 y 并整理，得 x2-4kx+8=0，设 A（ x1
14、， y1）、 B（ x2， y2），则 x1+x2=4k， x1x2=8，解得 ，结合已知得 20. 【答案】（1）证明： AA1=A1C，且 O 为 AC 的中点， A1O AC，又平面 AA1C1C平面 ABC，且交线为 AC，又 A1O平面 AA1C1C， A1O平面 ABC；（2）解：如图，以 O 为原点， OB， OC， OA1为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系由已知可得 O（0，0，0） A（0，-1，0），平面 A1BC1的法向量为 ，则有 ，所以 的一组解为 ，设直线 AB 与平面 A1BC1所成角为 ，则 sin=- 11 -又 = = = ， 所以直线 AB 与平面
15、 A1BC1所成角的正弦值： 21.【答案】证明： ， ， ，E 为 AD 的中点， ， ， ， 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，又 ，且 PH， 平面 PEC， 平面 PEC，又 平面 PEC， 解： 由 可知 ，由题意得 ， ， ， ， ， ，、 EC、 BD 两两垂直，建立以 H 为坐标原点， HB、 HC、 HP 所在直线分别为 x， y， z 轴的坐标系，0， ， 0， ， 4， ， 0， ， 0， ，假设线段 PC 上存在一点 F 满足题意，与 共线，存在唯一实数 ， ，满足 ，解得 ，设向量 y， 为平面 CPD 的一个法向量，且 ， ，取 ，得 ，- 12 -同理得平面
16、CPD 的一个法向量 ，二面角 的余弦值是 ，|cos |= = = ，由 ，解得 ，22.【答案】解：（）由已知， ）因为 故所求椭圆的方程为 ;（）法一：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），当直线 l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知 x1=x2， y1=-y2，因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，故 ，即又因为点 A（ x1， y1）在椭圆上，故 ，解得 ，此时点 O 到直线 AB 的距离为当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 l： y=kx+m联立 得：（1+4 k2） x2+8kmx+4m2-4=0所以 ，由已知，以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，则 ，且故化简
17、得 5m2=4（1+ k2），故点 O 到直线 AB 的距离为 综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值法二：（若设直线方程为 l： x=my+c，也要对直线斜率为 0 进行讨论）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），当直线 l 的斜率为 0 时，由椭圆对称性知 x1=-x2， y1=y2，因为以 AB 为直径的圆经过坐标- 13 -原点 O，故 ，即又因为点 A（ x1， y1）在椭圆上，故 ，解得 ，此时点 O 到直线 AB 的距离为当直线 l 的斜率不为 0，或斜率不存在时，设其方程为 l： x=my+c联立 得：（ m2+4） y2+2cmy+c2-4=0所以 ，故 ，即
18、,所以 ,所以 ,化简得 5c2=4（1+ m2），故点 O 到直线 AB 的距离为综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值（）法一：当直线 OA、直线 OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为 0 时，易知 S=1;当直线 OA、直线 OB 斜率存在且不为 0 时，设直线 OA 的斜率为 k，则直线 OB 的斜率为 ，由 得 ，同理 故令 1+k2=t（ t1），则故 综上， AOB 面积 S 的最小值为 法二：由（），当直线 l 的斜率不存在时， ，- 14 -当直线 l 的斜率存在时，5 m2=4（1+ k2），且点 O 到直线 AB 的距离为 ，=故 ，令 1+4k2=t（ t1），则 ，因为 ，故 综上， AOB 面积 S 的最小值为
