1、- 1 -吉林省北大附属长春实验学校 2019 届高三数学上学期第三次月考试题 理第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ，Bx|x2，则|12Ax ABA （2，1）B （2，1C （4，）D4，）2设复数 z12i，则Az 22 z3Bz 22z4Cz 22z5Dz 22z63若双曲线 的一个焦点为（3，0） ，则 m21yxmA 2B8C9D644设向量 a、b 满足|a|1， ，且 ab1，则|a2b|2bA2B 5C4D55某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为- 2 -A5B6C6.5D76设 x，y 满足约束条件 则 z2xy 的最小值为
2、320,61459,xy A3B4C0D47执行如图的程序框图，若输入的 k11，则输出的 SA12- 3 -B13C15D188若函数 f（x）|2 x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 a 的取值范围为A （0，4）B （0，）C （3，4）D （3，）9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 21，则“a 35”是“S 3S 993”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10函数，f（x）Acos（wx） （A0，w0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x）Asinwx 的图象，只需将函数 yf（x）的图象A向左平移 个单位长度6B
3、向右平移 个单位长度12C向右平移 个单位长度D向左平移 个单位长度11在四面体 ABCD 中，AD底面 ABC， ，BC2，E 为棱 BC 的中点，点 G10ABC- 4 -在 AE 上且满足 AG2GE，若四面体 ABCD 的外接球的表面积为 ，则 tanAGD249A 12B2CD 212已知函数 f（x）的导数为 f（x） ，f（x）不是常数函数，且（x1）f（x）xf（x）0 对 x0，）恒成立，则下列不等式一定成立的是Af（1）2ef（2）Bef（1）f（2）Cf（1）0Def（e）2f（2）第卷二、填空题13若函数 f（x）log 8xlog 2x2，则，f（8）_14在（xa）
4、 9的展开式中，若第四项的系数为 84，则 a_15直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，若 ，则直5FB线 l 的斜率为_16在数列a n中，a 112，且 记 ， ，则下列判134nna13niaS13niaT断正确的是_ （填写所有正确结论的编号）数列 为等比数列；存在正整数 n，使得 an能被 11 整除；31nS 10T 243；T 21能被 51 整除三、解答题17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3cos(23)cosAbaC（1）求角 C；- 5 -（2）若 ，ABC 的面积为 ，D 为 AB 的中点，求 sinB
5、CD6A318某家电公司根据销售区域将销售员分成 A，B 两组2017 年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间90，95） ，95，100） ，100，105） ，105，110内对应的年终奖分别为 2 万元，2.5 万元，3 万元，3.5 万元已知200 名销售员的年销售额都在区间90，110内，将这些数据分成 4 组：90，95） ，95，100） ，100，105） ，105，110，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从 A 组与 B 组的销售员中随机选取 1 位，记 X，Y 分别表示 A 组与 B 组被选取的销售员获得的
6、年终奖（1）求 X 的分布列及数学期望；（2）试问 A 组与 B 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19如图，在四棱锥 PABCD 中，ACBD，ACBDO，POAB，POD 是以 PD 为斜边的等腰直角三角形，且 1123OCDA（1）证明：平面 PAC平面 PBD；（2）求二面角 APDB 的余弦值- 6 -20已知椭圆 （ab0）的焦距与椭圆 的短轴长相等，且2:1yxW2:14xyW 与 长轴长相等，这两个椭圆 在第一象限的交点为 A，直线 l 与直线 OA（O 为坐标原点）垂直，且 l 与 W 交于 M，N 两点（1）求 W 的方程；（2）求MON 的面积的最大值21已
7、知 aR，函数 2()(2)xxxfeae（1）若曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 ，判断函数，f（x）在1上的单调性；(,)2（2）若 ，证明：f（x）2a 对 xR 恒成立1(,ae22选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ，直线 C2的方程为2cos,inxy，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系3y（1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；（2）若直线 C2与曲线 C1交于 A，B 两点，求 1|OAB23选修 45：不等式选讲已知函数 f（x）|x|x3|（1）求不等式 的解集；()62（2）若
8、 k0，且直线 ykx5k 与函数 f（x）的图象可以围成一个三角形，求 k 的取值范围- 7 -高三数学试卷参考答案（理科）1D2C3B4B5B6A7C8C9A10D11B12A13714115521617解：（1）由 ，得 ，由3cos(23)cosAbaC2cos3(cso)bAaC正弦定理可得， 2inini)BA，因为 sinB0，所以 ，因为 0C，3si()3siCcos2所以 6（2）因为 ，故ABC 为等腰三角形，且顶角 ，A3B故 ，2213sin4BCaS所以 a2，在DBC 中，由余弦定理可得，CD 2DB 2BC 22DBBCcosB7，所以 ，在DBC 中，由正弦定
9、理可得， ，7DsiniCDB- 8 -即 ，所以 71sin32BCD21sin4BC18解：（1）A 组销售员的销售额在90，95） ，95，100） ，100，105） ，105，110的频率分别为：02，03，02，03，则 X 的分布列为：X（元） 20000 25000 30000 35000P 0.2 0.3 0.2 0.2故 E（X）200000.2250000.3300000.2350000.328000（元） （2）B 组销售员的销售额在 90，95） ，95，100） ，100，105） ，105，110的频率分别为：01，035，035，02，则 Y 的分布列为：X（元
10、） 20000 25000 30000 35000P 0.1 0.35 0.35 0.2故 E（Y）200000.1250000.35300000.35350000.228250（元） E（X）E（Y） ，B 组销售员获得的年终奖的平均值更高19 （1）证明：POD 是以 PD 为斜边的等腰直角三角形，PODO又 POAB，ABDOB，PO平面 ABCD，则 POAC，又 ACBD，BDPOO，AC平面 PBD又 AC 平面 PAC，平面 PAC平面 PBD（2）解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，- 9 -则 A（3，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2
11、） ，则 ， ，(,)(,)设 n（x，y，z）是平面 ADP 的法向量，则 ，即 ，0ADP320xyz令 y3 得 n（2，3，3） 由（1）知，平面 PBD 的一个法向量为 ，(1,0)OC ，2cos,|OCAn由图可知，二面角 APDB 的平面角为锐角，故二面角 APDB 的平面角的余弦值为 2120解：（1）由题意可得 ， ，24ab243a故 W 的方程为 2143yx（2）联立 ，得 ，2214xy2364y ，又 A 在第一象限， 29yx13OAkx- 10 -故可设 l 的方程为 y3xm联立 ，得 31x218mx3m 2120，2314x设 M（x 1，y 1） ，N
12、（x 2，y 2） ，则 ， ，1283mx213x ，222114|(3)40又 O 到直线 l 的距离为 ，则MON 的面积 ，|0md 213|1|2mSdMN ，2223(1)3()3S当且仅当 m231m 2，即 ，满足 0，故MON 的面积的最大值为 321 （1）解： ，()(2)xxfea ，()21x xfee ，002)1 ，()xxfxe当 时，2x10，e 2x0，e x0，f（x）0，,2函数 f（x）在 上单调递增(,)（2）证明：设 ，g（x）（x1）e x，2xge令 g（x）0，得 x1，g（x）递增；令 g（x）0，得 x1，g（x）递减 ，e2.7， ，g
13、（x）1min()()e2e设 h（x）e xax，令 h（x）0 得 xlna，令 h（x）0，得 xlna，h（x）递增；令 h（x）0，得 xlna，h（x）递减h（x） minh（lna）aalnaa（1lna） ， ，lna1，1lna2，h（x） min2a，h（x）2a0(,)e又 g（x）1，g（x）h（x）2a，即 f（x）2a- 11 -22解：（1）曲线 C1的普通方程为（x2） 2（y2） 21，则 C1的极坐标方程为 24cos4sin70，由于直线 C2过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标为3（R） （或 ） 3tan3（2）由 得 ，24cosi70,2(3)70故 ， ，12312 12| 3| 7OAB23解：（1）由 即 得，()62xf|6x或 或 ，326x 030x解得3x9，不等式 的解集为（3，9） ()62f（2）作出函数 的图象，如图所示，,0()3,xf直线 yk（x5）经过定点 A（5，0） ，当直线 yk（x5）经过点 B（0，3）时， ，35k当直线 yk（x5）经过点 C（3，3）时， 8- 12 -当 时，直线 ykx5k 与函数 f（x）的图象可以围成一个三角形3(,85k
