1、7.5 数学归纳法,-2-,知识梳理,考点自诊,1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N+)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN+)时命题成立,证明当n= 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的框图表示,-3-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用
2、数学归纳法证明. ( ) (3)用数学归纳法证明问题时,必须用上归纳假设.( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.( ),-4-,知识梳理,考点自诊,2.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)= (nN+),验证n=1时,左边应取的项是( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4,D,解析:在等式1+2+3+(n+3)= (nN+)
3、中,当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等式左边的项为:1+2+3+4,故选D.,-5-,知识梳理,考点自诊,3.(2018河北武邑中学二调,7)用数学归纳法证明时,由n=k(k1)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( ) A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1,C,-6-,知识梳理,考点自诊,4.用数学归纳法证明 ,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .,-7-,考点1,考点2,考点3,用数学归纳法证明等式求证:f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2,nN+).,-8-,考点1,
4、考点2,考点3,-9-,考点1,考点2,考点3,思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些? 解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,-10-,考点1,考点2,考点3,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,利用数学归纳法证明不等
5、式 例2(2018广西岑溪期末,21)设实数c0,整数p1,nN+. (1)证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;,证明 (1)当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立. 假设当p=k(k2,kN+)时,不等式(1+x)k1+kx成立. 则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx) =1+(k+1)x+kx21+(k+1)x. 所以当p=k+1时,原不等式也成立. 综合可得,当x-1,且x0时, 对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点
6、1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么? 解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2018江苏扬州一模,22)已知正项数列an中,a1=1,an+1=1+ (nN+)用数学归纳法证明:anan+1(nN+).,-19-,考点1,考点
7、2,考点3,归纳猜想证明(多考向) 考向1 与函数有关的证明 例3(2018广东梅州质检)设函数f(x)=ln (1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表达式; (2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,思考与函数有关的证明是何时使用数学归纳法? 解题心得一般的若函数涉及解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中,常常利用特值探索一下结论,再进行猜想、证明.
8、此时往往用到数学归纳法.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018河北衡水调研)若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)(nN+)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn+13.,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,考向2 与数列有关的证明 例4(2018山东济宁联考,18)已知数列an满足:(1)试求数列a2,a3,a4的值; (2)请猜想an的通项公式an,并运用数学归纳法证明之.,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,
9、-28-,考点1,考点2,考点3,思考数列中的归纳猜想证明问题的实施步骤是什么? 思路分析(1)结合条件令n=1,2,3,即可求出a2,a3,a4的值;(2)通过(1)归纳出数列的通项公式,先验证当n=1时成立,再假设当n=k时成立,最后证明当n=k+1时成立. 解题心得数列中的归纳猜想证明问题的解题步骤:试验归纳猜想证明,即 第一步:计算数列前几项或特殊情况,通过观察、分析、综合、联想,猜测数列的通项或一般结论; 第二步:验证一般结论对第一个值n0(n0N+)成立; 第三步:假设当n=k(kn0,kN+)时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立; 第四步:下结论:由上可知结论对任意nn0,n
10、N+成立.,-29-,考点1,考点2,考点3,对点训练4(2018河南南阳期末,17)已知(x+2)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n(nN+). (1)求a0及Sn=a1+a2+an; (2)试比较Sn与2n2-3n的大小,并用数学归纳法证明.,-30-,考点1,考点2,考点3,(2)Sn2n2-3n.证明如下:要比较Sn与2n2-3n的大小,只要比较4n与2n2的大小. 猜想:4n2n2,nN+. 下面用数学归纳法证明: 当n=1时,42,结论成立. 假设当n=k(kN+)时结论成立,即4k2k2, 则当n=k+1时,4k+1=44k42k2=2(k2+2k2+k
11、2), 因为kN+,所以2k2+k22k+1,所以2(k2+2k2+k2)2(k2+2k+1)=2(k+1)2,所以4k+12(k+1)2, 即n=k+1时结论也成立. 由可知,nN+时,4n2n2, 所以Sn2n2-3n,nN+.,-31-,考点1,考点2,考点3,思路分析(1)令x=2,则 ai=4n,令x=1,则a0=3n,两式作差得到结果;(2)要比较Sn与2n2-3n的大小,只要比较4n与2n2的大小,接下来应用数学归纳法得到结果.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题. 2.用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“
12、递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.,-33-,逻辑推理数学归纳法证明的核心素养 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程,主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎. (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,-34-,典例1(2018山东济宁期末,17) 1=1;
13、2+3+4=9; 3+4+5+6+7=25; 4+5+6+7+8+9+10=49; (1)照此规律,归纳猜想第n(nN+)个等式; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 思路分析(1)第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+).(2)利用数学归纳法证明猜想.,-35-,解(1)第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+); (2)用数学归纳法证明如下: 当n=1时,左边=1,右边=12=1, 所以当n=1时,原等式成立. 假设当n=k(kN+)时原等式成立,即 k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2(kN
14、+), 则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2-k+(3k-1)+3k+(3k+1)=4k2+4k+1=(2k+1)2=2(k+1)-12, 所以当n=k+1时,原等式也成立. 由知,(1)中的猜想对任何nN+都成立.,-36-,典例2(2018江苏徐州期中,23)已知数列an满足(1)计算a2、a3、a4的值,由此猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法对你的结论进行证明. 解(1)a2=4,a3=5,a4=6,猜想:an=n+2(nN+). (2)当n=1时,a1=3,结论成立; 假设当n=k(k1,kN+)时,结论成立,即ak=k+2,即当n=k+1时,结论也成立, 由得,数列an的通项公式为an=n+2(nN+).,-37-,-38-,反思应用数学归纳法时,以下几点容易造成失分: (1)把初始值搞错; (2)在推证当n=k+1时,没有用上归纳假设; (3)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化易被弄错.,
