1、1第十一讲 二次函数及其应用第1课时 二次函数宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做（2017宜宾中考）如图，抛物线yx 2bxc与x轴分别交于A（1，0）、B（5，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CDx轴于点D，连结AC，且AD5，CD 8，将 RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线 对称轴上一点.试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线yx 2bxc与x轴分别交
2、于A（1，0）、B（5，0）两点，y（x1）（x5），抛物线的解析式为yx 24x5；（2）AD5，OA1，OD6，C（6，8）.设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，可令8x 24x5，解得x 11，x 23，点C的坐标为（1，8）或（3，8）.m1（6）或m3（6），即m的值为7或9；（3）yx 24x5（x2） 29，抛物线的对称轴为直线x2，2可设P（2，t）.如图，由（2）可知E点坐标为（1，8）.当BE为对角线时，PEBQ，且PEBQ，则PE与BQ可以看成是相互平移得到的线段.B（5，0），E（1，8），P（2，t），点Q的横线坐标为514，把x Q4代入y（x2） 29
3、可求得y5，Q（4，5）；当BE为平行四边形的一边时，PQBE，且PQBE，则PQ与BE可以看成是相互平移得到的线段.B（5，0），E（1，8），P（2，t），点Q的横线标为24或24，即x Q2或x Q6，代入y（x2） 29可求得y Q7，点Q的坐标为（2，7）或（6，7）.综上所述，点Q的坐标为（4，5）或（2，7）或（6，7）.宜宾中考考点梳理二次函数的概念及解析式1.二次函数：形如yax 2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数叫做二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.2.三种表示方法（1）一般式：yax 2bxc（a0）；（2）顶点式：ya（xh） 2k
4、（a0），其中抛物线的顶点坐标是（h，k）；（3）交点式：ya（xx 1）（xx 2）（a0），其中x 1、x 2为抛物线与x轴交点的横坐标.3.二次函数解析式的确定求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式.当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax 2bxc；当已知抛物线的 顶点或对称轴时，通常设为顶点式ya（xh） 2k；当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式ya（xx 1）（xx 2）.二次函数的图象和性质4.二次函数yax 2bxc的图象和性质函数 二次 函数yax 2bxc（a、b、c为常数，a0）a a0（开口向上） a
5、0，得出开口向上，据此即可判断各选项.也可以画出抛物线的大致图象，根据图象逐项分析四个选项得出结论.【典例2】（2018资阳中考）已知二次函数yax 2bxc的图象如图所示，OAOC，则由抛物线的特征写出如下含有6a、b、c三个字母的等式或不等式： 1；acb10；abc0；abc0.其中正确的个数4ac b24a是（ A ）A.4 B.3 C.2 D.1【解析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知a0，1c0，b0，再对各结论进行判断. 1，即抛物线顶点纵坐标为1，故正确；4ac b24a设C（0，c），则OC|c|.OAOC|c|，A（c，0），代入yax 2bxc，得ac 2bcc0
6、.又c0，acb10，故正确；从图象中易知a0，b0，c0，abc0，故正确；当x1时，a bc0，yabc，由图象知（1，abc）在第二象限，abc0，故正确.二次函数解析式的确定及综合运用【典例3】（2018绵阳中考）如图，已知抛物线yax 2bx（a0）过点A（ ，3）和点B（3 ，0）.过3 3点A作直线ACx轴，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为点D.连结OA，使得以A、D、P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标.（3）抛物线上是否存在点Q，使得S AOC SAOQ ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
7、13【解答】解：（1）把点A（ ，3）、B（3 ，0）代入yax 2bx，得3 3 3a 3b 3，27a 33b 0， )解得a 12，b 332.)抛物线的解析式为y x2 x；12 332（2）设P点坐标为 .(x，12x2 332x)若点P在直线AD上方，则ADx ，PD3x2 x3.当OCAADP时， ，即 ，12 332 OCAD CADP 3x 3 312x2 332x 3x 或x （舍去），此时P ；833 3 (833， 43)7当OCAPDA时，同理可得P（4 ，6）；3若P在直线AD下方，同理可得P .(433， 103)综上所述，点P的坐标为 、（4 ，6）或 .(83
8、3， 43) 3 (433， 103)（3）存在.A（ ，3），在 RtAOC中，OC3，AC ，OA2 .S AOC OCAC OAh3 3 312 12， h .S AOC SAOQ ，AOQ边OA上的高为3h .如图，过O作OMOA，截取OM ，过M作MNOA，交 y332 32 13 92 92轴于点N.在 RtOMN中，ON2OM9，即N（0，9），过M作MHx轴于点H，MOH30，则MH OM ，OH OM ，12 94 32 934即M .(934， 94)易得直线MN的解析式为y x9.3解 y 3x 9，y 12x2 332x， )得 或y 33，y 0 ) y 23，y 1
9、5. )点Q的坐标为（3 ，0）或（2 ，15）.3 31.二次函数yax 2bxc，自变量x与函数y的对应值如下表：x 5 4 3 2 1 0 y 4 0 2 2 0 4 下列说法正确的是（ D ）A.抛物线的开口向下B.当x3时，y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是2D.抛物线的对称轴是直线x522.（2018天津中考）已知抛物线yax 2bxc（a、b、c为常数，a0）经过点（1，0）、（0，3），其对称轴在y轴右侧.有下列结论：抛物线经过点（1，0）；方程ax 2bxc2有两个不相等的实数根；83ab3.其中，正确结论的个数为（ C ）A.0 B.1 C.2 D.33.如图，已知二
10、次函数yax 2bxc（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x1.下列结论：abc0；4a2bc0；4acb 28a； a ；bc.其中正确的是（ D ）13 23A. B.C. D.4.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）.备用图（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yxm与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PEEF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形
11、，请直接写出点D的纵坐标的取值范围.解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入yx 2bxc，得 解得9 3b c 0，c 3， ) b 4，c 3， )抛物线的解析式为yx 24x3；（2）由B（3，0）、C（0，3）易得直线BC的解析式为yx3.直线yxm与直线yx平行，直线yx3与直线yxm垂直，CEF90，ECF为等腰直角三角形.过点P作PHy轴于点H，PGy轴交BC于点G，如图1，EPG为等腰直角三角形，PE PG.22设P（t，t 24t3）（1t3），则G（t ，t3），PF PH t，PGt3（t 24t3）t 23t，PE PG t2 t，2 222 22 322PEEFPE
12、PEPF2PEPF t23 t t t24 t （t2） 24 ，当t2时2 2 2 2 2 2 2，PEEF的最大值为4 ；29图1 图2（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x ，即x2.设D（2，m），则BC 23 23 218，DC 24（m34 2） 2，BD 2（32） 2m 21m 2.当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC 2DC 2BD 2，即184（m3） 21m 2，解得m5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC 2BD 2DC 2，即4（m3） 21m 218，解得m1，此时D点坐标为（2，1）.故点D的坐标为（2，5）或（2，1）；当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC 2DB 2BC 2，即4（m3） 21m 218，解得m 1 ，m 23 172 ，此时D点坐标为 或 .3 172 (2， 3 172 ) (2， 3 172 )若 BCD是锐角三角形，则点D的纵坐标的取值范围为 m5或1m .3 172 3 172
