1、- 1 -重庆第二外国语学校高 2021 级高一上期第一次质量检测数学试题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.)1.已知全集 ，集合 ， ，则 为( )A. 1,2,4 B. 2,3,4 C. 0,2,4 D. 0,2,3,4【答案】C【解析】故选 B.2.集合 的子集个数为（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】【分析】由题意，求得 ，即可求解集合子集的个数，得到答案.【详解】由题意，可知集合 ，所以集合的子集个数为 个，故选 B.【点睛】本题主要考查了集合的子集的个数的求解，其中解答正确求解集合，熟记集合的子集的个数的计算是解答的关键，着重
2、考查了推理与运算能力，属于基础题.3.函数 的定义域为 ，则其值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于定义域内含四个元素，将各个元素代入函数得值域为 .选 A.4.函数 由下列表格给出，则 （ ）- 2 -1 2 3 42 4 3 13 1 2 4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意，根据上表中函数的对应关系，即可求解.【详解】由题意，根据上表可知，可得 ，所以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了函数的表示，及函数值的求解问题，其中熟练掌握函数的列表表示，以及函数的对应关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.
3、下列函数中，既是偶函数，又在 单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义，逐一判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于 A 中，函数 为奇函数，且在 单调递增，不满足题意；对于 B 中， 为偶函数，且在 单调递减函数，不满足题意；对于 C 中， 为偶函数，且在 单调递减函数，不满足题意；对于 D 中， 为偶函数，且在 单调递增函数，满足题意，故选 D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义域判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.已知函数 则 的值域为（
4、 ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，设 ，则 ，根据指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设 ，则 ，又由指数函数的性质，可知函数 为单调递减函数，所以函数 的值域为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，函数 的定义域是 ，即 ，令 ，即可求解函数 的定义域，得到答案.【详解】由题意，函数 的
5、定义域是 ，即 ，令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的计算，其中解答中熟记函数的定义域的定义，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.函数 在 内的值域为 ，则实数 需满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 4 -【分析】作出函数 的图象，当 时，此时 的最小值为 ，且 ， 令 ，解得 或， ，结合图象，即可求解.【详解】由题意，作出函数 的图象，如图所示，当 时，此时 的最小值为 ，当 时，此时 ，令 ，解得 或， ，要使得函数 在 内的值域为 ，则即实数 需满足 ，故选 D.【点睛】本题主要考查
6、了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.9.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过 3 分钟漏完 已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 分 的函数关系表示的图象只可能是( )A. B. - 5 -C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法，圆柱的液面上升的速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取 1.5 分钟时，液面下降的高度与漏斗的高的比较，即可得到答案.【详解】由于所给的圆
7、锥形漏斗上口大于下口，当时间取 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的 ，对比四个选项的图象可得结果，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，其中解答中认真分析题意，可采用特殊值或函数的单位变化趋势是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 a2 16 ， b4 16 ， c25 ，且幂函数 y x 在 R 上单调递增，指数函数 y16 x在 R 上单调递增，所以 bac.故选 A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看
8、三个区间 ） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.视频11. 是定义在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，函数 是定义在 上是减函数，利用分段函数的性质，列出不等式组，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数 是定义在 上是减函数，则满足 ，解得 ，即 的取值范围是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用函数的单调性，合理列出相应的不等式组求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12
9、.设函数 ，若互不相等的实数 ， ， ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设 ，由 ，得 ，结合图象可知， ，则，令 ，可知 在 上单调递减，故- 7 -，则 ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不
10、等式的解集；4、研究函数性质二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案写在答题卡相应位置上)13.化简 得_【答案】【解析】【分析】根据实数指数幂的化简公式，合理运算，即可得到答案.【详解】由题意，化简得 .【点睛】本题主要考查了实数指数幂的化简与运算，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.若不等式 成立，则 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意，根据指数函数 为单调递减函数，把不等式转化为 ，即可求解.【详解】由题意，根据指数函数 为单调递减函数，则 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，即实数 的
11、取值范围是 .【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题，其中解答中利用指数函数的性质，把不等式转化为 求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.- 8 -15.函数 为定义在 上的奇函数，且 ，对于任意，都有 成立.则 的解集为_【答案】【解析】【分析】由题意，设函数 ，得函数 在 上的单调递增函数，进而得到函数为偶函数，即可求解当 时，不等式等价于 的解集，以及当 时， 的解集，即可得到答案.【详解】由题意，设函数 ，由对于任意 ，都有 成立，则可得函数 在 上的单调递增函数，又由函数 为定义在 上的奇函数，则函数 ，即函数 为偶函
12、数，又由 ，则 ，且 ，又由 ，可知：当 时，不等式等价于 ，即 ，解得 ；当 时，不等式等价于 ，即 ，解得 即不等式的解集为 .【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.有三支股票 A,B,C.总共 28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍.在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股
13、票的人数多 1，在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票.则只持有 B 股票的股民人数是_人.【答案】【解析】【分析】- 9 -由题意，作出韦恩图，列出方程，即可求解只持有 B 股的股民人数.【详解】由题意，作出韦恩图，如图所示，根据题意，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍.在持有A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票，可得 ，即值持有 B 股的股民人数为 7 人.【点睛】本题主要考查了集合的运算及集合的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用集合
14、的思想，画出满足条件的韦恩图是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知集合 .（1）求 ；（2）求 .【答案】 （1） ;（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交集的概念及运算，即可求解；（2）由题意，可得 或 ，再根据集合的并集的概念及运算，即可求解.【详解】 （1）根据集合的交集的概念及运算，可得 ；（2）由题意，可得 或 ，则根据集合的并集的概念及运算可得 .【点睛】本题主要考查了集合交集、并集和补集的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的基本概念与运算是
15、解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.（1）已知 ，求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） ；（2）- 10 -【解析】【分析】（1）由题意，可得 ，即可求解；（2）由实数指数幂的运算法则和运算公式，化简即可求解.【详解】 （1）由题意，可得 ，又由 ，所以 .（2）由 .【点睛】本题主要考查了实数指数幂的化简与运算问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理化简、运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.函数 ， 的定义域为集合 .(1)求集合 .(2)若 ，求 的值域.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由题意函数 的解析
16、式有意义，列表不等式，即可求解集合.（2）由函数 ，令 ，得到 ，利用二次函数的性质，即可求解函数的值域.【详解】 （1） ，有所以（2）令 ，有值域为【点睛】本题主要考查了函数的定义域与值域，以及指数函数与二次函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答本题的关键，着重考查了换元思想，以及分析问题和解答问题的能力.- 11 -20.通过研究学生在课堂上的学习行为，心理学家发现，学生的注意力与课堂时间有密切关系：课堂开始时，学生的注意力激增；中间有一段时间，学生的注意力保持较理想的状态；随后学生的注意力开始下降.分析结果和实验表明，用 表
17、示学生的注意力: 的值越大，表示学生的注意力越集中， x 表示课堂时间（单位：min） ，有如下公式：.（1）讲课开始后 5min 和讲课开始后 20min 比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学难题，需要讲解 13min，并且要求学生的注意力至少达到 55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.【答案】 （1） 分钟；（2）不能【解析】【分析】（1）由题意得， ，即可得到答案.（2）分求解当 和 时，不等式的解集，通过比较，即可得到结论.【详解】 （1）由题意得， ，所以讲课开始后 5min 学生注意力更集中（2）又由 ,那么老师不能学生达到所需状态下讲授完这道题
18、目【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用题设中函数的解析式，利用比较得到相应的结论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数 为奇函数，且 .（1）判断 在 的单调性，并用定义证明；（2）求函数 在区间 上的最大值 .- 12 -【答案】 （1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由函数是奇函数，利用 ，求得 的值，即可得到函数的解析式，在利用单调性的定义，即可得到函数的单调性；（2）由(1)知函数在区间 上单调递减，在 上单调递增，分类讨论，分别求解函数的最大值，即可得到结论.【详解】解： 函数是奇函数， ；由 ，得 ，函
19、数 的解析式 ；设 ，则 ， ， ， ，即 ，函数在区间 上是减函数；(2)由(1)知函数在区间 上单调递减，在 上单调递增，当 时，即 时， ；当 时，即 时， ；当 时， ；- 13 -综上 .【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用问题，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性，合理利用函数的单调性，分类讨论求解函数的最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增.函数.（1）请写出函数 与函数 在 的单调区间；（只写结论，不需证明）（2）求函数 的最大值和最小值；（3）讨论方程 实根的个数.【
20、答案】 （1） 的减区间是 ，增区间是 ； 的减区间是 ，增区间是；（2 ）最小值 ，最大值 ；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由已知函数 的单调区间，即可得到所求的两个函数的单调区间；（2）化简 的函数解析式，再由已知结论，可得函数 在上单调递减，在 上单调递增，即可得到所求函数的最值；（3）化简方程可得 或 ，又函数 在上单调递减，在 上单调递增，分类讨论可得到方程根的个数.【详解】 根据条件， 的单调递减区间是单调递增区间是 ；- 14 -函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；由 可知， 与 均在 单调递减，在 上单调递增，则有函数 在 单调递减，在 上单调递增，所以 ， ；
21、由 可得 ，所以有 或 ，又函数 在 单调递减，在 单调递增，而 ，所以当 时，方程无实数根；当 时，有一个实数根；当 ，且 即 ，方程有两个实数根；当 ， ，方程有三个实数根；当 时，方程有四个实数根综上， 当 时，方程实根个数为 0；当 时，方程实根个数为 1；当 时，方程实根个数为 2；当 ， 时，方程实根个数为 3；当 时，方程实根个数为 4【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及函数与方程的综合应用问题，其中解答中合理利用题设条件，求得函数的单调区间和最值，以及利用函数与方程的思想合理转化，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力，属于难题.- 15 -
