1、- 1 -铁人中学 2018 级高一学年上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分, 共 60 分。 ）1.某扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 ，则它的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得 所以它的面积是故选 A.2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质化简集合 ，根据交集的定义即可得到 .【详解】因为集合 ，集合 ，所以 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于
2、集合 且属于集合 的元素的集合.3.函数 的一个零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以应选答案 C。4.设 为 所在平面内一点 ，则（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 利用平面向量几何运算的三角形法则，可得 ，化简即可得结果.【详解】因为 ，所以 ，可得 ，化为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.若角 的终边
3、过点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由于 ， ，所以 ，所以 ，故选 D.考点：诱导公式、特殊角的三角函数值及任意角三角函数的定义.6.向量 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，而- 3 -，故选 B.考点：向量平行的坐标运算7.若 ，则 的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设 ，则 ，所以 ，所以 ，选 D.考点：求函数的解析式.8.下列函数中既是偶函数，最小正周期又是 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于函数 y=sin2x 周期为 ，不是偶函
4、数，故排除 A由于函数 y=cosx 周期为 2，是偶函数，故排除 B由于函数 y=tanx 是周期函数，且周期为 ，但它不是偶函数，故排除 C由于函数 y=|tanx|是周期函数，且周期为 ，且是偶函数，故满足条件，故选：D9.将函数 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数 的图象变换规律得到 的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性可求所得图象的一条对称轴方程.【详解】将函数 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象
5、；- 4 -再将所得图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，令 ，求得 ，时得图象的一条对称轴方程为 ,故选 A.【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10.已知 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，所以 ，所以 ，故选 A.考点：两角和与差的三角函数与诱导公式.【方法点晴】本题是给条件求值，先通过三角恒等变换把条件 用两角和的正弦公式展开，再合起来化为一角、一名、一次式的形式，本质上都是两角和和与差的正、余弦公式的应用，再通过
6、“凑角”用变形得到的角把待求值角的角表示出来，通过诱导公式来解决问题，最后求值时要注意函数名和符号的变化，不然很容出现错误.11.已知函数 ，且 是它的最大值，(其中 m、n 为常数且 )给出下列命题： 是偶函数；函数 的图象关于点 对称； 是函数 的最小值； .其中真命题有( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 5 -试题分析： ，令 ，则 。因为 是它的最大值，则 ，不妨取 。则 。 ，图像不关于 轴对称，故不是偶函数；因为 ，所以函数 的图象关于点 对称； ，故 不是函数 的最小值； 时， ，所以 。综上可得正确的有。故 D 正确。考点：三角函数的性质。12.已知定义在 R
7、上的函数 满足 ，当 时， ，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以函数的周期为 2设 ，则 ，所以，可知该函数在 上为偶函数且在 上单调递减因为 ，所以 ，即选项 A 错误；因为 ，所以 ，即选项 B 错误；因为 ，所以 ，故选项 C 正确；同例，选项 D 错误考点：利用函数性质比大小- 6 -【思路点睛】本题是利用函数性质比大小先根据周期性求出 时的解析式，并判断出函数 在 上为偶函数且在 上单调递减，所以应利用奇偶性及周期性将变量统一到同一个单调区间内，然后利用函数单调性比大小即可如选项 C， ，所以 即二、填空题（每小题 5 分，共
8、20 分。 ）13.函数 ，则 _【答案】【解析】试题分析： ， .考点：分段函数求值.14.已知幂函数 的部分对应值如下表，则不等式 的解集是_.x 1 f（x） 1【答案】【解析】【分析】先将点 代入幂函数 中，求出 ，原不等式转化为 ，解不等式即可得结果.【详解】由表格中数据可知 在 的图象上，- 7 -所以 ，得 ，不等式 ，即 ，故 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查利用待定系数法求幂函数的解析式和解不等式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属基本题.15.已知 ，且 ，则 =_.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再利用二倍角公式求得 的值,再利用两角差的正
9、切公式求得 的值.【详解】因为 ，且 ，则 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角差的正切公式的应用，属于中档题. 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系16.已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ，满足 ，且，则 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：作出函数 的图象（如下图） ，可以发现 ，即 ，所以 ， ；由正弦函数的图象知： 在 上的图象关- 8 -于直线 对称，所以 ，且 ，因此，对称轴为 ，故 的取值范围是 .考点：对数函数、正弦函数的图象与性质，二次函数给定区间上的值域及数形结合的
10、数学思想.【方法点晴】本题中涉及到四个变量 ， ， ， ，先从函数图象入手寻找四个变量之间的关系寻求消元，把多元变量化为一元变量，体现了消元的数学思想， 在 上的图象是由 的图象沿 x 轴翻折得到， 上的图象恰好是 一个周期上的图象，观察图象特征就发现了四个变量之间的依存关系，为消元创造了条件，最终把问题转化为一个一元二次函数在给定区间上的值域问题，这个过程中又考查到了数形结合和转化的数学思想、方法.三、解答题 (共 70 分)17.(1)已知 ，求 的值.(2)求 的值.(3)已知 且 ，求 的值.- 9 -【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】（1）根据分式的性质，将分子
11、分母同时除以 ，得到关于 的式子即可计算出的值；（ 2）直接利用对数的运算法则化简求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；（3）根据 = ，由 ，判断 的符号，从而可得结果.【详解】(1)法(一） . 法（二） 由 ，即 ，则 . . （2）原式 （3） ， 0 =【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及同角三角函数的关系，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.18.设函数 ，函数 ，且 ， 的图象过点及 （1）求 和 的解析式；（2）求函数 的定义域和值域【答案】 （1） ， ；（2） , .【解析】【分
12、析】(1)根据 得出关于 方程，求解方程即可；（2）根据 的图象过点 及，列方程组求得 的解析式，可得 ，解不等式可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得 ，利用对- 10 -数函数的单调性求解即可.【详解】 （1）因为， ；因为 的图象过点 及 ，所以 ，；（2）由 ，得函数 的定义域为 ，即 的值域为 .【点睛】本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法；不等式法；单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单
13、调性求凼数的值域，图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.19.已知函数 ， （1）当 时，求函数 f（x）的值域（2）列表并画出函数 在 上的简图；（3）若 ， ，求 【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） 或【解析】【分析】(1)由 求得 的取值范围，根据余弦函数的单调性求得 的值域；(2)由“五点作图法”列表、描点、连线,可画出 在 上的简图； (3)令 ，求出- 11 -，再根据 的取值范围，令 ，可求得对应 的值.【详解】 （1）的值域为 （2）由“五点作图法”列表如下：x- 0 0 3 0 3 0图象如下：（3）由 = 得 ，所以 即 或 ， 又因为 ，所以 k 取
14、0，得 或 【点睛】本题主要考查五点法作图、三角函数的值域以及简单的三角方程，属于中档题. 形如 ， 的函数求值域，分两步：（1 ）由 求出 的范围；- 12 -（2）由 的范围结合正弦函数的单调性求出 ，从而可求出函数的值域.20.已知函数 .（1）求 的最大值及此时的 的集合；（2）求 的单调增区间；（3）若 ，求 .【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【分析】(1) 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数 化为,从而可得函数的最值，令 求得函数取最大值时, 的集合；（2）根据（1）中函数解析式, 利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 的递增区间；（3
15、）由 可得 ，利用 ，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】（1）当 时，即 时， ，此时 x 取值范围的集合为（2） 解得 ，所以增区间为 ，（3）【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数恒等变换及三角函数的最值，属于中档题.函数 的单调区间的求法：若 ,把 看作是一个整体，由- 13 -求得函数的减区间， 求得增区间.21.如图所示，某市准备在道路 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段 .该曲线段是函数 在 时的图象，且图象最高点是 .赛道的中间部分是长 千米的直线跑道 ，且 赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 .（1）求曲线段 的函数解析式和 的大小；（2）若要在
16、圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路 EF 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 上，且 .求矩形面积的最大值，以及矩形面积取最大值时 的值.【答案】 （1） ；（2） 时， 取最大值 .【解析】【分析】(1) 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，从而可得曲线段 的解析式，再计算出 结合 ，利用等腰直角三角形的性质可得的大小；(2) 由（1）知 ，可得矩形草坪的面积 ，利用二倍角公式以及辅助角公式化为 ，根据 的取值范围求得 的最大值以及对应 的值.【详解】 （1）由已知条件得：图象过（-1,2） ，- 14
17、 -故曲线段 的解析式为 当 时， ，又从而 （2）由（1）知 ，易知 ，矩形草坪的面积 ，时，即 时， 取最大值 .【点睛】本题主要考查阅读能力、三角函数的图象与性质，二倍角公式与辅助角公式的应用，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22.设函数 ( 且 )是定义域为 R 的奇函数(1)求 t 的值；(2)若 ，求使不等式 对一切 R 恒成立的实数 k 的取值范围；(3)若函数 的图象过点 ，是否存在正数 m ,使函数 在上的最大值为
18、 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （）t=2；（） ；（）不存在正数 m，使 【解析】试题分析：（）由于 是定义在 R 上的奇函数，所以由 f（0）=0 可求得 的值；（）由求出 的范围，得到 的单调性，把 转化成关于 的一元二次不等式在 R 上恒成立问题，利用三个二次之间的关系列参数 的不等式；（）先由 的图象过点求得 的值，代入 化简，为方便处理，可以换元处理，设 ，则函数 变- 15 -为 ， 把问题转化为含参数的一元二次函数在给定区间上的最值问题，讨论解决.试题解析：解：（）f（x）是定义域为 R 的奇函数f（0）=0，t=2；（）由（1）得 由 得 又 ，由
19、 得 ，为奇函数 ，为 上的增函数，对一切 恒成立，即 对一切 恒成立，故 解得 ；（）假设存在正数 符合题意，由 得=，设 ，则 ， 记 ，函数 在 上的最大值为 ，（）若 ，则函数 在 有最小值为 1，对称轴 ， ，不合题意；（）若 ，则函数 在 上恒成立，且最大值为 1，最小值大于 0，- 16 - ，又此时 ， ，故 无意义所以 ； 无解，综上所述：故不存在正数 ，使函数 在上的最大值为 考点：函数的奇偶性、单调性的应用，一元二次不等式的恒成立问题，一元二次函数在给定区间上的最值及换元法、转化和分类讨论等数学思想.【方法点晴】本题是一道函数问题的综合性问题，既涉及到了函数的性质、函数的恒成立和一元二次函数，又考查了转化和分类讨论等数学思想和方法，是一道中等难度偏上的题目.第二问中，要利用已求得的解析式研究函数 的单调性，来实现对关于函数值不等式的转化，切不可代入，否则将陷入繁琐的运算中，费时费力；第三问是一道探索参数的存在性问题，可以先假设参数存在，再设法求解.换元是常用的方法，要注意观察式子的结构特点，选择合理的换元项，同时应注意新元的取值范围即构造的新函数的定义域，最终把复杂的函数转化为基本初等函数问题来解决.- 17 -
