1、2019,专题 1,函数与导数,01,目录,微专题01 函数的基本性质与基本初等函数,微专题02 函数的图象与函数的应用,微专题03 导数及其应用,微专题04 函数与导数的综合应用,点击出答案,1.函数的三要素是什么? 定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.,2.求函数的定义域应注意什么? 求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域,是指满足ag(x)b的x的取值范围
2、,而已知f(g(x)的定义域是a,b,指的是xa,b.,3.判断函数的单调性有哪些方法? 单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;图象法;复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;导数法.,4.函数的奇偶性有什么特征? 奇偶性的特征及常用结论:若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称.奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.若f(x+a)
3、为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.,5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些? 指数函数与对数函数的图象和性质:,6.函数图象的推导应注意哪些? 探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法: (1)知图选式:从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;从图象的变化趋势,观察函数的单调性;从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;从图象的循环往复,观察函数的周期性. (2)知式选图:从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;从函数的单调性,判断图象的变化趋势;从函数的奇偶性,判断图象的对称性;从函
4、数的周期性,判断图象的循环往复.,7.确定函数零点的常用方法有哪些? 函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f(x)在a,b上是连续的,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用? 在某个区间(a,b)内,如
5、果f(x)0(f(x)0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减). 利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:y=f(x)在(a,b)上单调,则(a,b)是相应单调区间的子集.若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0.,2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值? 当f(x0)=0时,若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. 将函数y=f(x)在a,b上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,3.利用导
6、数可以解决哪些不等式问题? (1)利用导数证明不等式: 证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI); xI,使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI); 对x1,x2I,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min; 对x1I,x2I,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.,函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在
7、高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查. 一、选择题和填空题的命题特点 (一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.,命题特点,1.(2018全国卷理T3改编)函数f(x)= 5 5 2 的图象大致为( ).,B,答案,解析,解析 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)= 5 5 2 =-f(x),f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x0时,5x15-x,f(x)0,排除D;f(2)1,排除C.故选B.,2.(2017全国卷理T8改编)函数y= sin2
8、1+cos 的部分图象大致为( ).,A,答案,解析,解析 因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.,(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等. 3.(2018年全国卷理T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=( ). A.-2018 B.0 C.2 D.50,C,答案,解析,解析 f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x), f(1-x)=f(1+x)=-f
9、(x-1),f(0)=0, f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即函数f(x)是周期为4的周期函数. f(1)=2, f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.,(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.4.(2018全国卷文T16改编)已知函数f(x)=log
10、2( 1+ 2 -x)+2,f(a)=3,则f(-a)= .,1,答案,解析,解析 因为f(x)=log2( 1+ 2 -x)+2, 所以f(x)+f(-x)=log2( 1+ 2 -x)+2+log2 1+( ) 2 -(-x)+2=log2(1+x2-x2)+4=4. 因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.,5.(2018全国卷文T13改编)已知函数f(x)= log3(x2+a),若f(2)=1,则a= .,-1,答案,解析,解析 f(2)=1, log3(4+a) =1,4+a=3,a=-1.,6.(2017全国卷文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调
11、递减区间是( ). A.(-1,1 B.1,3) C.(-,1 D.1,+),B,答案,解析,解析 令t=-x2+2x+3,由t0,求得-1x3, 故函数的定义域为(-1,3),且y=ln t, 故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间. 利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为1,3),故选B.,(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大. 7.(2017全国卷理T11改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则 a=( ). A.4 B.3 C.2 D.-
12、2,C,答案,解析,解析 函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解, 等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点. 当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾; 当a0时,由于y=4x-x2在(-,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在 (-,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2
13、,符合条件.故选C.,(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小. 8.(2018全国卷理T5改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为 .,y=-x,答案,解析,解析 因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f(x)=3x2-1,所以f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.,二、解答题的命题特点 在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.
14、试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等. 1.(2018全国卷文T21改编)已知函数f(x)=aex+lnx+1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a- 1 e 时,f(x)0.,(1)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,答案,解析,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=eax+ 1 . 由题设知,f(2)=0,所以a=- 1 2 e 2 . 从而f(x)=- 1 2 e 2 ex+lnx+1, 则f(x)=- 1 2 e 2 ex+ 1 . 当
15、00;当x2时,f(x)0;当x1时,g(x)0时,g(x)g(1)=0.因此,当a- 1 e 时,f(x)0.,2.(2017全国卷文T21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a0. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围.,答案,解析,解析 (1)f(x)=e22x-eax-a2=(e2x+a)e(x-a). 若a=0,则f(x)=e2x,其在R上单调递增. 若a0. 故f(x)在 ,ln 2 上单调递减,在 ln 2 ,+ 上单调递增. (2)当a=0时,f(x)=e2x0恒成立. 若a0,则由(1)得,当x=ln 2 时,f(x)取得最小
16、值,最小值为f ln 2 =a2 3 4 ln 2 , 故当且仅当a2 3 4 ln 2 0,即a-2 e 3 4 时,f(x)0. 综上,a的取值范围是-2 e 3 4 ,0.,1.识别函数图象的常用方法:(1)直接法:直接求出函数的解析式并画出其图象.(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:(1)单调性与奇偶性结合.
17、解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,规律方法,3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:(1)函数零点值大致所在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型
18、不同的方程多以数形结合法求解. 4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的坐标. 5.利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x)0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f(x)=0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,
19、则转化为已知方程f(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,1.函数f(x)= 3 2 1 +lg(3x+1)的定义域是( ). A. 1 3 ,1 B. 1 3 ,+ C. 1 3 , 1 3 D. , 1 3,A,答案,解析,微专题 01 函数的基本性质与基本初等函数数,返,解析 若函数f(x)有意义, 则 3+10, 10, 所以- 1 3 x1, 故函数f(x)的定义域为 1 3 ,1 .故选A.,2.若函数f(x)= e 1 ,x1, 5 2
20、,x1, 则f(f(2)=( ). A.1 B.4 C.0 D.5-e2,A,答案,解析,解析 由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,所以f(f(2)=1.故选A.,3.已知定义在R上的函数f(x)=2-|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a、b、c的大小关 系是( ). A.abc B.cba C.acb D.bac,D,答案,解析,解析 易知f(x)=2-|x|是偶函数,且在0,+)上单调递减, 又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23), 而log25log230, f(log25)f(log23)f(0), 即bac
21、.故选D.,4.设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x+3)=- 1 () ,且当x-3,-2时,f(x)=4x,则f(2018)= .,-8,答案,解析,解析 由条件可得f(x+6)=f(x), 所以函数f(x)的周期为6, 所以f(2018)=f(6336+2)=f(2)=f(-2)=-8.,【例1】 (1)函数y= lg(1 2 ) 2 2 3x2 的定义域为( ). A.(-,1 B.-1,1 C. 1, 1 2 1 2 ,1 D. 1, 1 2 1 2 ,1 (2)设函数f(x)= 2 +x2,x1, lg,1, 则f(f(-4)= .,答案,解析,典型例题,解析 (1)由题意知 1
22、 2 0, 2 2 3x20, 即 11, 2且 1 2 . 所以函数的定义域为 1, 1 2 1 2 ,1 . (2)f(f(-4)=f(16-4-2)=f(10)=-1.,(1)函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,求函数定义域只需构建不等式(组)求解即可;(2)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值;(3)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.,方法归纳,1.函数y=lg
23、(x-3)+ 1 4 的定义域为 .,(3,4),答案,解析,变式训练,解析 由题意知 30, 40, 解得3x4, 函数的定义域为(3,4).,2.已知函数f(x)= 2 +1,x1, lo g 2 (x1),x1, 则f(f(2)= .,2,答案,解析,解析 f(2)log=2(2-1)=0, f(f(2)=f(0)=20+1=2.,3.已知函数f(x)= 3 +1,x1, 2 x,x1, 若f(f(0)=2,则实数a的值为 .,1,答案,解析,解析 f(0)=30+1=2,f(2)=4a-2,由4a-2=2得a=1.,【例2】 (1)若函数f(x)= (2)1,1, lo g x,x1
24、在R上单调递增,则a的取值范围为( ).A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3 D.(2,+) (2)已知函数f(x)= 3 ,x0, 3 ,x0, 若f(3a-1)8f(a),则a的取值范围是 .,答案,解析,典型例题,解析 (1)f(x)在R上单调递增, 1, 20, (2)11lo g 1, 2a3,故选C. (2)由题意得函数f(x)为偶函数,且当x0时,函数单调递减,当x0时,函数单调递增. 原不等式可化为f(|3a-1|)f(|2a|), |3a-1|2a|, 两边平方整理得5a2-6a+10, 解得a 1 5 或a1. a的取值范围是 , 1 5 1,+ .,(1)对于分段
25、函数的单调性,应考虑各段的单调性,且要注意分界点处的函数值的大小;(2)对于抽象函数不等式,应根据函数的单调性去掉“f”,转化成解不等式,要注意函数定义域的运用.,方法归纳,1.设函数f(x)= 2 a,x1, lo g x,x1 (a0且a1),若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围 是 .,2,+),答案,解析,变式训练,解析 若f(x)在R上是增函数,则有 1, 20, a2.,2.已知奇函数f(x)为R上的减函数,若f(3a2)+f(2a-1)0,则a的取值范围是 ., ,答案,解析,解析 若f(3a2)+f(2a-1)0,则f(3a2)-f(2a-1), 已知函数f(x)为奇函数,
26、则不等式等价于f(3a2)f(-2a+1), 又函数f(x)在R上单调递减,则3a2-2a+1,即3a2+2a-10, 所以a的取值范围是 1, 1 3 .,【例3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且当x-3,0时,f(x)=lo g 1 2 (6+x),则f(2018)的值为( ). A.-3 B.-2 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=ax(a0且a1),且f(lo g 1 2 4)=-3,则a的值为 .,答案,解析,典型例题,解析 (1)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3)
27、,则函数f(x)的周期是6,又f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2), 根据奇偶性得到f(2)=f(-2)=-2.故选B. (2)奇函数f(x)满足f(lo g 1 2 4)=-3,而lo g 1 2 4=-20时,f(x)=ax(a0且a1),f(2)=a2=3,解得a= 3 .,函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此,在解题时,往往需要借助函数的奇偶
28、性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.,方法归纳,1.已知偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)-2的x的取值范围是( ). A.(-,-1)(3,+) B.(-,-13,+) C.-1,3 D.(-,-22,+),B,答案,解析,变式训练,解析 由题意知偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(2)=-2,则f(x-1)-2f(x-1)f(2)f(|x-1|)f(2),即|x-1|2,解得x-1或x3.故选B.,2.设函数f(x)是以2为周期的奇函数,已知当x(0,1)时,f(x)=2x,则f(x)在(2017,20
29、18)上是( ). A.增函数,且f(x)0 B.减函数,且f(x)0,C,答案,解析,解析 函数f(x)的周期是2, 函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和(-1,0)上的单调性相同. 当x(0,1)时,f(x)=2x为增函数,函数f(x)为奇函数, 当x(-1,0)时,f(x)为增函数. 当x(0,1)时,f(x)=2x0, 当x(-1,0)时,f(x)0,当x(2017,2018)时,f(x)0, 即f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)0,故选C.,【例4】 (1)若a,b,c满足2a=3,b=log25,3c=2,则( ). A.cab B.bca C.ab
30、c D.cba (2)已知f(x)=x3+3x,a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则( ). A.f(a)f(b)f(c) B.f(b)f(c)f(a) C.f(c)f(b)f(a) D.f(b)f(a)f(c),答案,解析,典型例题,解析 (1)因为2a=3,3c=2, 所以a=log23,c=log32. 因为y=log2x,y=log3x是增函数, 所以log25log23log22=log33log32, 因此bac,故选A. (2)由指数函数的性质可得,1bc. 又f(x)=x3+3x在R上单调递增, f(c)f(b)f(a),故选C.,利用指数函数、对数函数及幂函数的
31、性质比较实数或式子的大小时,一方面要比较两个实数或式子形式的异同;另一方面要注意特殊值的应用,有时候可以借助其“桥梁”作用,来比较大小.,方法归纳,1.若x(e-1,1),a=lnx,b= 1 2 ln ,c=elnx,则( ). A.bcaB.cba C.bacD.abc,A,答案,解析,变式训练,解析 e-11, c=elnx=x(e-1,1), bca.故选A.,2.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x1时,f(x)=lnx,则有( ). A.f 1 3 f(2)f 1 2 B.f 1 2 f(2)f 1 3 C.f 1 2 f 1 3 f(2) D.f(2)f
32、1 2 f 1 3,C,答案,解析,解析 f(2-x)=f(x), 函数f(x)图象的对称轴为直线x=1. 当x1时,f(x)=ln x, f(x)在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增, 故当x=1时,函数f(x)有最小值,离x=1越远,函数值越大,故选C.,1.函数y=13|log3x|的图象是( ).,A,答案,解析,微专题 02 函数的图象与函数的应用,返,解析 当x1时,y=13|log3x|=13log3x=1x.当0x1时,y=13|log3x|=3log3x=x. y=13|log3x|=1x,x1,x,0x1,其图象为选项A中的图象,故选A.,2.函数f(x)=log2x
33、- 1 的零点所在的区间为( ).A. 0, 1 2 B. 1 2 ,1 C.(1,2) D.(2,3),C,答案,解析,解析 函数f(x)的定义域为(0,+),且函数f(x)在(0,+)上为增函数. f 1 2 =log2 1 2 - 1 1 2 =-1-2=-30, f(3)=log23- 1 3 1- 1 3 = 2 3 0, f(1)f(2)0, 函数f(x)=log2x- 1 的零点在区间(1,2)内,故选C.,3.已知函数f(x)= 2 +4x,x2, lo g 2 xa,x2 有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( ). A.-1,0) B.(1,2 C.(1,+) D.(2,
34、+),C,答案,解析,解析 当x2时,由-x2+4x=0,得x=0; 当x2时,令f(x)=log2x-a=0,得x=2a. 又函数f(x)有两个不同的零点, 2a2,解得a1,故选C.,4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(nN*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( ). A.6 B.7 C.8 D.7或8,B,答案,解析,解析 盈利总额为21n-9- 2+ 1 2 n(n1)3 =- 3 2 n2+ 41 2 n-9, 由于对
35、称轴为直线n= 41 6 ,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.,A,答案,解析,典型例题,【例1】 函数y=sin x+ln |x|在区间-3,3上的图象大致为( ).,解析 设f(x)=sin x+ln |x|, 当x0时,f(x)=sin x+ln x,则f(x)=cos x+1x. 当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B; 当x=1时,f(1)=sin 10,排除D; 因为f(-x)=sin(-x)+ln |-x|=-sin x+ln |x|,所以f(-x)f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.,B,答案,解析,【例2
36、】 函数y=sin x(1+cos 2x)在区间-2,2上的图象大致为( ).,解析 函数y=sin x(1+cos 2x)的定义域为-2,2,其关于原点对称, 且f(-x)=sin(-x)(1+cos 2x)=-sin x(1+cos 2x)=-f(x),则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除D; 当00,排除C; 又2sin xcos2x=0,可得x=2或x=-2或x=0,排除A,故选B.,函数图象的辨识主要从以下几个方面入手:(1)函数图象的对称性;(2)函数图象的单调性;(3)特殊点.,方法归纳,D,答案,解析,变式训练,1.函数f(x)= 2 1,x0, 2 2x,x0 的图象
37、大致是( ).,解析 当x0时,f(x)=2x-1,根据指数函数g(x)=2x的图象向下平移一个单位,即可得到函数f(x)的图象. 当x0时,f(x)=-x2-2x,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象. 综上,函数f(x)的图象为选项D中的图象.,D,答案,解析,2.函数f(x)= 1 2 e 的图象大致是( ).,解析 因为f(-x)= 1 2 e 与f(x)= 1 2 e 不相等,所以函数f(x)= 1 2 e 不是偶函数,其图象不关于y轴对称,所以可排除B,C.代入x=2,得f(x)0,可排除A.故选D.,D,答案,解析,典型例题,【例3】 已知函数f(x)满足f(x+1)=f(
38、x-1),且f(x)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=x2,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-loga(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是( ). A.(1,5) B.(1,5 C.(5,+) D.5,+),解析 由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x-1,0时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象在区间-1,3内有4个交点,结合函数图象可得,loga(3+2)1,解得a5,即实数a的取值范围是5,+).,C,答案,解析,【例4】 定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)= 1 2 ,
39、x0,1), 1|3|,1,+), 则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为( ). A.2a-1 B.1-2-a C.-log2(1+a) D.log2(1-a),解析 当x0时,f(x)= 1 2 ,x0,1), 2,1,3), 4,3,+), 又f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,由函数f(x)图象和F(x)=0f(x)=a(0a1),可知F(x)有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a与函数y= 1 2 -1,x(-1,0交点的横坐标,即方程a= 1 2 -1的解,解得x=
40、-log2(1+a),故选C.,函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,方法归纳,B,答案,解析,变式训练,1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x0,1时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)= 1 2
41、 |1| (-1x3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ). A.2 B.4 C.6 D.8,解析 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2.函数g(x)= 1 2 |1| 关于直线x=1对称,作图可得四个交点的横坐标关于直线x=1对称,其和为22=4,故选B.,2.函数f(x)= ln(1),1, 2+1,1, 若函数g(x)=f(f(x)-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( ). A.0,+) B.0,1 C.(-1,0 D.-1,+),D,答案,解析,解析 设t=f(x),则a=f(t),在同一坐标系内作y=a与y=f(t)的图象(如图), 当
42、a-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t1,t2,且t1-1,t2-1. 当t1-1时,t1=f(x)有一个解;当t2-1时,t2=f(x)有两个解. 综上可知,当a-1时,g(x)=f(f(x)-a有三个不同的零点.故选D.,B,答案,解析,典型例题,【例5】 某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( ).(参考数据:lg 1.120.05, lg 1.3 0.11,lg 20.30) A.2020年 B.2021年 C
43、.2022年 D.2023年,解析 若2018年是第1年,则第n年科研经费为13001.12n.由13001.12n2000,可得lg 1.3+nlg 1.12lg 2,得n0.050.19,n3.8,n4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B.,与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程序:读题 文字语言 建模 数学语言 求解 数学应用 反馈 检验作答 .,方法归纳,在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(H+)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(OH-)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为p
44、H=-lgc(H+),健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的 ( H + ) (O H ) 可以为( ).(参考数据:lg 20.30,lg 30.48) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 10,C,答案,解析,变式训练,解析 cH(+)cOH(-)=10-14, ( H + ) (O H ) =c2(H+)1014. 7.35 1 10 ,排除D项. 0.7lg 3lg 2,100.732,10-0.7 1 3 1 2 ,排除A、B项.故选C.,D,答案,解析,微专题 03 导数及其应用,返,1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x
45、-y+2=0,则f(1)+f(1)=( ). A.1 B.2 C.3 D.4,解析 由条件知(1,f(1)在直线x-y+2=0上,且f(1)=1,f(1)+f(1)=3+1=4,故选D.,2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则 的值为( ). A.- 2 3 B.-2 C.-2或- 2 3 D.2或- 2 3,A,答案,解析,解析 由题意知f(x)=3x2+2ax+b, 则f(1)=0,f(1)=10, 即 3+2+=0, 1+ 2 7a=10, 解得 =2, =1 或 =6, =9, 经检验 =6, =9 满足题意,故 =- 2 3 ,故选A.,3.
46、对于R上可导的任意函数f(x),若满足 1 () 0,则必有( ). A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1) C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1),A,答案,解析,解析 当x1时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1).所以f(0)f(1),f(2)f(1),则f(0)+f(2)2f(1).故选A.,4.若函数y=- 1 3 x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 .,(0,+),答案,解析,解析 y=-x2+a,若y=- 1 3 x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,=4a0,故a的取值范围是(0,+).,
