1、一、函数与方程思想,总纲目录,应用一 解决与不等式有关的问题,例1 已知f(x)=log2x,x2,16,对于函数f(x)值域内的任意实数m, 使x2+mx+42m+4x恒成立的实数x的取值范围为 ( ) A.(-,-2 B.2,+) C.(-,-22,+) D.(-,-2)(2,+),答案 D,解析 因为x2,16,所以f(x)=log2x1,4, 即m1,4. 不等式x2+mx+42m+4x恒成立, 即为m(x-2)+(x-2)20恒成立. 设g(m)=(x-2)m+(x-2)2, 则此函数在区间1,4上恒大于0, 所以 即 解得x2.,【技法点评】 解决不等式问题的方法及注意点 (1)在
2、解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造 适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题. (2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量 和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.,1.已知f(x)是定义在R上的可导函数,且满足(x+2)f(x)+xf (x)0,则 ( ) A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)为减函数 D.f(x)为增函数,答案 A 令g(x)=x2f(x)ex, 则g(x)=2xf(x)ex+x2f (x)ex+x2f(x)ex =xex(x+2)f(x)+xf (x), 因为(x+2)f(x)+xf (x)0, 所以当x0时,g(x)0,函数
3、g(x)单调递增, 当xg(0)=0, 即f(x)0.故选A.,2.对于满足0p4的所有实数p,使不等式x2+px4x+p-3成立的x 的取值范围是 .,答案 (-,-1)(3,+),解析 设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3, 当x=1时,f(p)=0,不符合题意.所以x1. f(p)在0p4上恒为正等价于 即 解得x3或x-1.,应用二 解决最值或范围问题,例2 (2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,AD CD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则 的最小值为 ( )A. B. C. D.3,答案 A,解析 如图,以D为坐标原点建立直角
4、坐标系.连接AC,由题意知CAD=CAB=60,ACD=ACB=30,则D (0,0),A(1,0),B ,C(0, ).设E(0,y)(0y ),则 =(-1,y),= , = +y2- y= + ,当y= 时, 有最小值 .,【技法点评】 求最值或参数范围的技巧 (1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等 式(组)求解. (2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函 数,然后应用函数知识求解. (3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再 利用方程知识使问题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的 个数.,3
5、.(2018北京,14,5分)若ABC的面积为 (a2+c2-b2),且C为钝 角,则B= ; 的取值范围是 .,答案 ;(2,+),解析 由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B. 又S= (a2+c2-b2), acsin B= 2accos B, tan B= ,B= . 又C为钝角,C= -A , 0A . 由正弦定理得 =,= = + 0 , + =2, 即 2.,4.若对x(-,-1,不等式(m2-m)2x- 1恒成立,则实数m的取值 范围是 .,答案 (-2,3),解析 不等式(m2-m)2x- 1恒成立等价于m2-m + m2- m ,构造函数f(x)= + ,利用换元法
6、,令t= ,则y =t2+t= - ,x(-,-1,t2,+),y=t2+t= - 的 最小值为6,m2-m6m2-m-60-2m3,所以实数m的取值范 围是-2m3.,应用三 解决与数列有关的问题,例3 已知数列an是各项均为正数的等差数列. (1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列an的通项公式an; (2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn= + +,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值.,解析 (1)因为an是正项等差数列,所以d0, 由题意知 =a2(a4+1),又a1=2, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 解得d=2
7、或d=-1(舍去), 所以数列an的通项公式an=2n. (2)易知Sn=n(n+1), 则bn= + + = + + = - + - + -,= - = = , 令f(x)=2x+ (x1), 则f (x)=2- , 当x1时, f (x)0恒成立, 所以f(x)在1,+)上是增函数, 故当x=1时, f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max= , 要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立, 则须使k(bn)max= , 所以实数k的最小值为 .,【技法点评】 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类 型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或 不等
8、式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式 组 (n2,nN*)或 (n2,nN*)求解. (3)数列中前n项和的最值转化为二次函数,借助二次函数的单调 性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解.,5.设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=-2,S5=0,S6=3,则nSn的最小 值为 .,答案 -9,解析 由已知得,a5=S5-S4=2,a6=S6-S5=3,因为数列an为等差数列, 所以公差d=a6-a5=1.又S5= =0,所以a1=-2,故Sn=-2n+ =,即nSn= ,令f(x)= (x0),则f (x)= x2-5x,令f (x) 0,得x
9、,令f (x)0,得0x .又n为正整数,所以当n=3时,nSn=取得最小值,即nSn的最小值为-9.,6.(2018天津,18,13分)设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*); bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2 +2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.,解析 (1)设等比数列bn的公比为q(q0). 由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0. 因为q0,可得q=2,故bn=2n-1. 所以Tn= =2n-1. 设等差数列an的公差为d.由
10、b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1, 故an=n,所以,Sn= . (2)由(1),有 T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.,由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0, 解得n=-1(舍)或n=4. 所以,n的值为4.,应用四 解决与解析几何有关的问题,例4 (2018浙江,21,15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点, 抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为
11、M,证明:PM垂直于y轴; (2)若P是半椭圆x2+ =1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范 围.,解析 (1)证明:设P(x0,y0),A ,B . 因为PA,PB的中点在抛物线上, 所以y1,y2为方程 =4 ,即y2-2y0y+8x0- =0的两个不 同的实根. 所以y1+y2=2y0, 因此,PM垂直于y轴. (2)由(1)可知 所以|PM|= ( + )-x0= -3x0,|y1-y2|=2 . 因此,SPAB= |PM|y1-y2|= ( -4x0 . 因为 + =1(x00),所以 -4x0=-4 -4x0+44,5. 因此,PAB面积的取值范围是 .,【技法点评】 解析几何
12、中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的 综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运 动变化的过程中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个) 变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.,7.在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点, B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点 A的横坐标为 .,答案 3,解析 设A(a,2a),且a0. 又B(5,0),故以AB为直径的圆的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0. 易知C , 由 解得 或 D(1,2). 又 =0, =(5-a,-2a), = , (5-a,-
13、2a) = a2-5a- =0, 解得a=3或a=-1.,又a0,a=3.,8.已知椭圆C的离心率为 ,过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾 斜角为 ,直线l过点E(-1,0)且与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)AOB的面积是否有最大值?若有,求出此最大值?若没有,请说 明理由.,解析 (1)由题意知,e= = , = ,b=1.所以a=2. 故椭圆C的标准方程为 +y2=1. (2)有最大值.因为直线l过点E(-1,0),所以可设直线l的方程为x=my- 1,与椭圆方程联立得方程组 消去x并整理,得(m2+4)y2-2my-3=0,=(-2m)2+12(m2+4)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1y2, 则由一元二次方程根与系数的关系,得y1+y2= ,y1y2= ,所以|y2-y1|= , 所以SAOB= |OE|y2-y1| = = . 设t= ,t ,则g(t)=t+ ,t , 易知g(t)在区间 ,+)上为增函数, 所以g(t) ,所以SAOB ,当且仅当m=0时等号成立. 所以AOB的面积存在最大值,为 .,
