1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.四种命题及其关系,2.充分、必要条件的概念,3.充分、必要条件与集合之间的包含关系,教材研读,考点一 命题及其关系,考点二 充分条件、必要条件的判断,考点突破,考点三 充分条件、必要条件的应用,1.四种命题及其关系 (1)四种命题,教材研读,(2)四种命题间的关系(3)互为逆否的命题具有相同的真值性,若原命题的真值性难以判断时, 可改为判断其逆否命题的真值性.,2.充分、必要条件的概念,3.充分、必要条件与集合之间的包含关系,1.(2018南京第一学期期末调研)命题“若ab=0,则b=0”的逆否命题是 .,答案 若b0,则ab0,2.(教材习题改编
2、)命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是 命题. (填“真”或“假”),答案 真,解析 命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是“若ab0,则a0且b 0”,是真命题.,3.(2018苏州第一学期期中)设命题p:x4;命题q:x2-5x+40,那么p是q的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”),答案 充分不必要,解析 命题q:x1或x4,则p是q充分不必要条件.,4.(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知p:xa,q:|x-1|1,若p是q 的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .,答案 a|a2,解析 q:0x2,若p是q的必要不充
3、分条件,则a2.,5.(2019江苏盐城高三模拟)“x=2k+ ,kZ”是“sin x= ”成立的 条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 分也不必要”中选填一个).,答案 充分不必要,解析 sin x= x= +2k,kZ或x= +2k,kZ,所以“x=2k+ ,k Z”是“sin x= ”成立的充分不必要条件.,考点一 命题及其关系 典例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们 的真假. (1)矩形的对角线相等; (2)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根; (3)若x2+y2=0,则实数x,y全为0.,考点突破,解析 (1)逆命题:对角线相等的四边形是矩
4、形.假命题. 否命题:不是矩形的四边形的对角线不相等.假命题. 逆否命题:对角线不相等的四边形不是矩形.真命题. (2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1.假命题. 否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根.假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1.真命题. (3)逆命题:若实数x,y全为0,则x2+y2=0.真命题. 否命题:若x2+y20,则实数x,y不全为0.真命题.,逆否命题:若实数x,y不全为0,则x2+y20.真命题.,方法技巧 判断命题真假的方法 (1)直接判断:判断一个命题为真命题时,要给出严格的推理证明;说明一 个命题是假命题时,只需举出一
5、个反例即可. (2)间接判断:判断所给命题的逆否命题的真假,若逆否命题为真,则所需 判断的原命题为真;若逆否命题为假,则所需判断的原命题为假.,易错警示 写一个命题的其他三种命题时需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写成此形式. (2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提.,1-1 给出下列命题:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;“相 似三角形的面积相等”的否命题;“若q1,则x2+2x+q=0有实根”的 逆否命题;“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中正确命 题的序号是 .,答案 ,解析 “若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y
6、互为相反数, 则x+y=0”,是真命题;“相似三角形的面积相等”的否命题是“不相 似的三角形的面积不相等”,是假命题;若q1,则=4-4q0,所以x2+ 2x+q=0有实根,原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题;“不等 边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是不 等边三角形”,是假命题.,考点二 充分条件、必要条件的判断 典例2 (1)(2017镇江高三期末)已知x,yR,则“a=1”是“直线ax+y-1= 0与直线x+ay+1=0平行”的 条件.(从“充分不必要”“必要不 充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选择恰当的填空) (2)(2018扬州高三考前调研测试)设x
7、R,则“2x2” 是“ 1”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充 分也不必要”),答案 (1)充要 (2)充分不必要,解析 (1)直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行,则a2=1,a=1,当a=-1时,两 直线重合,舍去,当a=1时成立,所以“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ ay+1=0平行”的充要条件. (2)2x2x1, 0x1,则 “2x2” 是“ 1”的充分 不必要条件.,方法技巧 判断充要条件的三种方法,1.利用定义判断.,2.利用集合间的包含关系判断.,3.利用等价转换法判断:利用pq与qp,pq与qp的等价关系进行判断,对于条件或结论
8、是否定形式的命题一般运用等价转换法判断.,2-1 (2018江苏南通高三期末)已知p:“直线l的倾斜角 ”;q:“直线l 的斜率k1”,则p是q的 条件.,答案 必要不充分,解析 若直线l的倾斜角= ,此时直线l的斜率不存在,所以p不是q 的充分条件;若直线l的斜率k1,则倾斜角满足 ,则p是q的必要 条件,综上可得,p是q的必要不充分条件.,典例3 已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是 xS的必要条件,则m的取值范围是 .,考点三 充分条件、必要条件的应用,答案 0,3,解析 由x2-8x-200得-2x10,P=x|-2x10, 由xP是xS的必要条件,
9、知SP. 则 0m3. m的取值范围是0,3.,探究1 若将题中的条件“必要条件”变为“充分条件”,则m的取值 范围是 .,答案 9,+),解析 由xP是xS的充分条件,知PS, 则 解得m9, 即m的取值范围是9,+).,探究2 若将题中的条件“必要条件”变为“充要条件”,则是否存在 满足条件的实数m?,解析 不存在. 理由如下:若xP是xS的充要条件,则P=S, 无解, 不存在实数m,使xP是xS的充要条件.,方法技巧 根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合 之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
10、(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用 两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端 点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.,3-1 (2018江苏三校联考)已知p:xa,q:x2-2x-30,若p是q的充分不必要 条件,则实数a的取值范围是 .,答案 a|a3,解析 q:x-1或x3,若p是q的充分不必要条件,则a3.,3-2 (2019江苏无锡模拟)已知集合A=x|x2+3x-a2-3a0,B=y|y=-2x,x 2,3.若命题“xA”是命题“xB”的必要条件,则实数a的取值范 围是 .,答案 a|a5,解析 集合B=-8,-4,A=x|(x-a)(x+a+3)- 时,A=(-a-3,a),由BA得 解得a5,综上可得, 实数a的取值范围是a|a5.,
