1、第九节 函数模型及其应用,解函数应用题的步骤(四步八字),教材研读,考点一 已知函数模型的实际问题,考点二 构造函数模型的实际问题,考点突破,解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结果;,教材研读,(4)还原:将数学结果还原为满足实际意义的结果. 以上过程用框图表示如下:,1.已知某产品今年年产量是m件,计划以后每年的产量比上一年增加 20%,则x年后该产品的年产量y与x之间的函数关系式为 .,答
2、案 y=m1.2x,xN*,2.国家规定个人稿费的纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元 而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部 稿酬的11%纳税.某人出版了一本书,共纳税420元,则这个人的稿费为 元.,答案 3 800,解析 设稿费为x元,纳税为y元,由题意可得y= 当x=4 000时,y=(4 000-800)14%=448420, 且 4 00011%=440420,所以此人稿费少于4 000元,则有(x-800)14%= 420,解得x=3 800,即此人的稿费为3 800元.,3.(2019江苏南通中学高三模拟)某小型服装厂生产一种
3、风衣,日销售量x 件(xN*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需的成本为C =500+30x(元).要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量最少为 件.,答案 20,解析 由题意可得px-C1 300,即(160-2x)x-(500+30x)1 300,化简得x2 -65x+9000,解得20x45,故该厂日产量最少为20件.,4.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长 率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 .,答案 -1,解析 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值 为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增
4、长率为x,则a(1+x)2=a(1+p) (1+q).由于连续两年持续增加,所以x0,因此x= -1.,5.销售甲、乙两种商品所得的利润分别是P(单位:万元)和Q(单位:万元), 它们与投入资金t(单位:万元)的关系为P= t,Q= .若投入3万元资金 经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投入x(单位:万元),则当总利润最 大时x的值为 .,答案,解析 由题意可得总利润y= x+ ,0x3,令 =t,0t , 则x=3-t2,则y=- t2+ t+ ,当t= ,即x=3- = 时,总利润最大.,6.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y =ekx+b(e=2.718
5、为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜 时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜 时间是 小时.,解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 则e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),所以该食品在33 的保鲜时间 是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,答案 24,考点一 已知函数模型的实际问题 典例1 (2018江苏南京高三摸底)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在 地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点,已知 炮弹发射后的轨迹为曲线y=kx- (1+k2)x2(k
6、0)的一部分,其中k与发射 方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试,考点突破,问它的横坐标a(a0)不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.,解析 (1)y=kx- (1+k2)x2. 令y=0,得kx- (1+k2)x2=0. 由实际意义知x0,又k0, 故x= = =10,当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.,(2)炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka- (1+k2)a2成立关于k的方程a 2k2-20ak+a2+64=0有正根, 则判别式=(-20a)2-4a2(a
7、2+64)0,从而可得0a6. 所以当a不超过6时,炮弹可击中目标.,1-1 (2017江苏连云港期末)某种商品的市场需求量y1(万件)、市场供 应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系:y1=-x+70,y2= 2x-20.当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡 需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量; (2)若该商品的市场销售量P(万件)是市场需求量y1和市场供应量y2两者 中的较小者,该商品的市场销售额W(万元)等于市场销售量P与市场价 格x的乘积.,当市场价格x取何值时,市场销售额W取得最大值? 当市场销售额W取得最大值时,为了使得此时的市场
8、价格恰好是新的 市场平衡价格,则政府应该对每件商品征税多少元?,解析 (1)令y1=y2,得-x+70=2x-20,故x=30,此时y1=y2=40. 答:平衡价格是30元,平衡需求量是40万件. (2)由y10,y20,得10x70,由题意可知:P= 故W=,当10x30时,W=2x2-20x=2(x-5)2-50,x=30时,Wmax=1 200; 当301 200, 所以市场价格是35元时,市场总销售额W取得最大值. 设政府应该对每件商品征税t元,则供应商的实际价格是每件(x-t)元, 故y2=2(x-t)-20,令y1=y2,得-x+70=2(x-t)-20, 由得x=35时市场总销售
9、额最大,代入上述方程得t=7.5. 答:政府应该对每件商品征税7.5元.,典例2 (2018常州教育学会学业水平检测高三)已知小明(如图中AB所 示)身高1.8米,路灯OM高3.6米,AB,OM均垂直于水平地面,且分别与地面 交于点A,O.点光源从M发出,小明在地面上的影子记作AB. (1)小明沿着圆心为点O,半径为3米的圆周在地面上走一圈,求AB扫过 的图形的面积;,考点二 构造函数模型的实际问题,(2)OA=3米,小明从A出发,以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1,OAA1= , 且AA1=10米.t秒时,小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位:米),求f(t)的 表达式与最小值.,解析
10、 (1)由题意得ABOM,则 = = = ,又OA=3米,所以OB=6 米, 小明在地面上的身影AB扫过的图形的面积为62-32=27(平方米). (2)经过t秒,小明走到了A0处,身影为A0 ,由(1)知 = = ,所以f(t)= A0 =OA0= , 化简得f(t)= ,0t10, f(t)= ,当t= 时, f(t)的最小值为 , 答: f(t)= ,0t10,当t= 时, f(t)取得最小值 . 方法技巧 构建函数模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清 数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,但求解过 程中不要忽略实际问题对变量的限制.,2-1 (20
11、17江苏南通高三第二次学情检测)如图,有一块半径为R的半圆 形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设 施占地形状是等腰CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在圆 周上. (1)设BOC=,征地面积记为f(),求f()的表达式; (2)当为何值时,征地面积最大?,解析 (1)如图,连接OE,可得OE=R,OB=Rcos ,BC=Rsin , , 所以f()=2S梯形OBCE=R2(sin cos +cos ), . (2)f ()=-R2(2sin -1)(sin +1),令f ()=0,则sin +1=0(舍)或sin = . 因为 ,所以当 时, f ()0;当 时, f ()0, 所以当= 时, f()取得最大值. 故= 时,征地面积最大.,
