1、- 1 -哈尔滨市第六中学 20182019学年度上学期期末考试高一数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用 2B铅笔涂在答题卡上。 ）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出 和 中的不等式的解集，然后取交集即可。【详解】由题意， ，则 ，故选 A.【点睛】本题考查了集合的简单运算，属于基础题。2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
2、析】【分析】设圆的半径为 ，可知其内接正方形的边长，然后利用弧长公式可以求得圆心角的弧度数。【详解】设圆的半径为 ，则该圆的内接正方形的边长为 ，即这段圆弧长为 ，则该圆弧所对的圆心角的弧度数 .故选 C.【点睛】本题是一道关于求圆心角的弧度数的题目，弧长公式 ( 是圆心角的弧度数)是解答本题的关键。- 2 -3.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幂函数图象过点 可以求出函数解析式，然后求出 即可。【详解】设幂函数的表达式为 ，则 ，解得 ，所以 ，则 .故答案为 B.【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。4.若 ，
3、则 所在象限是（ ）A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限【答案】A【解析】【分析】先由题中不等式得出 在第二象限，然后求出 的范围，即可判断其所在象限。【详解】因为 ， ，所以 ，故 在第二象限，即 ，故 ，当 为偶数时， 在第一象限，当 为奇数时， 在第三象限，即 所在象限是第一、三象限。故选 A.【点睛】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题。- 3 -5.在 中，下列关系恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为 ，逐个去分析即可选出答案。【详解】由题意知，在三角形 ABC中， ，
4、对 A选项， ，故 A选项错误；对 B选项， ，故 B选项错误；对 C选项， ，故 C选项错误；对 D选项， ，故 D选项正确。故选 D.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题。6.已知 表示不超过实数 的最大整数， 是方程 的根，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数 的零点的范围，进而判断 的范围，即可求出 .【详解】由题意可知 是 的零点，易知函数 是（0， ）上的单调递增函数，而 ， ，即所以 ，结合 的性质，可知 .故选 B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。- 4 -7.函数 的图象的相邻两支截直线 所得的线段长为 ，则 的值是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正切函数的性质，可以得到函数 的周期，进而可以求出 解析式，然后求出 即可。【详解】由题意知函数 的周期为 ，则 ，所以 ，则 .故选 D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题。8.已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可【详解】f（x）=x 3，函数 f（x）是奇函数，且函数为增函数，a=f（log 3 ）=f（log 310）=f（log 310） ，则 2log 39.1log 310
6、，2 0.92，即 20.9log 39.1log 310，则 f（2 0.9）f（log 39.1）f（log 310） ，即 cba，故选：C【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键- 5 -9.已知函数 的定义域为 ，若 是奇函数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 为奇函数，可得 ，求得 ，代入计算可得所求值【详解】 是奇函数，可得 ，且 时，可得 ，则 ，可得 ，则 ，故选： D【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题10.若 在 是减函数，则 的最大值是A. B. C
7、. D. 【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值详解：因为 ，所以由 得因此 ，从而 的最大值为 ，选 A.点睛：函数 的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间; - 6 -由 求减区间.11.已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由辅助角公式可得 ，由函数 关于直线 对称，可得 ，可取 从而可得 ，由此结合 ，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.【详解】 ，函数 关于直线 对称，即 ， ，故可取 故 ， ，即可得：，故可令 ， ， ，即 ， ，
8、其中 ， ，故选 D【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题. 由函数 可求得函数的周期为 ；由- 7 -可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.12.已知 是奇函数，且满足 ，当 时， ，则 在内是（ ）A. 单调增函数，且 B. 单调减函数，且C. 单调增函数，且 D. 单调减函数，且【答案】A【解析】【分析】先根据 f（x+1）=f（x1）求出函数的周期，然后根据函数在 x（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在 x（1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求【详解】f（x+1）=f（x1） ，f（x+2）=f
9、（x）即 f（x）是周期为 2的周期函数当 x（0，1）时， 0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，当 x（1，0）时，f（x）0，且函数在（1，0）上单调递增根据函数的周期性可知 y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且 f（x）0故选：A【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题二、填空题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分。请把答案填在答题卡上指定位置处。）13.在 中， ，则 _【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得到 ，再由余弦定理求得 的值。【详解】由 ，结合正弦定理可得 ，- 8 -故设 ， ，( )，
10、由余弦定理可得 ，故 .【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。14. _【答案】【解析】【分析】利用指数与对数的运算性质，进行计算即可。【详解】 .【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意 ，属于基础题。15.将函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数 的图象，则函数 的解析式为_【答案】【解析】【分析】利用函数 的图象变换规律，即可得到 的解析式。【详解】函数 的图象向右平移 个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍，可得到 .故 .【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题。16.函数 的最大值为_
11、- 9 -【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式将 化为 ，利用三角函数诱导公式将 化为 ，然后利用二次函数的性质求最值即可。【详解】因为 ，所以当 时， 取到最大值 .【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题。三、解答题（本大题共 6个小题，共 70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ）17.在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .（1）求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的面积【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可以得到 ，即可求出角 的大小；（ 2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出 ，代入三角形面积公式即可。【详解】 （1）
12、由于 ，结合正弦定理可得 ，由于 ，可得 ，即 ，因为 ，故 .（2）由 ， ，且 ，代入余弦定理 ，即 ，解得 ，则 的面积 .【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。18.某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：- 10 -（1）请将上表数据补充完整；函数 的解析式为 （直接写出结果即可） ；（2）根据表格中的数据作出 一个周期的图象；（3）求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （1）见解析；（2）详见解析；（3）当 时， ；当 时，【解析】【分析】（1）由表中数据可以得到 的值与函数周期，从而求出 ，进而求出 ，即可得到函数
13、的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出 一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数 的最值。【详解】 （1）根据表中已知数据，解得 ， ， ，数据补全如下表：- 11 -函数 表达式为 .（2）根据表格中的数据作出 一个周期的图象见下图：（3）令 ， ，则 ，则 ， ，可转化为 ， ，因为正弦函数 在区间 上单调递减，在区间（ 上单调递增，所以 ，在区间 上单调递减，在区间（ 上单调递增，故 的最小值为 ，最大值为 ，由于 时， ； 时， ，故当 时， ；当 时， .【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。19.已知函
14、数 （1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 的对称轴和对称中心；（3）若 ， ，求 的值- 12 -【答案】 （1） ；（2） ， ；（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数 的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出 和 ，然后将 展开求值即可。【详解】 （1） .所以函数 的最小正周期 .（2）由于 ，令 ， ，得 ，故函数 的对称轴为 .令 ， ，得 ，故函数 的对称中心为 .（3）因为 ，所以 ,即 ，因为 ，所以 ，则 ， ，所以 .【点睛】本题考查了三角函数的恒等
15、变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题。20.已知函数 ， （1）求函数 的单调递增区间；（2）当 时，方程 恰有两个不同的实数根，求实数 的取值范围；（3）将函数 的图象向右平移 个单位后所得函数 的图象关于原点- 13 -中心对称，求 的最小值【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）由余弦函数的单调性，解不等式 ， ，即可求出；（2）利用函数 的性质，结合 在 时的单调性与最值，可得实数 的取值范围；（3）先求出 的解析式，然后利用 图象关于原点中心对称， 是奇函数，可求出 的最小值。【详解】 （1）由余弦函数的单调性，解不等式 ， ，
16、得 ，所以函数 的单调递增区间为 ；（2）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ， ， ，所以当 时，函数 与函数 的图象有两个公共点，即当 时,方程 恰有两个不同的实数根时。（3）函数 的图象向右平移 个单位,得到 ,则 是奇函数，则 ，即 ， ，则因为 ，所以当 时， .【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题。21.已知函数 的图象过点 （1）求 的值并求函数 的值域；- 14 -（2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围；（3）若 为偶函数，求实数 的值【答案】 （1） （2） （3）【解析】【分析】（1
17、）函数图象过 ，代入计算可求出 的值，结合对数函数的性质可求出函数 的值域；（2）构造函数 ，求出它在 上的值域，即可求出 的取值范围；（3）利用偶函数的性质 ，即可求出。【详解】 （1）因为函数 图象过点 ，所以 ，解得 .则 ，因为 ，所以 ，所以函数 的值域为 .（2）方程 有实根，即 ， 有实根，构造函数 ，则 ，因为函数 在 R上单调递减，而 在（0， ）上单调递增，所以复合函数 是 R上单调递减函数。所以 在 上，最小值为 ，最大值为 ，即 ，所以当 时，方程 有实根。（3） ，是 R上的偶函数，则满足 ，即 恒成立，则 恒成立，- 15 -则 恒成立，即 恒成立，故 ，则 恒成立
18、，所以 .【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题。22.已知函数 （1）当 时，求该函数的值域；（2）求不等式 的解集；（3）若 对于 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） （2） 或 （3）【解析】【分析】（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将 分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出 的取值范围。【详解】 （1）令 ， ，则 ，函数 转化为 ， ，则二次函数 ，在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取到最小值为 ，当 时， 取到最大值为 5，故当 时，函数 的值域为 .（2）由题得 ，令 ，则 ，即 ,解得 或 ，当 时，即 ，解得 ，- 16 -当 时，即 ，解得 ，故不等式 的解集为 或 .（3）由于 对于 上恒成立，令 ， ，则即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，因为函数 在 上单调递增， 也在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，它的最大值为 ，故 时， 对于 恒成立。【点睛】解决不等式恒成立问题，若不等式中的参数能够从其它变量中完全分离出来，且分离后不等式另一边的表达式的最值能够求出来，常用分离参数法。- 17 -
