1、- 1 -大庆实验中学 2018-2019 学年度上学期期末高一数学试题一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别解集合 A、B 中的不等式，再求两个集合的交集【详解】集合 ，集合 ，所以 ，选择 C【点睛】进行集合的交、并、补运算前，要搞清楚每个集合里面的元素种类，以及具体的元素，再进行运算2.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数 是定义在 上的偶函数，借助奇偶性，将问题转化到已知区间上，再求函数值【详解】因为 是定义在
2、 上的偶函数，且当 时， ，所以 ，选择 D【点睛】已知函数的奇偶性问题，常根据函数的奇偶性，将问题进行转化，转化到条件给出的范围再进行求解3.已知 ， ，则 （ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 ， ，以及已知角的范围，求出【详解】由题， ，且 ，解得 ，又因为 ，所以 ，选择 C【点睛】计算三角函数值时要注意根据角的范围判断三角函数值的符号4.已知向量 和 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律直接展开 ，将向量的夹角与模代入数据，得到结果【详解】 8+3 188+323 181，故选 D.【点睛】本
3、题考查数量积的运算，属于基础题5.设函数 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 的函数性质，及 对四个选项进行判断【详解】因为 ，所以函数 为偶函数，且在区间 上单调递增，在区间上单调递减，又因为 ，所以 ，即 ，故选择 A【点睛】本题考查幂函数的单调性和奇偶性，要求熟记几种类型的幂函数性质- 3 -6.函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点的存在性定理，依次判断四个选项的区间中是否存在零点【详解】 ， ， ，由零点的存在性定理，函数在区间 内有零点，选择 B【点睛】用零点的存在性定理只能判断函数有零点，若要判
4、断有几个零点需结合函数的单调性判断7.若函数 ， ，则函数 的图像经过怎样的变换可以得到函数 的图像 先向左平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标保持不变.先向左平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标保持不变.将横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位，纵坐标保持不变.将横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位，纵坐标保持不变.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依次判断四种变换方式的结果是否符合题意，选出正确变换【详解】函数 ，先向左平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 倍，函数变为 ，所以合题意；先向左平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 倍，函数变为
5、 ，所以不合题意；将横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位，函数变为 ，所以合题- 4 -意；将横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位，函数变为，所以不合题意，故选择 A【点睛】在进行伸缩变换 时，横坐标变为原来的 倍；向左或向右进行平移变换注意平移单位要加或减在“ ”上8.已知函数 ，则函数 的最小正周期为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性【详解】 ，其中 ，所以函数的最小正周期 ，选择 C【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得9.已知函数 ，若 ，则函数
6、的单调递减区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 判断 的取值范围，再由复合函数单调性的原则求得函数的单调递减区间【详解】 ，所以 ，则 为单调增函数，又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的单调减区间为 ，选择 D【点睛】复合函数的单调性判断遵循“同增异减”的原则，所以需先判断构成复合函数的两个函数的单调性，再判断原函数的单调性10.已知函数 的图像中相邻两条对称轴之间的距离为 ，当 时，函数 取到最大值，则 （ ）- 5 -A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 的图像关于 对称C. 函数 的图像关于 对称 D. 函数 在 上单调递减【答案】D【解析】【
7、分析】由相邻对称轴之间的距离，得函数的最小正周期，求得 ，再根据当 时，函数 取到最大值求得 ，对函数的性质进行判断，可选出正确选项【详解】因为函数 的图像中相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，函数的最小正周期 ，所以 ，又因为当 时，函数 取到最大值，所以 ， ，因为 ，所以 ， ，函数最小正周期，A 错误；函数图像的对称轴方程为 ， ，B 错误；函数图像的对称中心为， ，C 错误；所以选择 D【点睛】由 的图像求函数的解析式时， 由函数的最大值和最小值求得， 由函数的周期求得，代值进函数解析式可求得 的值11.在三角形 中，若点 满足 ，则 与 的面积之比为（ ）A. B. C. D.
8、【答案】B【解析】【分析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断 P、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系【详解】因为 ，所以 ，即 ，得点 P 为线段 BC上靠近 C 点的三等分点，又因为 ，所以 ，即 ，得点 Q 为线段 BC 上靠近 B 点的四等分点，所以 ，所以 与 的面积之比为- 6 -，选择 B【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系12.已知函数 ，若关于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的最小值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A
9、【解析】【分析】将 看作整体，先求 的取值范围，再根据不等式恰有一个整点和函数的图像，推断参数 ，的取值范围【详解】做出函数 的图像如图实线部分所示，由 ，得，若 ，则 满足不等式，不等式至少有两个整数解，不满足题意，故 ，所以 ，且整数解 只能是 4，当 时， ，所以，选择 A【点睛】本题考查了分段函数的性质，一元二次不等式的解法，及整体代换思想，数形结合思想的应用，需要根据题设条件，将数学语言转化为图形表达，再转化为参数的取值范围- 7 -二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量 不共线， ，若 ，则 【答案】【解析】【分析】由 ，将 表示为 的数乘，求出参
10、数【详解】因为向量 不共线， ，且 ，所以 ，即，解得【点睛】向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得14.若 ，则 的取值范围是【答案】【解析】【详解】试题分析：因为 ，所以 ，因为 0a0，所以 。考点：本题考查对数函数的单调性；对数的性质。点评：解对数不等式的主要思想是利用公式 化为同底数的。15.已知函数 在区间 上恰有 个最大值，则 的取值范围是【答案】【解析】【分析】将 代入函数解析式，求出 的取值范围，根据正弦取 8 次最大值，求出 的取值范围【详解】因为 ， ，所以 ，又函数 在区间上恰有 个最大值，所以 ，得【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由 的取值范
11、围推断的取值范围- 8 -16.已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是【答案】【解析】【分析】观察函数 的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式【详解】令 ，则 ，得 ，即函数 的图像关于 中心对称，且 单调递增，不等式可化为 ，即 ，得 ，解集为【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题三. 解答题（17 题为 10 分，其它试题均为 12 分）17.已知函数 ，若函数 的定义域为集合 ，则当 时，求函数 的值域.【答案】【解析】【分析】先求函数 的定义域集合 ，再求函数 的值域【详解】由 ，得 ，所以函数 的值域
12、为【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件18.在 中， ，且 与 的夹角为 ， .（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】- 9 -（1）选取向量 为基底，根据平面向量基本定理得 ，又 ，然后根据向量的数量积的运算量可得结果；（2）结合向量的线性运算可得 ，然后与对照后可得 【详解】选取向量 为基底（1）由已知得 ，（2）由（1）得 ，又 ， 【点睛】求向量数量积的方法（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量积的运算量求解（2）建立平面直
13、角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问题求解19.已知 .（1）化简 ；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】- 10 -（1）根据诱导公式化简；（2）巧用平方关系 进行代换，再利用商数关系将原式转化为用 表示，结合第 1 问解答【详解】 （1）（2）将 代入，得 .【点睛】三角函数式的化简要求熟记相关公式，同角三角函数基本关系平方关可实现正弦和余弦的互化，要注意公式的逆使用，商数关系 可实现正弦、余弦和正切的互化20.已知函数 的定义域是 ， .（1）求函数 的定义域；（2）若函数 ，求函数 的最小值。【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1
14、）由 的定义域，求得 的定义域即为所求；（2）求函数 的值域，再代入求最值【详解】 （1） 的定义域是 ，即 的定义域是 ，所以 的定义域为 ；（2） ，令 ， ， ，即 ，所以 ，当 时取到。【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件，复合函数相关问题要注意整体代换思想21.已知函数 ，函数 的最小正周期为 ， 是函数 的一条对称轴.（1）求函数 的对称中心和单调区间；- 11 -（2）若 ，求函数 在 的最大值和最小值，并写出对应的 的值。【答案】 （1）对称中心是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 （2）当 时， ，当 时，【解析】
15、【分析】（1）由函数的最小正周期，求得 ，再根据当 时，函数 取到最值求得 ，根据函数的性质求对称中心和单调区间；（2）写出 的解析式，根据定义域，求最值【详解】 （1） ， ， ，所以 ， ，对称中心是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是（2） ， ，当 时， ，当 时，【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由 的取值范围推断的取值范围22.已知函数 . .（1）判断函数 的奇偶性并证明；（2）若函数 在区间 上单调递减，且值域为 ，求实数 的取值范围。【答案】 （1）奇函数（2）【解析】【分析】（1）先求定义域，再研究 与 的关系得函数奇偶性；（2）由函数在 上的单调性，得函数的值域，又因为值域为 ，转化为关于 和 的关系式，由二次函数的图像与性质求 的取值范围【详解】 （1）函数 定义域为 ，且 .所以函- 12 -数为奇函数（2）考察 为单调增函数，利用复合函数单调性得到 ，所以， ，即 ，即 为方程 的两个根，且 ，令 ，满足条件 ，解得 .【点睛】判断函数的奇偶性，要先求定义域，判断定义域是否关于原点对称再求 与 的关系；计算函数的值域，要先根据函数的定义域及单调性求解- 13 -
