1、1“1820”大题规范满分练“1820”大题规范满分练(一)18(本小题满分 14分)已知函数 f(x)sin x(cos x sin x)3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若关于 x的方程 f(x) t在区间 内有两个不相等的实数解，求实数 t的取0，2值范围解：(1)因为 f(x) sin 2x (1cos 2 x)12 32sin ，(2x3) 32所以 f(x)的最小正周期为 T .22(2)因为 x ，所以 2x .0，2 3 3， 23因为 ysin z在 上是增函数，在 上是减函数，3， 2 2， 23所以 f(x)在 上是增函数，在 上是减函数0，512 512， 2又因
2、为 f(0)0， f 1 ， f ，(512) 32 (2) 3关于 x的方程 f(x) t在区间 内有两个不相等的实数解，0，2等价于 y f(x)与 y t的图象在区间 内有两个不同的交点，0，2所以要使得关于 x的方程 f(x) t在区间 内有两个不相等的实数解，0，2只需满足 t0)(2 x6)(1)若 1，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，求函数 f(x)在 上的值316 0， 8域解： f(x)sin 2cos 2x 1(2 x6) sin 2x cos 2x cos 2 x32 12 sin 2 x cos 2 x32 12s
3、in .(2 x6)(1)当 1 时， f(x)sin ，(2x6)令 2 k2 x 2 k， kZ，2 6 2得 k x k， kZ，3 6所以函数 f(x)的单调递增区间为 ， kZ.3 k ， 6 k (2)由题意知 T ，38所以 2 ， ，2T 163 83则 f(x)sin .(163x 6)由 x ，得 x ，0，8 163 6 6， 56则 f(x) .12， 1故 f(x)在 上的值域为 .0，8 12， 119(本小题满分 15分)已知 ABC中， AB AC ， BC2，以3BC为轴将 ABC旋转 60到 DBC，形成三棱锥 DABC.(1)求证： BD AC；(2)求直
4、线 BC与平面 ACD所成角的余弦值8解：(1)证明：取 BC的中点 E，连接 AE， DE， AB AC， AE BC，由翻折知 DE BC，二面角 ABCD为 AED，即 AED60，且 BC平面 ADE，平面 ADE平面 ABC. DE AE ， AED60，2 ADE为正三角形，取 AE的中点 H，连接 DH， DH AE.平面 ADE平面 ABC AE， DH平面 ABC， DH AC.取 CE的中点 F，连接 FH，可求得 HE ， FE ， BE1，22 12由 HE2 FEBE，可知 FH BH， FH AC， BH AC. DH BH H， AC平面 DHB， AC BD.(
5、2)法一：取 AD的中点 M，连接 MB， MC，过 B点作 BN MC，垂足为 N， AB BD ， AC CD ，且 M为 AD的中点，3 3 BM AD， CM AD， BM CM M， AD平面 BMC. BN平面 BMC， BN AD. BN MC， AD MC M， BN平面 ACD，直线 BC与平面 ACD所成角即 BCM，由(1)可知 ADE为正三角形，则 AD ，2可求得 BM CM ， BN ，102 2155 CN ，cos BCN .2105 1059直线 BC与平面 ACD所成角的余弦值为 .105法二：(等体积法)由(1)可知 ADE为等边三角形，则 DH .62S
6、 ABC 2 ， S ACD .12 2 2 12 2 102 52设三棱锥 BACD的高为 h， VBADC VDABC，VDABC S ABCDH ，13 13 2 62 33 VBADC S ADCh h h ，13 13 52 56 33解得 h ，2155设直线 BC与平面 ACD所成角为 ，则 sin ，cos ，hBC 155 105直线 BC与平面 ACD所成角的余弦值为 .10520(本小题满分 15分)已知函数 f(x) aln x (x1)2x(1)若 f(x)在区间(1，)不单调，求实数 a的取值范围；(2)当 a1 时，证明： f(x)1，所以 10,1 x2 x 0
7、)的最332小正周期为 .(1)求 f 的值；(12)(2)当 x 时，求 f(x)的单调区间及取值范围0，712解：(1) f(x) sin 2x .3 1 cos 2 x2 12 32 cos 2 x sin 2 xcos .32 12 (2 x 6) T ， 1，22 f(x)cos ， f .(2x6) (12) 12(2)当 x 时，2 x .0，712 6 6， 43当 2x ，即 x 时， f(x)单调递减， f(x)的减区间为6 6， 0， 512，0，512当 2x ，即 x 时， f(x)单调递增， f(x)的增区间为6 ， 43 512， 712，512， 712 f(x
8、) . 1，3219(本小题满分 15分)如图，三棱柱 ABCA1B1C1所有的棱长均为 1， A1C1 B1C.(1)求证： A1B AC；(2)若 A1B1，求直线 A1C1和平面 ABB1A1所成角的余弦值解：(1)证明：取 AC的中点 O，连接 A1O， BO， BO AC.连接 AB1交 A1B于点 M，连接 OM，则 B1C OM. A1C1 AC， A1C1 B1C， AC OM.又 OM BO O， AC平面 A1BO. A1B平面 A1BO， A1B AC.15(2) A1C1 AC，直线 A1C1和平面 ABB1A1所成的角等于直线 AC和平面 ABB1A1所成的角三棱柱
9、ABCA1B1C1所有的棱长均为 1， A1B AB1， A1B AC， AB1 AC A， A1B平面 AB1C，平面 AB1C平面 ABB1A1.平面 AB1C平面 ABB1A1 AB1， AC在平面 ABB1A1的射影在直线 AB1上， B1AC为直线 AC和平面 ABB1A1所成的角 AB12 AM2 ，AB2 BM2 3 A1C1 B1C， A1C1 AC， AC B1C，在 Rt ACB1中，cos B1AC .ACAB1 13 33直线 AC和平面 ABB1A1所成角的余弦值为 .33即直线 A1C1和平面 ABB1A1所成角的余弦值为 .3320(本小题满分 15分)已知函数
10、f(x) (x0)1 e xx(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证： f(x)e-2.解：(1) f( x) .1 x exx2ex令 h(x)e x x1，则 h( x)e x1，当 x0时， h( x)0，所以函数 h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以 h(x)min h(0)0，即 ex x1，当且仅当 x0 时等号成立由已知 x0，得 exx1， e-2等价于 e x xe-210，则 g( x)e xe - x(12e x2)e -2，e (x2 1)由(1)知 e-x 1，x2所以 g( x)0时，有 g(x)e-.17“1820”大题规范满分练(六)1
11、8(本小题满分 14分)已知函数 f(x) cos(2x )sin 2x(0 1时，记 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn.anbn解：(1)由题意有，Error!即Error!解得Error! 或Error!故Error! 或Error!(2)由 d1，知 an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，2n 12n 1于是 Tn1 ， 32 522 723 924 2n 12n 1Tn . 12 12 322 523 724 925 2n 12n 可得Tn2 3 ，故 Tn6 .12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n 2n 32n 11920“1820”大题规范满分练(
12、七)18(本小题满分 14分)(2019 届高三辽宁五校协作体联考)已知函数 f(x)cos 2xsin( x)cos( x) .312(1)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 f(A)1， a2， bsin C asin A，求 ABC的面积解：(1) f(x)cos 2x sin xcos x312 sin 2x1 cos 2x2 32 12sin ，(2x6)由 2k 2 x 2 k ， kZ，2 6 2解得 k x k ， kZ，又 x0，6 3函数 f(x)在0，上的单调递减区间为 和 .0，3 56
13、， (2)由(1)知 f(x)sin ，(2x6) f(A)sin 1，(2A6) ABC为锐角三角形，00.22当 x(，0)时，易知 h(x)0，所以 f(1)0，f(x)在(1,2)上有极小值点又因为 h(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)仅有唯一的极小值点23“1820”大题规范满分练(八)18(本小题满分 14分)已知函数 f(x) Asin(x )的部分图象如图所示(A0， 0， | |2)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间 上的最值，并求出相应的 x值0，512解：(1)由图象可知 A2.周期 T ，43 (1312 3) 43 34又 T ， 2
14、.2 f(x)2sin(2 x )， f 2sin 2，(3) (23 ) 2 k， kZ，即 2 k， kZ.23 2 6又| | ， ，2 6 f(x)2sin .(2x6)(2)当 x 时，2 x ，0，512 6 6， 23sin ，(2x6) 12， 1f(x)2sin 1,2(2x6)当 2x ，即 x 时， f(x)max f 2.6 2 3 (3)当 2x ，即 x0 时， f(x)min f(0)1.6 619(本小题满分 15分)如图，在圆锥 PO中，已知 PO ，2 O的直径 AB2，点 C在 O上，且 CAB30， D为 AC的中点(1)证明： AC平面 POD；(2)
15、求直线 OC与平面 PAC所成角的正弦值解：(1)证明：因为 OA OC， D是 AC的中点，所以 AC OD.又因为 PO底面 O， AC底面 O，所以 AC PO.因为 OD PO O，24所以 AC平面 POD.(2)由(1)知， AC平面 POD， AC平面 PAC，所以平面 POD平面 PAC，在平面 POD中，过 O作 OH PD交 PD于 H，则 OH平面 PAC.连接 CH，则 CH是 OC在平面 PAC上的射影，所以 OCH是直线 OC和平面 PAC所成的角在 Rt POD中， OH ，POODPO2 OD22122 14 23在 Rt OHC中，sin OCH .OHOC
16、23所以直线 OC与平面 PAC所成角的正弦值为 .2320(本小题满分 15分)设 an是等差数列，其前 n项和为 Sn(nN *)； bn是等比数列，公比大于 0，其前 n项和为 Tn(nN *)，已知b11， b3 b22， b4 a3 a5， b5 a42 a6.(1)求 Sn和 Tn；(2)若 Sn( T1 T2 Tn) an4 bn，求正整数 n的值解：(1)设等比数列 bn的公比为 q(q0)由 b11， b3 b22，可得 q2 q20.因为 q0，可得 q2，故 bn2 n1 .所以 Tn 2 n1.1 2n1 2设等差数列 an的公差为 d.由 b4 a3 a5，可得 a13 d4. 由 b5 a42 a6，可得 3a113 d16. 联立解得 a11， d1，故 an n，所以 Sn .n n 12(2)由(1)，有 T1 T2 Tn(2 12 22 n) n n2 n1 n2.2 1 2n1 2由 Sn( T1 T2 Tn) an4 bn，可得 2 n1 n2 n2 n1 ，n n 12整理得 n23 n40，25解得 n4 或 n1(舍去)所以 n的值为 4.
