1、高考数学（浙江专用）,11.1 排列、组合,考点 排列、组合,考点清单,考向基础 1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同 的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是 分类计数原理. (2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则 完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步 计数原理. 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.,它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步
2、骤相 互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了. 3.排列 (1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 表示. (3)排列数公式: = n(n-1)(n-m+1) . (4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个 全排列, =n(n-1)(n-2)321=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为,= .规定0!=1. 4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素
3、并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 表示. (3)计算公式: = = = .由于0!=1,所以 =1. 5.组合数的性质 (1) = ;(2) = + .,考向突破,考向一 排列问题,例1 (2018浙江9+1高中联盟期中,14)4支足球队两两比赛,若每场比赛 都分出胜负,每队赢的概率都为0.5,并且每队赢的场数各不相同,则不同 结果的种数为 ;其概率为 .,解析 4支足球队两两比赛,每场比赛都分出胜负,每队赢的概率都为 0.5,并且每队赢的场数各不
4、相同,4队比6场,只考虑胜场,且各不相同,4 支球队赢的场数分别为0,1,2,3,共有 =4321=24种结果.其概率P = 0.56= .,答案 24;,考向二 组合问题,例2 (2018浙江“七彩阳光”联盟期中,17)设集合A=a,b,c,其中a,b,c 1,2,3,4,5,6,7,8,9,若a,b,c满足abc,且2c-b6,则集合A的个数为 .,解析 解法一: abc,2c-b6,c4. 当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为 =1; 当c=5时,a,b1,2,3,则集合A的个数为 =3; 当c=6时,a,b1,2,3,4,则集合A的个数为 =6; 当c=7时,a,b1,2,3,
5、4,5,则集合A的个数为 =10; 当c=8时,a,b1,2,3,4,5,6,则集合A的个数为 =15; 当c=9时,a,b1,2,3,4,5,6,7,且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为 - 1=20. 故总共有1+3+6+10+15+20=55. 解法二:从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个不同的数组成集合A,共有 =84个.,而2c-b6,故需减去c-b=1和c-b=7的集合的个数. 若c-b=1,则有以下情形: b=2,c=3时,集合的个数为1;b=3,c=4时,集合的个数为2; b=4,c=5时,集合的个数为3;b=5,c=6时,集合的个数为4; b=6,c=7
6、时,集合的个数为5;b=7,c=8时,集合的个数为6; b=8,c=9时,集合的个数为7.集合的总个数为1+2+3+4+5+6+7=28. 若c-b=7,则只有a=1,b=2,c=9,集合的个数为1. 所以集合A的个数为84-28-1=55.,答案 55,考向三 排列组合综合问题,例3 (2018浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老 师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的 班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的 班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班 主任,则共有 种不同的安排方法.(用数字作答),
7、解析 我们将5位老师看成5个不同的盒子,其中数学老师分别为1,2号 盒子,英语老师分别为3,4号盒子,化学老师为5号盒子,A,B,C,D,E看成5个 不同的小球. 先将5个球放入5个盒子中,满足盒子非空,且A不能放入1,2号盒子,B不能 放入3,4号盒子,C,D不能放入5号盒子. 为了方便起见,我们对C,D分类讨论: 若C,D恰好放入1,2号盒子(有 种放法),此时B可放入5号盒子(有1种放 法),剩余的A,E任意放置(有 种放法),由分步乘法计数原理知,共有 1 =4种放法;若C,D恰好放入3,4号盒子,同样也有4种放法;若C,D恰有 一个放入1,2号盒子(不妨设放入1号),一个放入3,4号
8、盒子(不妨设放入3 号)(有 种放法),此时考虑A.若A放入4号,B有2种选择,若A放入,5号,则B只能放入2号,有 (2+1)=24种放法. 综上,由分类加法计数原理知,共有32种满足条件的安排方法.,评析 对于人员安排问题,我们总是可以抽象成取球模型,在具体的处 理过程中,我们一定要优先考虑特殊元素或特殊位置.,答案 32,方法 排列组合综合问题的解题方法 (1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略
9、; (8)分排问题直排处理的策略;,方法技巧,(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10)构造模型的策略.,例 (2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),16)现安排甲、乙等5人参加 3个运动项目,要求甲、乙两人不能参加同一个项目,每个项目都必须有 人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方法种数为 .,解析 解法一:按(3,1,1)分组,有 - =42种方法;按(2,2,1)分组,有- =72种方法,故共有114种安排方法. 解法二:甲参加的项目有3人,则方法种数为 =18;甲参加的项目有2 人,这时乙参加的项目组合有3种,则方法种数为 =54;甲参加的项 目只有1人,这时乙参加的项目组合有7种,则方法种数为 =42.综上, 由分类加法计数原理知,共有114种安排方法满足上述要求.,答案 114,
