1、第七讲 函数与方程,第二章 函数概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 函数的零点 考点2 用二分法求方程的近似解,考法1 判断函数的零点所在的区间 考法2 判断函数的零点个数 考法3 求与零点有关的参数的取值范围,B考法帮题型全突破,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,专题1 二次函数的零点分布的类型及解题方法 专题2 隐含的函数零点问题,C 方法帮素养大提升,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,主要考查:(1)利用零点存在性定理判
2、断零点是否存在以及零点所在区间;(2)判断函数零点、方程根的个数;(3)根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围.一般出现在选择题和填空题的后两题,有时与导数综合作为解答题的一问呈现,难度较大. 2.学科核心素养 本讲通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用,以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 函数的零点 考点2 用二分法求方程的近似解,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),xD,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),xD的零点.,考点1 函数的零点（重点）,注
3、意 零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.,2.三个等价关系,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.零点存在性定理,注意 零点存在性定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则函数f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.,考点2 用二分法求方程的近似解,1.二分法的定义 对于在a,b上连续不断,且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点
4、所在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 2.用二分法求方程的近似解 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度. (2)求区间(a,b)的中点x1. (3)计算f(x1).,若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; 若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); 若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b). (4)判断是否达到精确度,即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复(2) (3) (4).,理科数学 第二章：函数概念与基
5、本初等函数,B考法帮题型全突破,考法1 判断函数的零点所在的区间 考法2 判断函数的零点个数 考法3 求与零点有关的参数的取值范围,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法1 判断函数的零点所在的区间,示例1 函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 解法一 （定理法）函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+),并且f(x)在(0,+)上单调递增,图象是一条连续曲线.（判单调） 又f(1)=-10,f(3)=20,（定符号） 根据零点存在性定理可知
6、,函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.（得结论） 解法二 (图象法)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)= log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数 图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.,答案 B,感悟升华,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,函数零点所在区间的判断方法及适用情形,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式1 （1）若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 B.(-
7、,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内,(2)若x0是方程( 1 2 )x= 1 3 的解,则x0所在区间为( ) A.( 2 3 ,1) B.( 1 2 , 2 3 ) C.( 1 3 , 1 2 ) D.(0, 1 3 ),1.(1)A 令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)2x-(a+c),y2=-(x-c)(x-a),由abc作出函数y1,y2的图象(图略),由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.故选A.,理科数学 第二章：函数概念
8、与基本初等函数,(2)C 令g(x)=( 1 2 )x,f(x)= 1 3 ,则g(0)=1f(0)=0,g( 1 2 )=( 1 2 ) 1 2 f( 1 3 )=( 1 3 ) 1 3 ,结合图象可得 1 3 x0 1 2 .,考法2 判断函数的零点个数,示例2 函数f(x)= 2 +2,0, 1+ln,0 的零点个数为A.3 B.2 C.7 D.0,思维导引 可以直接建立方程求解零点,也可以画出函数图象确定零点个数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 解法一 (直接法)由f(x)=0得 0, 2 +2=0 或 0, 1+ln=0, 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共
9、有2个零点. 解法二 (图象法)函数 f(x)的图象如图所示, 由图象知函数f(x)共有2个零点. 答案B,点评 图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例3 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.4,思维导引 先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定x=0是一个零点,再令x0时的函数f(x)的解析式等于0,将其转化成两个函数,判断两个函数图象的交点个数,最后根据奇函数的对称
10、性得出结论.,解析 (图象法和函数性质的综合应用)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即x=0是函数f(x)的1个零点.,当x0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3的图象,如图2-7-3所示,两函数图象有1个交点,所以函数f(x)有1个零点. 根据对称性知,当x0时,函数f(x)也有1个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为3.,答案 C,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 判断函数零点个数的方法 1.直接法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点. 2.利用函数的零点存在性定理:利用函数
11、的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3.图象法:画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数;将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,4.利用函数性质:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需求出在一个周期内的零点个数,根据周期
12、性则可得函数的零点个数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式2函数f(x)=4cos2 2 cos( 2 -x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.2 f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,其中x-1,函数f(x)的零点个数即为函数y1=sin 2x(x-1)与y2=|ln(x+1)|(x-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图所示,可知有2个交点,则f(x)有2个零点.,考法3 求与零点有关的参数的取值范围,示例42018全国卷,9,
13、5分理已知函数f(x)= e ,0, ln,0, g(x)=f(x)+x+ a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+),思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,(等价转化) 作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a1,解得a -1,故选C.,答案 C,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例5 若函数f(x)= ln 2 -ln(x+1)不存
14、在零点,则实数k的取值范围是.,思维导引 求解该题的关键是将含有对数的函数转化为普通的函数,要有定义域优先意识,分离参数,构造新函数,将原问题转化为求新函数的值域问题.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析当k=0时, f(x)没有意义; 当k0,由存在性定理知,函数g(x)在区间(-1,0)内有根,即f(x)存在零点,不符合题意; 当k0时,函数f(x)的定义域为(0,+), 此时f(x)= 1 2 ln k+ 1 2 ln x-ln(x+1),理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,令f (x)= 1 2 1 +1 =0,解得x=1. 当00,当x1时, f (x)0, 所以f
15、(x)在x=1处取得最大值, 当且仅当f(1)0时, f(x)不存在零点, 即f(1)= 1 2 ln k-ln 20, 解得0k4,即当0k4时, f(x)没有零点.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,点评 求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强,解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题的求解,即先分离参数,整理成a=f(x)的形式,将问题转化为函数y=f(x)与直线y=a的交点问题,进而研究函数y=f(x)的相关性质,画出函数图象,根据图象的直观性求解参数的取值范围.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 (1)常用
16、方法,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)一般步骤,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 2015天津,8,5分理已知函数f(x)= 2|,2, (2 ) 2 ,2, 函数g(x)=b-f(2-x),其中bR.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是 A.( 7 4 ,+) B.(-, 7 4 ) C.(0, 7 4 ) D.( 7 4 ,2),理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,又y=f(x)+f(2-x)= 2 +2,2, 作出该函数的图象如图所示,由图可得,当 7 4 b2时,直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有 4个不同
17、的交点,所以函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点 时,b的取值范围是( 7 4 ,2).,3.D 函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)恰有4个不同的实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.,C方法帮素养大提升,专题1 二次函数的零点分布的类型及解题方法 专题2 隐含的函数零点问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,专题1 二次函数的零点分布的类型及解题方法,二次函数的零点分布情况多样,比较复杂,常结合二次函数的图象从判别式“”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑.设二次函数y=ax2+
18、bx+c(a0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1, x2,其零点分布情况如下:,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例6 m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比-1大. 思维导引 先将二次函数的零点满足的条件用准确的式子表示出来,然后求解即可.,解析 (1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,m=4或
19、m=-1.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)解法一 设f(x)的两个零点分别为x1,x2, 则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4. 由题意,知 =4 2 4(3+4)0, 1 +1 2 +1 0, 1 +1 + 2 +1 0, 2 340, 3+42+10, 2+20 4或1, 5, 1. -5m-1,故m的取值范围为(-5,-1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解法二 由题意,知 0, 1 1 0, 即 2 340, 0. -5m-1.m的取值范围为(-5,-1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,感悟升华 二次函数零点问题的解题步骤,理科数学 第
20、二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式4 (1)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是 . (2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是 .,4.(1)(-8,1) 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1,4)内存在 零点,只需f(1)0即可,即-1+m0,解得-80, 1 0,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,即 210, 1+2+210, 解得 1 2 , 1 4 即 1 2 k 2 3 ,所以实数k的取值范围是( 1 2 , 2 3 ) .,专题2
21、 隐含的函数零点问题,示例7 已知函数y=a+2ln x(x 1 e ,e)的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图 象上存在点Q,且点P,Q关于原点对称,则a的取值范围是 A.e2,+) B.3,4+ 1 e C.4+ 1 e 2 ,e2 D.3,e2,解析函数y=-x2-2的图象与函数y=x2+2的图象关于原点对称,若函数y=a+2ln x(x 1 e ,e)的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图象上存在点Q,且点P,Q关于原点对称,则函数y=a+2ln x(x 1 e ,e)的图象与函数y=x2+2的,图象有交点,即方程a+2ln x=x2+2(x 1 e ,e)有解,即a=x2+2-
22、2ln x(x 1 e ,e)有解.(将点的对称问题转化为方程有解问题) 令f(x)=x2+2-2ln x,则f (x)= 2( 2 1) . 当x 1 e ,1时,f (x)0,故当x=1时,f(x)有最小值,最小值 为3. 由f( 1 e )= 1 e 2 +4,f(e)=e2,故当x=e时,f(x)有最大值,最大值为e2,故a的取值范围是 3,e2.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,素养提升近几年全国卷注重考查数学思想方法和数学核心素养.通过本题的训练,可以提高学生的逻辑推理(把原点对称问题转化为两函 数图象有交点问题,进而转化为方程有解问题)、数据分析(分离参数,构造新 的函数)、数学运算(用导数研究函数的值域)等核心素养,提高学生的转化能 力,帮助学生掌握处理导数问题的基本策略.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,
