1、- 1 -湖南省邵东县创新实验学校 2019 届高三数学第五次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出集合 A 的所有元素，寻求两个集合公共元素.【详解】因为 ， ，所以 .故选 A.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算.把两个集合的元素呈现出来，利用集合运算的规则可以求解.2.已知 是虚数单位，化简 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分子分母同时乘以 ，化简可得.【详解】 .故选
2、D.【点睛】本题主要考查复数的除法.复数的除法运算，主要是通过分母实数化的方式来进行，熟知复数的运算法则是解决这类问题的关键.3. 三个内角 所对的边为 ，已知 且 ，则角 等于（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由正弦定理可得： ，则 ，又 ，所以 ，故选 A。4.“ ”是“ ”的（ ）- 2 -A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简“ ”，利用充要条件的定义可以判定.【详解】 化简得 ，因为 时， ；而 时，不一定得出 .所以选 A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定.利用集合间的关系或者借
3、助数轴能方便求解.5.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. 14 B. 10 C. 6 D. 4【答案】D【解析】则 过点 时，取最小值， ，故选 D。6.若两个非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 3 -从 入手，两边平方可得 及 ，从而可求.【详解】因为 ，平方可得 ；因为 ，平方可得 ；设向量 与 的夹角为 ，则 .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，向量夹角的求解.向量模长的一般处理方法是利用平方化为向量的运算，夹角的问题一般是利用向量夹角公式求解.7.函数 的零点是 和 ，则 （ ）A. B. C.
4、D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对数运算求解出零点，结合两角和的正切公式求解.【详解】因为 的零点是 和 ，所以 是方程 的两个根，即有 .，故选 B.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，利用根与系数的关系及和角公式可以求得.熟记公式是解决问题的关键.8.定义在 上的函数 与函数 在 上具有相同的单调性，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过题意可知 为减函数，利用导数可以求得 的取值范围.【详解】因为 ，所以 为减函数，即 在 也为减函数；，即 在 恒成立，所以 ,故选 B.- 4 -【点睛】本题主要考查利用导数和单调性关系求解参数范围.若函数
5、在区间 D 上为增函数，则其导数 在 D 上恒成立；若函数 在区间 D 上为减函数，则其导数 在 D 上恒成立.9.函数 在 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，为偶函数，则 B、D 错误；又当 时， ，当 时，得 ，则则极值点 ，故选 C。点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除 B、D 选项，在 A、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象。10.已知函数 在 处取得最大值，则函数 的图象- 5 -A. 关于点 对称 B.
6、关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】B【解析】【分析】利用 在 处取得最大值，可以求得，再结合余弦型函数的图像判定.【详解】因为函数 在 处取得最大值，所以 ，即 .,令 可得对称中心为 ，时，可得一个对称中心为 ，选项 B 正确；令 可得对称轴为 ，选项C,D 均错误，所以选 B.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.利用整体代换的方法，可以求得对称中心和对称轴.11.已知数列 的通项 ，数列 的前 项和为 ，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列 ，则满足 的 的最大整数值为（ ）A. 338 B. 337 C. 336 D. 335【答案】D【解析】【分析】
7、先需要根据前 项和求出数列 的通项公式，找出两个数列的公共项组成的数列.再根据通项公式可求.【详解】当 时， ；当 时， ；- 6 -它和数列 的公共项构成的新数列 是首项为 5，公差为 6 的等差数列， ；令 可得 ，所以 的最大值为 335.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解.利用数列前 项和求解通项公式时，通常分为两步走：先求首项，当 时，利用公式 求得 ，验证首项是否符合.12.若函数 在 上的图象与直线 恰有两个交点.则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】注意到 的最大值为 2，转化为在 内函数恰有两个最大值，结合图像可求.【详解】由 得 ，令
8、，则 ，作出 的简图，如图，可以看出 ，解得 ，故选 D.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.换元法结合函数的图像能简化解题过程.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.我国古代“伏羲八封图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，处应分别填写_八卦 二进制 000 001 010 011 十进制 0 1 2 3 - 7 -【答案】110，6【解析】根据图中所示规律，观察、归纳、猜想可知 处应填 110，对应 处应填 .14.已知 ,若 恒成立，则实数 的最大值为 .【答案】10【解析】试题分析： ，最大值为 10考点：不等式性质15. 三边的长
9、分别为 ， ， ，若 ， ，则_【答案】【解析】由题知 故本题填 点睛：本题主要考查平面向量的基本定理,数量积.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.16.已知 ，则 _【答案】【解析】，则 ，得 ， ，则 ，又 ，则 ，- 8 -则 。点睛：应用辅助角公式解决本题，得到 ，则 ，且 ，所以所求 ，则之后利用二倍角公式解题即可，求出答案。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文
10、字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 满足 .(1)求 的通项公式.(2)证明: .【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据递推公式的特点构造出一个等比数列，从而可得通项公式；(2)利用放缩法对通项公式适当放缩，从而达到证明的目标.【详解】(1)因为 a1=1,an+1=3an+1,nN *.所以 an+1+ =3an+1+ =3 .所以 是首项为 a1+ = ,公比为 3 的等比数列.所以 an+ = ,所以 an= .(2) = . =1,当 n1 时, = .所以 + + 1+ + + = = .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和不等式的证明.依据
11、递推公式的特点，构造等比数列或等差数列，从而可得数列通项公式.数列不等式的证明一般采用放缩法和数学归纳法.- 9 -18.已知向量 ，函数 （）求函数 的最小正周期；（）在 中， 分别是角 的对边，且 且 ，求 值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（）根据向量的点积运算的坐标表示得到函数表达式，由周期公式得到结果；（）由三角函数值得到角 C 的值，再由余弦定理得到 结合 可求值.【详解】 （）.故最小正周期(） ， ， C 是三角形内角， 即： 即： 将 代入可得： ，解之得： 或 4,， ,【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，三角函数的两角和正弦公式的应用，也考查了余弦定理解三角形的
12、应用. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。19.已知函数 .（1）求 的单调性；（2）设 ，若关于 的方程 有解，求 的取值范围.【答案】 （1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）- 10 -【解析】试题分析：（1） ，得单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）分离参数得 有正根. 令 ，通过求导得到 的单调性，求出最
13、值，解得 。试题解析：（1）解：依题意，函数 的定义域为 ， ，当 时， ，当 时， ，故 的单调增区间为 ，单调减区间为（2）由已知，关于 的方程 有正根. 令 ，则，由 ,得 ；由 得 . 在 上单调递增，在上单调递减， ，关于 的方程 有正根， .20.已知等比数列 的公比 ，且 是 的等差中项，数列 满足，数列 的前 项和为 .(1)求 的值.(2)求数列 的通项公式.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得 的值.（2）由（1）求得 的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得 的通项公式.【详解】解.（1）由 是
14、 的等差中项得 ，所以 ，解得 .由 得 ，因为 ，所以 .（2）设 ，数列 前 n 项和为 .由 解得 .- 11 -由（1）可知 ，所以 ，故 ， .设所以 ，因此 ，又 ，所以 .【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.21.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中 为自然对数的底数） （1）求 的解析式及单调递减区间；（2）是否存在常数 ，使得对于定义域内的任意 ， 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ，单调递减区间为 和 （2）【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，对函
15、数求导可得函数 的单调减区间为 和(2)不等式等价于当 时，令 ，由函数的性质可得 ；当 时，可得 ，综合可得： .试题解析：（I） ，- 12 -又由题意有： ，故此时， ，由 或 ，函数 的单调减区间为 和（说明：减区间写为 的扣 分） （II）要 恒成立，即当 时， ，则要： 恒成立，令 ，再令 ，在 内递减，当 时， ，故 ，在 内递增， ；当 时， ，则要： 恒成立，由可知，当 时， ，在 内递增，当 时， ，故 ，在 内递增， ，综合可得： ，即存在常数 满足题意请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中.直线 的参数方程为为
16、（ 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点.以 轴非负半轴为极轴）中.圆 的极坐标方- 13 -程是 .（1）写出直线 的直角坐标方程，并把圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设圆 上的点 到直线 的距离最小，点 到直线 的距离最大，求点 的横坐标之积.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）直线的参数方程转化为直角坐标方程，只需消参就可以得到 ；圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，则通过 ，即 ，解得圆的直角坐标方程为 ；（2）由题可知，直线 经过圆心 且与直线 垂直，则直线 为：，联立方程，求出答案。试题解析：（1）由直线 的参数方程为 （ 为参
17、数)，消去 ，得圆 的极坐标方程是 即 ，化为直角坐标方程： ，配方为 .(2)依题意，直线 的方程满足经过圆心 且与直线 垂直，则直线 的方程为：.联立 ，化为： . .点 的横坐标之积为 .23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围 .【答案】 （1） 或 ；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值函数去绝对值得到分段函数，分段解不等式即可；（2）不等式恒成立，则 即可，由（1）知， ，解得答案。试题解析：函数 ，当 时， ；当 时， ；当 时， - 14 -（1）当 时，不等式 化为 ，解得 ，当 时，不等式 化为 ，无解，当 时，不等式 化为 ，解得 ，综上，不等式的解集为 或 （2） 由上述可知 的最小值为 9，因为不等式 恒成立，所以 ，所以，故实数 的取值范围为点睛：绝对值问题最常用的方法就是去绝对值得到分段函数，本题中得到分段函数后，再分段解不等式，注意观察各自分段的范围即可；函数不等式恒成立问题，只需 即可，本题中通过前面的讨论得到 ，解绝对值不等式即可。- 15 -
