1、1课时跟踪训练(二) 两个计数原理的综合应用(时间 45分钟)题型对点练(时间 20分钟)题组一 选(抽)取与分配问题1某年级要从 3名男生，2 名女生中选派 3人参加某次社区服务，如果要求至少有 1名女生，那么不同的选派方法有( )A6 种 B7 种 C8 种 D9 种解析 可按女生人数分类：若选派一名女生，有 236 种不同的选派方法；若选派 2名女生，则有 3种不同的选派方法由分类加法计数原理，共有 9种不同的选派方法答案 D2把 10个苹果分成三堆，要求每堆至少 1个，至多 5个，则不同的分法共有( )A4 种 B5 种C6 种 D7 种解析 共有 4种方法列举如下：1,4,5；2,4
2、,4；2,3,5；3,3,4.答案 A3有 4位教师在同一年级的 4个班中各教 1个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A8 种 B9 种C10 种 D11 种解析 设 4位监考教师分别为 A， B， C， D,4个班级分别为 a， b， c， d，假设 A监考 b，则余下 3人监考剩下的 3个班，共有 3种不同方法同理 A监考 c或 d时，也分别有 3种不同方法根据分类加法计数原理，监考的方法共有 3339(种)答案 B题组二 用计数原理解决组数问题4由数字 1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的
3、数的个数是( )A4 B8 C16 D24解析 由题意分析知，严格递增的三位数只要从 4个数中任取 3个，共有 4种取法；同理严格递减的三位数也有 4个，所以符合条件的数的个数为 448.答案 B5现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m7， n9)可以任意选取，则 m， n都取到奇数的概率为_解析 因为正整数 m， n满足 m7， n9，所以( m， n)所有可能的取值有27963(种)，其中 m， n都取到奇数的情况有 4520(种)，因此所求概率为 .2063答案 20636用数字 2,3组成四位数，且数字 2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字回答)解析 用数字
4、 2,3可以组成 2416 个四位数其中，只由 2可构成 1个四位数，只由 3可构成 1个四位数，故数字 2,3至少都出现一次的四位数的个数为 161114.答案 14题组三 用计数原理解决涂色(种植)问题7如图所示，花坛内有 5个花池，有 5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )A180 种 B240 种C360 种 D420 种解析 区域 2,3,4,5地位相同(都与其他 4个区域中的 3个区域相邻)，故应先种区域 1，有 5种种法，再种区域 2，有 4种种法，接着种区域 3，有 3种种法，种区域 4时应注意：区域 4与区域 2
5、同色时区域 4有 1种种法，此时区域 5有 3种种法；区域 4与区域2不同色时区域 4有 2种种法，此时区域 5有 2种种法，故共有 543(322)420种栽种方案故选 D.答案 D8湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(如图)，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有_种3解析 由题意知本题是一个分步乘法计数问题，第一步涂陕西，有 5种结果，再涂湖北，有 4种结果，第二步涂安徽，有 4种结果，再涂湖南有 4种，即5444320(种)答案 3209用 6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图
6、所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔问：该板报有多少种书写方案？解 第一步，选英语角用的彩色粉笔，有 6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有 5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有 4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有 5种不同的选法，共有6545600 种不同的书写方案综合提升练(时间 25分钟)一、选择题1已知两条异面直线 a， b上分别有 5个点和 8个点，则这 13个点可以确定不同的平面个数为( )A40 B16 C13 D10解析 分两类：第 1
7、类，直线 a与直线 b上 8个点可以确定 8个不同的平面；第 2类，直线 b与直线 a上 5个点可以确定 5个不同的平面故可以确定 8513 个不同的平4面答案 C2一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P点处进， Q点处出，沿图中线路游览A， B， C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点 O外)的不同游览线路有( )A6 种 B8 种C12 种 D48 种解析 每个景区都有 2条线路，所以游览第一个景点有 6种选法，游览第二个景点有 4种选法，游览第三个景点有 2种选法，故共有 64248 种不同的游览线路答案 D3用 0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比 3542大
8、的四位数的个数是( )A360 B240 C120 D60解析 因为 3542是能排出的四位数中千位为 3的最大的数，所以比 3542大的四位数的千位只能是 4或 5，所以共有 2543120 个比 3542大的四位数答案 C二、填空题45 只不同的球，放入 2个不同的箱子中，每箱不空，共有_种不同的放法解析 第 1只球有 2种放法，第 2只球有 2种放法，第 5只球有 2种放法，总共有 2532 种放法，但要每箱不空，故有 2种情况不合要求，因此，符合要求的共有25230 种不同的放法答案 305直线方程 Ax By0，若从 0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数 A、
9、 B的值，则方程表示不同直线的条数是_解析 若 A0，则 B从 1、2、3、5、7 中任取一个，均表示直线 y0；同理，当B0 时，表示直线 x0；当 A0 且 B0 时，能表示 5420 条不同的直线故方程表示直线的条数是 112022.5答案 22三、解答题6如图所示，将四棱锥 S ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有 5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数解 解法一：由题意，四棱锥 S ABCD的顶点 S， A， B所染的颜色互不相同，它们共有 54360(种)染色方法当 S， A， B染色确定时，不妨设其颜色分别为 1,2,3.若C染 2，则 D可染
10、3或 4或 5，有 3种染法；若 C染 4，则 D可染 3或 5，有 2种染法；若C染 5，则 D可染 3或 4，有 2种染法由分类加法计数原理，当 S， A， B已染确定时， C， D有 7种染法由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有 607420(种)解法二：第一步， S点染色，有 5种方法第二步， A点染色，由于 A与 S在同一条棱上，所以有 4种方法第三步， B点染色，由于 B与 S， A分别在同一条棱上，所以有 3种方法第四步， C点染色，也有 3种方法，但考虑到 D点与 S， A， C相邻，需要针对 A与C是否同色进行分类当 A与 C同色时， D点有 3种染色方法，由分步乘法计数原
11、理，有54313180(种)方法；当 A与 C不同色时，因为 C与 S， B也不同色，所以 C点有2种染色方法， D点也有 2种染色方法，再由分步乘法计数原理，有54322240(种)方法由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有180240420(种)解法三：第一类，5 种颜色全用，有 54321120(种)不同的染色方法；第二类，只有 4种颜色，则必有某两个顶点同色( A与 C或 B与 D)，共有54325432240(种)不同的染色方法；第三类，只用 3种颜色，则 A与C、 B与 D必定同色，有 54360(种)不同的染色方法由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有 12024060420
12、(种)7用 1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列 an6(1)这个数列共有多少项？(2)若 an341，求 n的值解 (1)由题意，知这个数列的项数就是由 1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数由于每个数位上的数都有 4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为 44464，即数列 an共有 64项(2)比 341小的数分为两类：第一类，百位上的数是 1或 2，有 24432 个三位数；第二类，百位上的数是 3，十位上的数可以是 1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有 3412 个三位数所以比 341小的三位数的个数为 321244，因此 341是这个数列的第 45项，即 n45.
