1、1第 8讲 指数与指数函数1.根式概念如果 xn=a,那么 x叫作 a的 ,其中 n1,nN *当 n是 时, a的 n次方根为 x= na当 n是 时,正数 a的 n次方根为 x= ,na负数的偶次方根 n次方根性质0的任何次方根都是 0,记作 =0n0概念式子 叫作 ,其中 n叫作 ,a叫作 na当 n为奇数时, = nan根式性质当 n为偶数时, =|a|= nan2.有理数指数幂(1)幂的有关概念 正数的正分数指数幂: = (a0,m,nN *,且 n1).amnnam 正数的负分数指数幂: = = (a0,m,nN *,且 n1).a-mn1amn 1nam 0的正分数指数幂等于 ,
2、0的负分数指数幂 . (2)有理数指数幂的性质a ras= (a0,r,sQ); (ar)s= (a0,r,sQ); (ab)r= (a0,b0,rQ) . 3.指数函数的图像与性质2y=ax(a0且 a1)a1 00时, ; 当 x0时, ; 当 x0且 a1)的图像恒过定点(0,1 +b).2.指数函数 y=ax(a0且 a1)的图像以 x轴为渐近线 . 题组一 常识题1.教材改编 若 x+x-1=3,则 x2-x-2= . 2.教材改编 已知 2x-10且 a1)的图像恒过定点 . 4.教材改编 下列所给函数中值域为(0, + )的是 . y=- 5x;y= ;y= ;y= .(13)1
3、-x (12)x-1 1-2x题组二 常错题索引:忽略 n的范围导致式子 (aR)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指nan数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错 .5.计算 + = . 3(1+ 2)34(1- 2)46.若函数 f(x)=(a2-3)ax为指数函数,则 a= . 37.若函数 f(x)=ax在 -1,1上的最大值为 2,则 a= . 8.函数 y= 的值域为 . 21x-1探究点一 指数幂的化简与求值例 1 (1)计算: - + +(-2)6 = . 823(-78)04(3- )4 12(2)已知 + = ,则 的值为 . x12
4、x-12 5 x2+x-2-6x+x-1-5总结反思 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算 .(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数 .(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数 .(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数 .变式题 (1)计算:2 = ( )x-13(12x13+x43)A.3 B.2C.2+x D.1+2x(2)已知 a,b是方程 x2-6x+4=0的两根,且 ab0,则 = . a- ba+ b探究点二 指数函数的图像及应用例 2 (1)
5、函数 y= (a1)的图像大致是 ( )xax|x|A B C D图 2-8-14(2)2018辽阳一模 设函数 f(x)= 若互不相等的实数 a,b,c满足 f(a)|2x-1|,x 2,-x+5,x2,=f(b)=f(c),则 2a+2b+2c的取值范围是 ( )A.(16,32) B.(18,34)C.(17,35) D.(6,7)总结反思 (1)研究指数函数 y=ax(a0,a1)的图像要抓住三个特殊点:(1, a),(0,1),.(-1,1a)(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像 .(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往
6、往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解 .变式题 (1)已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(ab)的图像如图 2-8-2所示,则函数 g(x)=ax+b的图像大致是( )图 2-8-2A B C D图 2-8-3(2)函数 f(x)=|ax+b|(a0,a1, bR)的图像如图 2-8-4所示,则 a+b的取值范围是 .图 2-8-45探究点三 利用指数函数的性质解决有关问题微点 1 比较指数式的大小例 3 (1)2018凯里一中二模 已知 a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则 a,b,c的大小关系是 ( )A.c(1-a)b)1bB.(1-a)b(1-a)b2C
7、.(1+a)a(1+b)bD.(1-a)a(1-b)b总结反思 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1, + ),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较 .微点 2 解简单的指数方程或不等式例 4 (1)已知函数 f(x)=a+ 的图像过点 1,- ,若 - f(x)0,则实数 x的取值范围是 14x+1 310 16. (2)方程 4x+|1-2x|=11的解为 . 总结反思 (1) af(x)=ag(x)f(x)=g(x).(2)af(x)ag(x),当 a1时,等价于 f(x)g(x);当0bcB.acbC.
8、cabD.bca2.【微点 1】2018河南八市联考 设函数 f(x)=x2-a与 g(x)=ax(a1且 a2)在区间(0,+ )上具有不同的单调性,则 M=(a-1)0.2与 N= 的大小关系是( )(1a)0.1A.M=N B.M NC.MN3.【微点 2】当 x( - ,-1时,不等式( m2-m)4x-2x0且 a1)有两个不等实根,则 a的取值范围是( )A.(0,1)(1, + )7B.(0,1)C.(1,+ )D.(0,12)5.【微点 3】已知函数 f(x)=bax(其中 a,b为常数,且 a0,a1)的图像经过点 A(1,6),B(3,24).若不等式 + -m0, x(
9、- ,1恒成立,则实数 m的取值范围为 . (1a)x(1b)x第 8讲 指数与指数函数考试说明 1 .理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算 .2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景 .(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,3,10, , 的指数函数的图像 .1213(3)知道指数函数是一类重要的函数模型 .【课前双基巩固】知识聚焦1.n次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a a(a 0),-a(a1 01 增函数 减函数对点演练81.3 解析 把 x+x-1=3两边平方,可得 x2+x-2=
10、7,则( x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以 x-x-51= ,所以 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=3 .5 52.(- ,2) 解析 根据指数函数性质,得 x-10,a 1, 7.2或 解析 若 a1,则 f(x)max=f(1)=a=2;若 00且 y1 解析 函数的定义域为 x|x1,因为 0,所以 y1,又指数函数1x-1y=2x的值域为(0, + ),故所求函数的值域为 y|y0且 y1 .【课堂考点探究】例 1 思路点拨 (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得 x+x-1的值,再平方可得 x2+x-2的值,最后代
11、入求值 .(1) +8 (2)- 解析 (1) - + +(-2)6 = -1+( -3)12 823(-78)04(3- )4 122323+ =22-1+ -3+23=4+ -4+8= +8.2612(2)由已知可得 x+x-1=( + )2-2=3,x12x12则 x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,故原式 = =- .7-63-5 12变式题 (1)D (2) 解析 (1)原式 =2 +2 =1+2x.55 x13 12x13 x13 x43(2)由已知得, a+b=6,ab=4,所以 = = = .(a- ba+ b)2a+b-2aba+b+2ab6-246+2415因为 ab0
12、,所以 ,所以 = .a ba- ba+ b 55例 2 思路点拨 (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知 2a+2b=2,再分析 2c的范围求解 .9(1)B (2)B 解析 (1)由题意得 y= =xax|x|ax,x0,-ax,x 1, 当 x0时,函数为增函数;当 x1,f =0,b1- =0.a a 1例 3 思路点拨 (1)将 a,b化为同底的指数式,利用指数函数 y=2x的单调性比较 a,b的大小,再估算 c,从而得 a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于 1时单调递增,当底数大于 0小于 1时单调递减,对选项逐一验
13、证即可得到正确答案 .(1)A (2)D 解析 (1)因为 a=0.5-2.1=22.120.51,所以 ab1,又因为 c=0.22.1bc,故选 A.(2)因为 0b,b ,1b b2所以(1 -a (1-a)b(1-b)b,所以(1 -a)a(1-b)b,所以 D正确 .故选 D.例 4 思路点拨 (1)先确定 a的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程 .10(1)0 x (2)x=log23 解析 (1)由题意知 f(1)=a+ =a+ =- ,则 a=- .因为 - f(x)12 14+1 15 310 12 160,所以 - - 0,所以 ,
14、所以 24 x+13,所以 14 x2,解得 0 x .16 14x+112 13 14x+1 12 12(2)当 x0 时,1 -2x0,原方程即为 4x-2x-10=0,可得 2x= + ,此时 x0,故舍去 .12 412当 x0时,1 -2xg(x)的形式,从而转化为考查函数 g(x)的最小值问题 .(1)A (2)b2 解析 (1)函数 f(x)为奇函数,则 f(0)=a+ =0,b2函数图像过点 ,则 f(ln 3)=a+ = .(ln3,12) b412结合 可得 a=1,b=-2,则 f(x)=1- .因为 ex0,所以 ex+11,所以 0(2x)2+2x+1-1在0,1内有
15、解 .设 g(x)=(2x)2+2x+1-1,x0,1,而函数y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以 g(x)=(2x)2+2x+1-1在0,1上单调递增,所以 g(x)min=g(0)=2,所以 b2.应用演练1.A 解析 因为函数 f(x)=0.4x在 R上为减函数,所以 0.40.620=1,所以 20.20.40.20.40.6,即 abc.故选 A.2.D 解析 因为 f(x)=x2-a与 g(x)=ax(a1且 a2)在区间(0, + )上具有不同的单调性,所以 a2,所以 M=(a-1)0.21,N= N,故选 D.(1a)0.13.A 解析 由题意知当 x( - ,-
16、1时, m2-m0且 a1)有两个不等实根可转化为函数 y=|ax-1|与 y=2a的图像有两个不同交点 . 当 01时,两函数图像如图 ,而 y=2a1,不符合题意 . 故 00且 a1,解得 a=2,b=3,所以 f(x)=32x.要使 + m,x( - ,1恒成立,只需函数 y= + 在( - ,1上的最小值不小于 m(12)x(13)x (12)x(13)x即可 .因为函数 y= + 在( - ,1上为减函数,(12)x(13)x所以当 x=1时, y= + 取得最小值 ,(12)x(13)x 56所以只需 m 即可,56即 m的取值范围为 .(-,56【备选理由】 例 1为指数幂的运
17、算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例 2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例 3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例 4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解 .12例 1 配合例 1使用 已知 =2+ ,则 的值为 . a23 3 a+a-1a13+a13答案 3解析 设 =t,则 t2=2+ ,则 = =t2+ -1=2+ + -1=3.a13 3 a+a-1a13+a13t3+1t3t+1t 1t2 3 12+ 3例 2 配合例 4使用 2018河南林州一中调研 已知函数 f(x)= 则不等
18、2x-1,x1,1,x 1, 式 f(x)0在 x( - ,1时恒成立,则实数 a的取值范围是 . 答案 (-34,+ )解析 从已知不等式中分离出实数 a,得 a- .(14)x+(12)x 函数 y= 和 y= 在 R上都是减函数, 当 x( - ,1时, , ,(14)x (12)x (14)x 14(12)x 12 + + = ,从而得 - - .(14)x(12)x 141234 (14)x+(12)x 34故实数 a的取值范围为 a- .34例 4 配合例 5使用 已知定义在 R上的函数 f(x)=2x- .12x(1)若 f(x)= ,求 x的值;32(2)若 2tf(2t)+mf(t)0 对任意 t1,2恒成立,求实数 m的取值范围 .解:(1)由 f(x)= 2x- = 2(2x)2-32x-2=0(2x-2)(22x+1)=0. 2x0, 2x=2,x= 1.32 12x32(2)由 2tf(2t)+mf(t)02 t +m 0 m(2t-2-t) -2t(22t-2-2t).(22t- 122t) (2t-12t)又 t1,2, 2t-2-t0,m -2t(2t+2-t),即 m -22t-1,故只需 m( -22t-1)max.令 y=-22t-1,t1,2,可得 ymax=-22-1=-5,13故 m -5.
