1、1第 1讲 小题考法统计、统计案例与概率一、主干知识要记牢1概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A) ；事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数 m基 本 事 件 总 数 n(2)互斥事件的概率计算公式： P(A B) P(A) P(B)；(3)对立事件的概率计算公式： P( )1 P(A)；A (4)几何概型的概率计算公式P(A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 2抽样方法(1)三种抽样方法的比较类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个数
2、较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成_(2)分层抽样中公式的运用抽样比 ；样 本 容 量个 体 总 量 各 层 样 本 容 量各 层 个 体 数 量层 1的数量层 2的数量层 3的数量样本 1的容量样本 2的容量样本 3的容量3用样本数字特征估计总体(1)众数、中位数、平均数定义 特点2众数 在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值
3、的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个平均数 样本数据的算术平均数 与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小方差： s2 (x1 )2( x2 )2( xn )2；1n x x x 标准差： s 1n x1 x 2 x2 x 2 xn x 2二、二级结论要用好1频率分布直方图的 3个结论(1)小长方形的面积组距 频率频 率组 距(2)各小长方形的面积之和等于 1(3)小长方形的高 ，所有小长方形高的和为 频 率组 距 1组
4、距2与平均数和方差有关的 4个结论(1)若 x1， x2， xn的平均数为 ，那么 mx1 a， mx2 a， mxn a的平均数为 mx a；x (2)数据 x1， x2， xn与数据 x1 x1 a， x2 x2 a， xn xn a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若 x1， x2， xn的方差为 s2，那么 ax1 b， ax2 b， axn b的方差为 a2s2；(4)s2 (xi )2 2，即各数平方的平均数减去平均数的平方1nni 1 x 1nni 1x2i x 求 s2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式3线性回归方程线性回归方程 x 一
5、定过样本点的中心( ， )y b a x y 三、易错易混要明了1应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求3出各事件分别发生的概率，再求和2正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “互斥”是“对立”的必要不充分条件3混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错4在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等). 考点一 用样本估计总体1方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算
6、公式进行计算(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大2与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于 1就可以求出其他数据(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据可利用图形及某范围结合求解1(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是( A )A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各
7、年的月接待游客量高峰期大致在 7,8月D各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳4解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8月份明显高于 12月份，故 A错；对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故 B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确故选 A2(2018齐齐哈尔二模)某高校调查了 320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 320名学生中
8、每周的自习时间不足 22.5小时的人数是( B )A68 B72C76 D80解析 由频率分布直方图可得，320 名学生中每周的自习时间不足 22.5小时的人数是320(0.020.07)2.572 人选 B3某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A点表示十月的平均最高气温约为 15， B点表示四月的平均最低气温约为 5.下面叙述不正确的是( D )A各月的平均最低气温都在 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20的月份有 5个解析 由图形可得各月的平均最低气温都在 0以上，A
9、正确；七月的平均温差约为 10，而一月的平均温差约为 5 ，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在 10左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于 20的月份有 2个，故 D错误4(2018南充三联)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的 6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均5成绩分别是 x 甲 ， x 乙 ，则下列说法正确的是( D )A x 甲 x 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B x 甲 x 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C x 甲 x 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D x 甲 x 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选
10、乙参加比赛解析 由茎叶图知，甲的平均成绩是 82，72 78 79 85 86 926乙的平均成绩是 87，78 86 87 87 91 936所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图看出乙的成绩稳定，故选 D考点二 变量间的相关关系、统计案例求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解 ， 的计算公式和准确地求解b a (2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值1(2018永州三模)党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能共享经济是
11、公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是( D )6解析 根据四个列联表中的等高条形图可知，图 D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D2已知某种商品的广告费支出 x(单位：万元)与销售额 y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 50 m 70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y与 x的线性回
12、归方程为6.5 x17.5，则表中 m的值为( D )y A45 B50C55 D60解析 5，x 2 4 5 6 85 y 30 40 50 m 705 190 m5当 5 时， 6.5517.550，x y 50，解得 m60190 m53利用独立性检验来考虑两个分类变量 X和 Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和 Y有关系”的可信度如果 k3.841，那么有把握认为“ X和 Y有关系”的百分比为( D )P(K2k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.7067P(K2k0) 0.05 0.025 0.010 0
13、.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A5% B75%C99.5% D95%解析 由表中数据可得，当 k3.841时，有 0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有 10.050.95 的机率，也就是有 95%的把握认为变量之间有关系，故选D考点三 古典概型与几何概型1利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏2几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)求
14、解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域1(2018攀枝花一模)中国人民银行发行了 2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚 3克圆形金质纪念币，直径 18 mm，某同学为了算图中装饰狗的面积他用 1枚针向纪念币上投掷 500次，其中针尖恰有 150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( C )A mm2 B mm24865 2435C mm2 D mm224310 24320解析 由题意得，纪念币的面积为 S 281，设装饰狗的面积为 S1，则(182)8 ，所以 S1 S 81 mm2，故选 CS1S 1
15、50500 150500 150500 243102(2018菏泽二模)甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3种颜色的运动服中选择 1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( A )A B13 12C D23 34解析 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3种颜色的运动服中选择 1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)他们选择相同颜色运动服有 3种不同的结果，即(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，故他们选择相同颜色运动服的概率为 ，故选 A39 133(2018延安二模)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为 5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是_ _16解析 由题意知这是一个几何概型，电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，事件总数包含的时间长度是 30，时长均为 5分钟，一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是 P 16
